1.3 集合的基本运算（第2课时）（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 （第2课时） 教学设计 一、教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”中的1.3节“集合的基本运算”的第2课时，内容包括全集、补集的概念以及集合的交、并、补综合运算。 二、内容解析 本节课在学生已经学习了集合的含义、表示方法以及集合之间的基本关系（子集、真子集、集合相等）的基础上，进一步深入研究集合的基本运算。通过类比实数的运算，引导学生思考集合是否也可以进行类似的“加法” “减法”等运算，从而引出全集和补集的概念。全集是一个相对概念，它包含了所研究问题中涉及的所有元素；补集则是相对于全集而言，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合。补集的引入，体现了数学中事物对立统一的辩证关系，也为后续解决一些实际问题提供了有力的工具。同时，借助Venn图、数轴等直观工具，帮助学生更好地理解和掌握集合的交、并、补综合运算，提升学生的数学抽象素养和数形结合思想。 一、教学目标 1.理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集。 2.掌握集合的交、并、补综合运算，能使用Venn图、数轴等工具表达集合的基本关系与基本运算。 3.提升数学抽象素养，通过类比实数运算，理解集合运算的定义和性质；培养逻辑推理能力，推导补集的性质；提高数学运算能力，求解补集及相关参数问题；增强数据分析能力，通过补集的性质列不等式组解决问题；培养数学建模能力，用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 二、目标解析 达成上述目标的标志是： 1.学生能够准确说出全集和补集的定义，会用符号表示全集和补集，并能根据具体问题选择合适的全集。 2.学生能够熟练运用Venn图、数轴等工具进行集合的交、并、补综合运算，会求解涉及补集的参数问题，能正确判断集合之间的关系并进行相应的运算。 3.学生能够在具体问题情境中，自主运用类比、推理等方法，建立集合运算的模型，解决实际问题，如通过集合运算求解独生子女人数问题等，积累数学活动经验，提升数学素养。 本节是新人教A版高中数学必修1第1章第1节第3部分的内容。在此之前,学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系,这为学习本节内容打下了基础。本节内容主要介绍集合的基本运算一并集、交集、补集。是对集合基木知识的深入研究。在此,通过适当的问题情境,使学生感受、认识并掌握集合的三种基本运算。本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用。本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：全集与补集的定义：理解全集的相对性，掌握补集的求法；集合的交、并、补综合运算：熟练运用Venn图、数轴等工具进行集合运算。教学难点：Venn图解决一些与集合的运算有关的问题：如何准确地用Venn图表示集合关系并进行运算；涉及补集的参数问题求解：如何通过补集的性质列不等式组求解参数范围。 问题情境引入：垃圾分类中的集合智慧 同学们，大家都知道垃圾分类是我们生活中非常重要的一项环保行动。现在，我们来思考一个垃圾分类中的问题。 假设我们有一个小区，小区里有100户居民。为了更好地进行垃圾分类，小区物业决定对居民的垃圾进行分类收集。他们将垃圾分为三类：可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾。现在，我们来定义几个集合： · 集合U：小区内所有居民产生的垃圾。 · 集合A：小区内所有居民产生的可回收垃圾。 · 集合B：小区内所有居民产生的有害垃圾。 · 集合C：小区内所有居民产生的其他垃圾。 问题1：如果小区内所有居民都按照规定将垃圾正确分类，那么集合A、B、C与集合U之间有什么关系呢？ 引导学生思考：集合A、B、C是集合U的子集，且它们之间没有交集，即A∩B=∅，A∩C=∅，B∩C=∅。同时，集合A、B、C的并集等于集合U，即A∪B∪C=U。 问题2：现在，物业发现有些居民没有将有害垃圾正确分类，导致有害垃圾混入了其他垃圾中。那么，我们如何用集合的语言来描述这个问题呢？ 引导学生思考：集合B与集合C有交集，即B∩C≠∅。这就意味着有些垃圾既属于有害垃圾，又属于其他垃圾，这是不符合规定的。 问题3：为了纠正这个问题，物业决定对所有垃圾进行重新分类。那么，我们如何用集合的语言来描述这个重新分类的过程呢？ 引导学生思考：我们需要找到集合B与集合C的交集，即B∩C，然后将这些垃圾重新分类。同时，我们需要找到集合B的补集，即∁UB，也就是所有不属于有害垃圾的垃圾，将它们重新分类为可回收垃圾或其他垃圾。 通过这个垃圾分类的问题，我们可以看到集合的运算在实际生活中有着广泛的应用。今天，我们就来深入学习集合的基本运算，包括全集、补集以及集合的交、并、补综合运算。通过这些知识，我们不仅能够更好地解决垃圾分类问题，还能在其他许多实际问题中发挥重要作用。 设计意图： 1. 贴近生活：垃圾分类是学生生活中常见的问题，能够引起学生的兴趣和共鸣。 1. 统领全文：通过垃圾分类问题，引出集合的基本运算概念，包括子集、交集、并集、补集等，为后续学习奠定基础。 1. 实际应用：让学生感受到集合运算在实际生活中的重要性，增强学习的动力和目的性。 希望这个引入能够帮助学生更好地理解和掌握本节课的内容，同时激发他们的学习兴趣。 （一）温故知新 1. 回顾上节课知识： 提问：什么是集合的子集、真子集和集合相等？如何判断集合之间的关系？ 提问：集合的Venn图表示方法是什么？它有什么作用？ 1. 引入新课： 提问：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 提问：相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集。 （二）导入新知 1. 问题情境引入： 问题1：已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？ 引导学生思考：如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”。通过本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了。 1. 类比实数运算引入全集和补集概念： 问题2：方程的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题，你能得到什么启示？ 提示：在有理数范围内，解集为；在实数范围内，解集为。在数学中，很多问题都是在某一范围内进行研究。如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的。 问题3：若，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 提示：集合U是我们研究对象的全体，。其中集合A与集合B有一种“互补”的关系。 探究点1：全集的定义与理解： (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 思考　全集一定是实数集R吗？ 答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 探究点2：补集的定义与理解： 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 图形语言 【设计意图】通过具体实例，引导学生自主归纳补集的定义，培养学生的抽象思维能力。引导学生理解子集的概念，为后续学习打下基础。 【教学建议】教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到子集的定义，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识。强调子集的概念，引导学生注意符号的规范使用。 （2） 典例分析 例5. 设U={x|x是小于9的正整数}，,求,. 解:根据题意可知,,所以, 变式1:设是小于7的自然数,求. 【解析】 根据题意可知,,所以. 例6.设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形, 求. 解:根据三角形的分类可知 {x|x是锐角三角形或钝角三角形,{x|x是直角三角形}. 变式2:设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形,   则___. 答案　{x|x是直角三角形} 解析:根据三角形的分类可知,是直角三角形或钝角三角形是直角三角形或锐角三角形,所以 1.设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则(　　) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5} 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算 【详解】试题分析：,故选B． 考点：1、二次不等式；2、集合的基本运算． 2.设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的补集的运算，求得，再利用集合间交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 则，所以. 故选：D 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】由集合的运算即可得解. 【详解】，， 所以． 故选：D． 4.设全集，，则）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案. 【详解】由题意，则， 故， 故选：C 5.已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算 【解析】先利用交集的运算求得，再利用补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 又全集， 所以, 故选：C 6.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】先求出，再求其补集 【详解】因为，又全集， 所以. 故选：B 7.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（　　） A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3] 【答案】C 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据题意，由集合B可得，又由有三个元素，由交集的意义分析可得m的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，， 若有三个元素，则有，即实数m的取值范围是[2，3） 8.已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用Venn图求集合、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】根据图确定阴影部分表示的集合为，根据集合的补集以及交集运算，即可求得答案. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 而或，故， 故选：A 9.设全集为，则( ) A．    B．    C．     D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【详解】∵， ∴ 故选：C． 10.已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】由得或．又，所以，故． 11.（2008·浙江·高考真题）已知，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【详解】试题分析：因为，,所以, ,，故答案为． 考点：集合的运算． 12.设全集为R，若，，则是（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据题意，结合补集的意义，可得与，进而由并集的意义，计算可得答案． 【详解】，． 或． 故选B． 【点睛】本题考查补集、并集的计算，要注意的运算的顺序，先求补集，再求并集，是基础题． 13.（多选）已知全集，集合，满足，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由题意可得，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以，故A错误； ，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，所以， 故选：. 14.（2008·浙江·高考真题）已知，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【详解】试题分析：因为，,所以, ,，故答案为． 考点：集合的运算． 15.（多选）集合，且，实数a的值为 （   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】ABC 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题设且，讨论是否为空集求对应的参数值即可. 【详解】由题设，又，故， 当时，； 当时，1或2为的解，则或. 综上，或或. 故选：ABC 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固对集合间基本关系的理解。引导学生通过判断实例，加深对集合间关系概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生分析每个选项，理解集合间关系的定义和判断标准。引导学生总结判断集合关系的标准，帮助学生掌握集合的基本概念。 1．知识清单： (1)全集与补集及性质． (2)交、并、补集的综合运算． (3)利用集合间的关系求参数范围． 2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论．正难则反的补集思想、数形结合． 3．常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点．求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍． (1)。 （2）利用数轴或Venn图求交集、并集、补集； （3）性质A∩A＝A，A∪A＝A， A∩∅=∅，A∪∅＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； 。 1. 整理本节课的题型。 1. 课本P13的练习1~3题。 1. 课本P14的习题1.3的4、6题。 练习 5. 已知，，，求，. 【解析】， ， 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题. 6. 设是平行四边形或梯形}，是平行四边形}，是菱形}，是矩形}，求，，. 【解析】由交集定义得：既是菱形又是矩形是正方形 由补集定义得：是邻边不相等的平行四边形或梯形；是梯形 【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，属于基础题. 7. 图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： （1）；（2）. 【解析】如下图阴影部分所示. 【点睛】本题考查图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题. 习题1.3 综合运用 11. 已知集合，，求，，，. 【解析】因为，， 所以,所以； 因为，， 所以,所以； 因为，， 所以，所以； 因为，， 所以，所以. 12. 设集合，，求，． 【解析】因为 所以 又因为， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当且且时，所以， 拓广探索 13. 已知全集，试求集合B. 【解析】，， .故. 【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力. 1.3 集合的基本运算 1. 并集 例1 例3 例5 1. 交集 1. 补集（全集）例2 例4 变式 好的，以下是一个结合生活实际情况的课堂引入，用于本节课的开始，希望起到统领全文的效果： 设计意图：通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 教学建议：教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 1.设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】补集的概念及运算 【分析】求出集合、，利用补集的定义可求得结果. 【详解】因为，， 因此，. 故选 ：A. 2.已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】直接利用补集的定义求解即可 【详解】因为是由U中不属于A的所有元素组成的集合，全集，， 所以. 故选：C. 3.已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全集U＝R，以及M，求出M的补集即可． 【详解】∵全集U＝R，M＝{x|﹣3≤x＜5}， ∴∁UM＝{x|x＜﹣3或x≥5}． 故选A． 【点睛】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 4.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可 【详解】或 所以， 故选：D 5.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、补集的概念及运算 【分析】先利用列举法求得集合，结合集合补集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，结合 集合， 根据补集的概念及运算，可得. 故选：C. 6.（多选）设全集为小于9的正整数}，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断元素与集合的关系、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据题意得到，所以，可能属于，也可能不属于，求出答案. 【详解】因为全集，集合， 所以，所以， 可能属于，也可能不属于， 根据选项可知B，D正确． 故选：BD 7.设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．集合M的真子集个数为8 E． 【答案】ACE 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算 【分析】根据交并补的定义可判断ABC选项，D选项为真子集的个数，没有空集，则可判断D选项错误，由B选项已知，根据交集的定义即可求出，从而判断E选项. 【详解】由题意，，A正确；，B不正确；，C正确；集合M的真子集个数为，D不正确；，E正确. 故选ACE 【点睛】本题考查集合交并补的定义和运算，考查集合真子集的求法，属于基础题. 8. 已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】直接利用补集的定义求解. 【详解】因为全集，集合， 所以或. 故选：C 9.（2016·山东·高考真题）设集合，则= A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【详解】试题分析：因为，所以，选A. 【考点】集合的运算 【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必考考点，也是考生必定得分的题目之一. 10.（2012·广东·高考真题）已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【详解】试题分析：因为，所以， 故选D. 考点：集合的运算. 12.（2010·陕西·高考真题）集合A=，B=，则= A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合补集与交集求结果. 【详解】因为 ，所以 ,选D. 【点睛】本题考查集合补集与交集,考查基本求解能力,属基础题. 13.（多选）设全集为小于9的正整数}，集合，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断元素与集合的关系、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据题意得到，所以，可能属于，也可能不属于，求出答案. 【详解】因为全集，集合， 所以，所以， 可能属于，也可能不属于， 根据选项可知B，D正确． 故选：BD 14.已知为全集，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】利用集合的交、并、补运算即可求解. 【详解】A，因为，， 所以，说法正确； B，若，则集合不一定为空集， 只需两个集合中无公共元素即可，B说法错误，； C，因为，， 所以，说法正确； D，，即集合中均无任何元素，可得，D说法正确. 故选：ACD 15.设全集，则满足的所有集合B的个数有（    ） A．1个 B．4个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】根据交集，补集的概念确定集合B中必有元素8，还有可能有元素2，4，6，9，即可得出结果. 【详解】∵全集， 且 ∴集合B中必有元素8，还有可能有元素2，4，6，9， ∴所有集合B的个数有：16． 故选：D 【点睛】本题主要考查了交集，补集的混合运算，熟练掌握各自定义是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$