精品解析：广西壮族自治区百色市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量调研测试数学试题

广西壮族自治区百色市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量调研测试数学试题 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的四则运算法则直接计算即可. 【详解】根据复数代数形式的四则运算法则得，. 故选：C. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由坐标表示向量的加法可得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 依次抛掷两枚硬币，两枚均正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】记正面朝上为1，反面朝上为0，先后两次抛硬币的结果为， 则依次抛掷两枚硬币，可能为：，共有四种可能， 其中两枚均正面朝上只有这一种可能，故所求为. 故选：C. 4. 已知球的体积是，则该球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球体体积公式列方程求解. 【详解】设球的半径为，因为，解得：. 故选：A 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，则（ ） A. B. 13 C. D. 37 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据余弦定理即可得结果. 【详解】由余弦定理可得，则， 故选：A. 6. 已知平面向量，，满足，，，则，的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可． 【详解】解：平面向量，，满足，，，设，的夹角是， 可得，因为，所以，的夹角是：． 故选：A． 7. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. B，C为对立事件 B. A，C为互斥事件 C. C，D为对立事件 D. A，D为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 8. 若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，进而根投影向量的概念求解即可. 【详解】解：因为，，且， 所以，解得. 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的内角的对边分别为a，b，c，已知，则角的度数可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦定理，建立方程，可得答案. 【详解】由正弦定理可得，即，所以， 由，则，可得或. 故选：BC. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不变 B. 直线CP与直线的所成角的取值范围为 C. 直线AP与平面所成角的大小不变 D. 二面角的大小不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面再由等体积法可得A正确；由可得直线CP与直线的所成角即为直线CP与直线的所成角，可得B正确；由点在直线上运动时，直线AB与平面所成的角和直线与平面所成的角可判断C，由当点在直线上运动时，平面可判断D. 【详解】对于选项A，因为面面，所以平面， 所以上任意一点到平面的距离相等，又，所以三棱锥的体积不变，故A正确； 对于选项B，因为，点在直线上运动，所以直线CP与直线的所成角即为直线CP与直线的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确； 对于选项C，点在直线上运动时，直线AB与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，故C错误； 对于选项D，当点在直线上运动时，平面，即二面角的大小不受影响，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数相等的定义列式求解即可. 【详解】因为， 则，解得. 故答案为：3. 12. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为AC的中点，. （1）求三棱柱的表面积； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）证明：连接交于点，连接OD， 因为四边形为矩形，所以为的中点. 因为为AC的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）由三棱柱的表面积等于三个侧面面积加上上下底面面积可得； （2）连接交于点，连接OD，由三角形中位线的性质结合线面平行的判定定理可得. 【小问1详解】 因为侧棱底面ABC，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面均为矩形. 因为，所以底面均为直角三角形. 因为，所以. 所以三棱柱的表面积为 . 【小问2详解】 略 14. 翱翔蓝天，报效祖国是有志青年的梦想.空军招飞，需依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过“复检”关的概率分别是0.4，0.5，0.6，他们能通过“文考”关的概率分别是0.5，0.6，0.5，若每人后三关的每一关是否通过互不影响． （1）求甲、乙都能进入“政审”关的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过“复检”关的概率. 【答案】（1）0.06 （2）0.38 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式及对立事件的概率即可求解. 【小问1详解】 设甲、乙能进入政审这一关的概率分别记为事件， 则， 所以甲、乙都能进入政审这一关的概率. 【小问2详解】 甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙， 所以恰好有两个人通过复检的概率为： . 15. 百色市某中学开展班级文化建设评比活动，对全校个班级进行了文化建设的量化打分（满分分，最低分分）．根据评比结果：得分在评为“一等奖”，颁发一块星奖牌；得分在评为“二等奖”，颁发一块星奖牌；得分在评定为“三等奖”，颁发一块星奖牌；得分在评定为不合格，不颁发奖牌.已知统计得分结果的频率分布直方图如图： （1）求的值； （2）根据统计得分结果的频率分布直方图，求班级文化建设评比得分的众数、中位数、平均数（同一组中的数据，用该组区间中点值作代表）； （3）学校从被评为二等奖和三等奖的班级中分别抽取个班级和个班级，再从这个班级中随机抽取个班级进行抽样复核，求所抽取的个班级获得的奖牌星数和不少于的概率. 【答案】（1） （2）众数为，中位数为，平均数为. （3） 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图中，所有直方图面积之和为，可得出关于的等式，解之即可； （2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数可得出样本的众数；设中位数为，分析可知，根据中位数的定义可得出关于的方程，解出的值作为中位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出平均数； （3）把个被评为“二等奖”的班级标记为、、、，个被评为“三等奖”的班级标记为、，利用列举法结合古典概型概率公式、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 频率分布直方图中，所有直方图面积之和为， 可得，解得. 【小问2详解】 ①频率分布直方图中，频率最大的得分范围是，故众数为； ②设班级得分的中位数为分，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为，故， 于是，解得， 所以班级文化建设评比得分的中位数为； ③班级文化建设评比得分的平均数为分. 【小问3详解】 因为被评为“二等奖”，颁发一块星奖牌，评为“三等奖”，颁发一块星奖牌． 所以抽取的个班级获得的奖牌星数和不少于为两个被评为“二等奖”的班级或 一个被评为“二等奖”的班级和一个被评为“三等奖”的班级，记这个事件为， 则为两个被评为“三等奖”的班级． 把个被评为“二等奖”的班级标记为、、、； 个被评为“三等奖”的班级标记为、， 则从这个班级中随机抽取个班级的样本空间为 ，共个基本事件． 事件仅有一个基本事件，所以. 所以抽取的个班级获得的奖牌星数和不少于的概率为. 16. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面； （2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得； （3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得． 【小问1详解】 ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示 由（1）知，平面．平面，． 又，平面，平面， 为与平面所成角． 由（1）知，平面ABD，平面，． 在中，，，， 为的中点，． 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， ． 与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取的中点为，连接， 为线段的中点，，， 由（1）知，平面，平面． 又平面，所以． 过点P作，垂足为，连接． ，平面，平面． 又平面，， 为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面ACD． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 平面，平面，． 在中，，． 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区百色市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量调研测试数学试题 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 依次抛掷两枚硬币，两枚均正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知球的体积是，则该球的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，则（ ） A. B. 13 C. D. 37 6. 已知平面向量，，满足，，，则，的夹角是（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. B，C为对立事件 B. A，C为互斥事件 C. C，D为对立事件 D. A，D为互斥事件 8. 若向量，，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的内角的对边分别为a，b，c，已知，则角的度数可以为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不变 B. 直线CP与直线的所成角的取值范围为 C. 直线AP与平面所成角的大小不变 D. 二面角的大小不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，则______. 12. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为AC的中点，. （1）求三棱柱的表面积； （2）求证：平面. 14. 翱翔蓝天，报效祖国是有志青年的梦想.空军招飞，需依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过“复检”关的概率分别是0.4，0.5，0.6，他们能通过“文考”关的概率分别是0.5，0.6，0.5，若每人后三关的每一关是否通过互不影响． （1）求甲、乙都能进入“政审”关的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过“复检”关的概率. 15. 百色市某中学开展班级文化建设评比活动，对全校个班级进行了文化建设的量化打分（满分分，最低分分）．根据评比结果：得分在评为“一等奖”，颁发一块星奖牌；得分在评为“二等奖”，颁发一块星奖牌；得分在评定为“三等奖”，颁发一块星奖牌；得分在评定为不合格，不颁发奖牌.已知统计得分结果的频率分布直方图如图： （1）求的值； （2）根据统计得分结果的频率分布直方图，求班级文化建设评比得分的众数、中位数、平均数（同一组中的数据，用该组区间中点值作代表）； （3）学校从被评为二等奖和三等奖的班级中分别抽取个班级和个班级，再从这个班级中随机抽取个班级进行抽样复核，求所抽取的个班级获得的奖牌星数和不少于的概率. 16. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $