第3周 轴对称-【预备新初二】2025-2026学年新八年级数学衔接教材

∠DFE.又.∠D=∠A,∴.添加一个条件AC= DF,可以使得△ABC≌△DEF(ASA). AB=DE, 9.115°在△ABC和△DEA中，AC=DA, BC=EA, ∴.△ABC≌△DEA(SSS),∴.∠BAC=∠EDA. ∠E=125°，∴.∠EAD+∠EDA=180°- 125°=55°，∴.∠BAE=∠BAC+∠CAD+ ∠EAD=55°+60°=115°. 10.解：如图所示即为所求 11.解：(1)甲同学的测量方案可行 理由如下： 在△AOB和△COD中， ,A0=C0, ∠AOB=∠COD, B0=D0, ∴.△AOB≌△COD(SAS), ∴.AB=DC, 即测出的DC的长为“五羊石像”底座的两 端A,B之间的距离. 乙同学的测量方案不可行 因为只有两组对边对应相等，缺少证明三角 形全等的条件 (2)添加BE⊥AC(答案不唯一)， 理由如下： ,BE⊥AC, .∴.∠ABD=∠CBD=90 在RI△DBA与Rt△DBC中， [DA DC, DB=DB, ∴.Rt△DBA≌Rt△DBC(HL), ∴.AB=CB 第三周 轴对称 第一天图形的轴对称 1.AA选项中的图形是轴对称图形，B,C,D 选项中的图形不是轴对称图形 2,BB选项中两个图形成轴对称，A,C,D选 项中两个图形不成轴对称 3.D:△ABC和△AB'C关于直线I对称， ∴.△ABC≌△AB'C',直线I垂直平分CC, .∠BAC=∠BAC,AB=AB',.正确的结论 有3个. 4.B:△ABC与△A'BC关于直线I对称， ∴.∠C=∠C'=30°.∠A=50°，∴.∠B= 180°-30°-50°=100°. 5.A由轴对称的性质得，△AB0≌△CD0, AC⊥PQ,BD⊥PQ,AC∥BD,∴.B,C,D选 项不符合题意，A选项符合题意 第二天线段的垂直平分线 1.B根据题中尺规作图痕迹，可知DF垂直平 分AB,BE是∠ABC的平分线，AF=BF, ∠BDF=9O°，∠ABF=∠CBE,∴.∠ABF= ∠BAF,∠DBF+∠DFB=90°，∴.∠BAF= ∠EBC. 2.24°AB的垂直平分线与BC交于点D, .DA=DB,∴.∠BAD=∠B=39°，∴.∠ADC= ∠B+∠BAD=78°，∠ADB=180°-∠ADC= 102°.将△ABD沿着AD翻折得到△AED, .∠ADE=∠ADB=102°，∴.∠CDE=∠ADE- ∠ADC=102°-78°=24°. 3.AAC=AD,BC=BD,.AB垂直平分CD. 根据现有条件，无法证明CD垂直平分AB. 4.证明：(1)：DE⊥AB,DF⊥BC, .∠AED=∠CFD=90 在△ADE和△CDF中， ,∠AED=∠CFD, ∠A=∠C, LAD =CD, ∴.△ADE≌△CDF(AAS). (2).△ADE≌△CDF, .ED FD. 在Rt△DBE和Rt△DBF中， tBD BD, ED =FD, .Rt△DBE≌Rt△DBF(HL), .BE BF. ED FD,BE =BF, .∴.BD垂直平分EF. 5.解：如图，点P即为所求 提示：连接AB,AC,BC.分别以A,B两点为圆 心，以大于2AB的长为半径画弧，两弧相交 于D,E两点，作直线DE.分别以A,C两点为 圆心，以大于之AC的长为半径画弧，两弧相 交于F,G两点，作直线FG.直线FG与DE交 于点P,点P就是所求作的快递中转站的 位置 第三天画轴对称的图形 1.C如图所示，在剩余的6个白色小正方形中 任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个 小正方形组成轴对称图形，符合条件的小正 方形在①②③④的位置，共有4个. ① ②③④ 2.B因为等边三角形有3条对称轴，圆有无数 条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4 条对称轴，所以圆的对称轴条数最多 3.C由正六边形和正三角形组成的图形为轴 对称图形，该图形的对称轴的条数为3，即正 三角形的三条高所在的直线 4.B点A(a,2)与点B(3,b)关于x轴对称 ∴.a=3,b=-2,∴.a+2b=3+2×(-2)=-1. 5.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求. y↑ 5 3 2 、1 -5-4-3-2-10112345￥ 3 (2)△ABC的面积=4×3-号×4×1-号× 2x3-7x3x1=号 5 (3)如图，连接CA'交y轴于点P,点P即为 所求。 1-2-1 01 第四天等腰三角形 1.BAB=AC,∠BAC=130,∠C=7× (180°-∠BAC)=25°.：DA⊥AC,∴∠CAD= 90°，∴.∠ADB=∠C+∠CAD=115. 2.52AB=AC,AD=BD,∴.∠B=∠C,∠B= ∠BAD,即∠B=∠C=∠BAD.∠B+∠C+ ∠BAC=18O°，∴，∠B+∠C+∠BAD+∠CAD= 180°，即3∠C+24°=180°，解得∠C=52. 3.解：：BE是∠ABC的平分线， ∴.∠DBE=∠CBE. 'DB=DE,∴.∠DBE=∠DEB, ∴.∠DEB=∠CBE,∴.DE∥BC, ∴.∠AED=∠C=45°. 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°. .∠A=65°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C= 180°-65°-45°=70°， ÷LEBC=7LABC=359 4,证明：BD=BE, ..∠D=∠BED. 又，∠BED=∠CEF, ∴.∠D=∠CEF. :DF⊥AC, ∴.∠A+∠D=90°，∠C+∠CEF=90°， .∠A=∠C, .AB=BC(等角对等边)， ∴.△ABC是等腰三角形. 5.(1)证明：，AE∥BC, ∴.∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB. :点E为△ABC的外角∠CAD平分线上的 一点， ∴.∠DAE=∠EAC, ∴.∠B=∠ACB, ∴.AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形. (2)解：由(1)可知，∠DAE=∠B,∠DAE= ∠EAC, ∴.∠B=∠EAC. AB=CA, 在△ABF和△CAE中， ∠B=∠EAC, BF =AE, ∴.△ABF≌△CAE(SAS), ∴.AF=CE. AF=4, .∴.CE=4. 第五天等边三角形 1.D点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点， △ABC是等边三角形，，S△ADr=SADRE= Sm=Smr=子Se,△DEF的面积 是好 2.证明：：△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°. 在△ABD和△BCE中， AB=BC, ∠ABD=∠BCE, BD CE, ∴.△ABD≌△BCE(SAS), .AD BE. 3.A因为有一个内角是60°的等腰三角形是 等边三角形，所以A选项符合题意，B选项不 符合题意；因为顶角和底角相等的等腰三角 形是等边三角形，所以C选项不符合题意；因 为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角 形，所以D选项不符合题意. 4.证明：，AB=AC,点D是BC的中点， .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD AB平分∠DAE, ,∠BAE=∠BAD, .∴.∠BAD=∠CAD=∠BAE. AE⊥BE,∴.∠E=90° BE∥AC, .∠EAC=90° .∠BAD=∠CAD=∠BAE=30°， ∴，∠BAC=60°， ∴.△ABC是等边三角形 5.9如图.∠ACB=90°，AC=3m,∠ABC= 30°，∴AB=2AC=6m,.这棵树折断之前的 高度是3+6=9(m). 第六天本周预习检测 1,A选项A中的图形是轴对称图形；选项B, C,D中的图形都不是轴对称图形 2.B,边AC的垂直平分线交BC于点D,垂足 为E,AD=DC,∴.△ABD的周长=AB+BD+ AD=AB+BD +DC=AB+BC=8+12=20. 3.D如图所示，只有一条对称轴的是①②③， ① ③ ④ 4.B,点A(2,m)与点B(n,3)关于x轴对 rn=2, 称， ∴.m+n=-3+2=-1. m=-3, 5.A,(a-b)2+1b-cl+(c-a)2=0,(a- b)2≥0,1b-cl≥0，(c-a)2≥0，∴.a=b=c, ∴.△ABC的形状为等边三角形 6.CAH⊥BC,BH=CH,∴.AH是BC的垂直 平分线，∴.AB=AC,∴.△ABC是等腰三角形， 故A选项不符合题意；，∠BAH=∠CAH,AH= AH,∠AHB=∠AHC=90°，∴.△ABH≌△ACH (ASA),∴.AB=AC,∴.△ABC是等腰三角形， 故B选项不符合题意；添加∠B=∠HAC无 法判断△ABC是等腰三角形，故C选项符合 题意；？SAAm=S△AIc,AH是边BC上的高， ∴.BH=HC,∴.AH是BC的垂直平分线， .∴.△ABC是等腰三角形，故D选项不符合题意 7.4如图所示，过点C作CE⊥AB,交AB的延 长线于点E,则∠BEC=90°.，∠ABC=150°， ∴.∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°= 30在R△BCE中，CB=2BC=7×8= 4(m),即点B到点C上升的高度h=4m. 150° B 8.3:DE∥AB,△ABC是等边三角形，∴.∠A= ∠B=∠ACB=∠CDE=∠CED=60°.，EF⊥ DE,∴.∠CEF=∠DEF-∠CED=30°，又 ,∠ACB是△CEF的外角，∴.∠F=∠ACB- ∠CEF=30°=∠CEF,∴.CE=CF=3. 9.证明：(1)△ABC是等边三角形， ,∴.AB=AC,∠BAC=∠B=60. :点D,E分别是AB,AC的中点， ∴.AD=DB,AE=EC, .∴.AD=AE=EC. ∠BAC=60°， ∴.△ADE是等边三角形， .∠ADE=∠AED=60°， ∴.∠ADE=∠B, .DE∥BC. (2).DE =FG, .DE +EF FG+EF, .DF=EG. ,∠CEG=∠AED,△ADE是等边三角形， .∠ADF=∠CEG. AD=CE, 在△ADF和△CEG中，{∠ADF=∠CEG, DF=EG, .∴.△ADF≌△CEG(SAS) 10.解：(1)如图1，直线1和△AB,C1即为所求 图1 (2)如图2，连接A1C,交直线l于点P,连 接AP, 此时PA+PC=PA1+PC=AC,取得最 小值， ∴.PA+PC+AC的值最小， 即△PAC的周长最小 图2 第四周 整式的乘法与因式分解 第一天幂的运算 1.Db2m*1=bm+m+1=6m.61 2.Ba3·a=a3+4=a 3.(a-b)3(b-a)2(a-b)3=(a-b)2(a-b)3= (a-b)2+3=(a-b)' 4.解：(1)原式=(-号2 =(-3)” 1 =-243 8第三周 轴对称 第一天 图形的轴对称 建议用时：20分钟实际用时： 学习资源 考点1◆对称图形的识别 ①AB=AB';②∠BAC=∠B'AC':③连接CC, 1.下列选项中，是轴对称图形的是( 直线I垂直平分线段CC'.其中正确的结论 有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.如图，△ABC与△A'BC关于直线1对称， ∠A=50°，∠C=30°，则∠B的度数为() 2.下列选项图案中的两个图形成轴对称的一项 是( A.90° B.100° C.70° D.80° B 5.如图，AD与BC交于点0，△AB0和△CD0 关于直线PQ对称，点A,B关于直线PQ的对 称点分别是点C,D.下列说法不一定正确的 是() D 考点2●对称图形特征的应用 3.如图，△ABC和△ABC关于直线I对称，下 列结论： A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD 15 第二天 线段的垂直平分线 建议用时：20分钟实际用时： 学习资源 考点1●线段垂直平分线的性质 4.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,∠A= 1.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列 ∠C,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC 说法不正确的是( 于点F,连接EF,BD (I)求证：△ADE≌△CDF; (2)求证：BD垂直平分EF, 6 A.AF=BF B.AE-ZAC C.∠DBF+∠DFB=90 D.∠BAF=∠EBC 2.如图，在△ABC中，∠B=39°，AB的垂直平分 线与BC交于点D,将△ABD沿着AD翻折得 到△AED,则∠CDE的度数是 考点3●作已知线段的垂直平分线 5.如图所示，点A,B,C分别表示三个住宅小 考点2●线段垂直平分线的判定 区，现要修建一个快递中转站P,使它到三个 3.如图，在四边形ABCD中，AC=AD,BC=BD, 住宅小区的距离相等，求作快递中转站的位 则正确的结论是() 置.（按要求尺规作图，不写作法，但要保留作 图痕迹》 4 A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C B C.AB与CD互相垂直平分 D.以上说法都正确 16 第三天 画轴对称的图形 建议用时：20分钟 实际用时： 学习资源 考点1◆设计轴对称图案 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点 1.如图，一个大正方形被平均分成9个小正方 的坐标分别为A(-4,-1),B(-5,-4), C(-1,-3) 形，其中有3个小正方形已经被涂上阴影，在 (1)画△A'B'C',使△A'B'C与△ABC关于y 剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴 轴对称； 影，使图中涂上阴影的四个小正方形组成轴 (2)求△A'BC的面积； 对称图形，那么符合条件的小正方形共有 (3)在y轴上作一点P,使得PA+PC最短. () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5-4-3-2-10112345x 考点2求对称轴的条数 2.下列选项中的图形，对称轴条数最多的是 () A.等边三角形 B.圆 C.长方形 D.正方形 3.如图，由正六边形和正三角形组成的图形为 轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 考点3●平面直角坐标系中的轴对称 4.已知点A(a,2)与点B(3,b)关于x轴对称， 则a+2b=() A.-4 B.-1 C.-2 D.4 17 第四天 等腰三角形 建议用时：20分钟实际用时： 学习资源 考点1◆等腰三角形的性质 考点2等腰三角形的判定 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，4.如图，点D为△ABC的边AB的延长线上一 DA⊥AC,则∠ADB=() 点，过点D作DF⊥AC,垂足为F,交BC于点 E,且BD=BE.求证：△ABC是等腰三角形 A.100° B.115° C.130° D.145° 2.如图，在△ABC中，若AB=AC,AD=BD, ∠CAD=24°，则∠C= 3.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，在 5.如图，点E为△ABC的外角∠CAD平分线上 边AB上取点D,使DB=DE.若∠A=65°， 的一点，AE∥BC,BF=AE ∠AED=45°，求∠EBC的度数. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若AF=4,求CE的长. 18 第五天 等边三角形 建议用时：20分钟实际用时： 学习资源 考点1◆等边三角形的性质 考点2等边三角形的判定 1.如图，在面积为1的等边三角形ABC中，点 3.下列条件中，不能判定三角形为等边三角形 D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则△DEF 的是() 的面积是( A.有一个内角是60的锐角三角形 B.有一个内角是60°的等腰三角形 C.顶角和底角相等的等腰三角形 D.腰和底边相等的等腰三角形 4.如图，AB=AC,点D是BC的中点，AB平分 ∠DAE,AE⊥BE,垂足为E,且BE∥AC.求证： A.1 △ABC是等边三角形 c号 D. 2.如图，点D,E分别是等边三角形ABC边BC, AC上的点，且BD=CE,BE与AD交于点F 求证：AD=BE. 考点3●含30角的直角三角形 5.如图，一棵与地面垂直的大树在离地面3m 处折断，如果树的另一部分倒地后与地面成 30°夹角，那么这棵树折断之前的高度是 m. 19 第六天 本周预习检测 建议用时：50分钟实际用时： 满分：70分 学习资源 一、选择题（每小题5分，共30分） 5.△ABC的三边长分别为a,b,c,若a,b,c满足 1.荣荣用圆规、直尺和彩笔画出以下几种图形， (a-b)2+|b-c+(c-a)2=0,则△ABC的 其中是轴对称图形的是() 形状为() A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.有30°角的直角三角形 D.钝角三角形 6.如图，在△ABC中，AH为边BC上的高，添加 下列选项中的条件后，仍不能判断△ABC是 2.如图，在△ABC中，AB=8,BC=12,边AC的 等腰三角形的是( 垂直平分线交BC于点D,垂足为E,则 A.BH=HC △ABD的周长为() B.∠BAH=∠CAH C.∠B=∠HAC D.SAARII=S△AMIc 二、填空题（每小题5分，共15分） B D 7.如图是某商场一部手扶电梯的示意图.若 A.14 B.20 C.28 D.32 ∠ABC=150°，BC的长为8m,则乘电梯从点 3.下列图形中，只有一条对称轴的是( B到点C上升的高度h= m. 150° A B 8.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边 ③ ④ BC,AC上，且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交 A.①②③④ B.②③ BC的延长线于点F.若CF=3,则CE的长 C.③④ 是 D.①②③ 4.在平面直角坐标系中，点A(2,m)与点B(n, 3)关于x轴对称，则m+n=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 20 三、解答题（共25分） 10.(13分)如图，在正方形网格中，每个小正方 9.(12分)如图，△ABC是等边三角形，点D,E 形的边长为1，△ABC关于直线l对称的图 分别是AB,AC的中点，连接DE. 形为△A,B,C,其中点A1是点A的对称点： (1)求证：DE∥BC; (1)请作出直线1及△ABC关于直线l对称 (2)在线段DE的延长线上取点F,G,使FG= 的△AB1C1; DE,连接CG,作射线AF交CG于点H.求 (2)在直线L上作出点P,使得△PAC的周 证：△ADF≌△CEG 长最小 21