第08讲 直线的方程（知识清单+3易错+7必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第08讲 直线的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 求直线方程时位置考虑不全致误 易错点二 忽视直线截距为0的特殊情况 易错点三 根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面致误 题型方法 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 两条直线的位置关系 题型四 直线的两点式方程及其应用 题型五 直线的截距式方程及其应用 题型六 直线的一般式方程与其他形式的转化与应用 题型七 一般形式下直线的平行与垂直问题 知识清单 知识点01求直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点02直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点03直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 知识点04直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点05直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点06利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 易错分析 【易错点一】求直线方程时位置考虑不全致误 【例1】（21-22高二·全国）已知直线l与直线：，：的夹角相等，且直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·福建福州·期中）过点引直线，使、两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）． A． B． C．或 D．或 【变式2】已知点是直线与轴的交点，将直线绕点旋转30°，则所得到的直线的方程为 . 【变式3】（20-21高一·全国·单元测试）求过直线与轴的交点，且与直线的夹角为的直线的方程 ． 【易错点二】忽视直线截距为0的特殊情况 【例2】（24-25高二上·河南许昌·期中）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【变式3】（24-25高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，已知点. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程. 【易错点三】根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面致误 【例3】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【变式2】（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则为（    ） A． B．或0 C． D．或0 【变式3】（22-23高二上·重庆荣昌·期末）已知直线与平行，则实数的取值是 . 题型方法 【题型一】直线的点斜式方程 【例1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程是 ． 【变式3】（24-25高二上·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【题型二】直线的斜截式方程 【例2】（24-25高二上·广东清远·阶段练习）直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【题型三】两条直线的位置关系 【例3】（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【变式3】（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【题型四】直线的两点式方程及其应用 【例4】（24-25高二上·全国）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件； 若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·全国）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为、、． (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的两点式方程． 【题型五】直线的截距式方程及其应用 【例5】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 解题技巧 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b| 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【变式3】（24-25高二上·全国）已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 【题型六】直线的一般式方程与其他形式的转化与应用 【例6】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 解题技巧 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）过点，斜率为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 【变式3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【题型七】一般形式下直线的平行与垂直问题 【例7】（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 解题技巧 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【变式2】（22-23高二上·北京海淀·阶段练习）已知直线，.若，则实数a= ，若，则实数a= ． 【变式3】（23-24高二上·山东·阶段练习）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 6．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 8．（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 三、填空题 10．（24-25高二上·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 11．（24-25高二下·上海浦东新·期末）我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 12．（24-25高二上·天津河东·阶段练习）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 14．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 15．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 16．（24-25高二上·北京·期中）已知顶点、、． (1)求线段的中点及其所在直线的斜率； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线的方程 题型梳理 易错分析 易错点一 求直线方程时位置考虑不全致误 易错点二 忽视直线截距为0的特殊情况 易错点三 根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面致误 题型方法 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 两条直线的位置关系 题型四 直线的两点式方程及其应用 题型五 直线的截距式方程及其应用 题型六 直线的一般式方程与其他形式的转化与应用 题型七 一般形式下直线的平行与垂直问题 知识清单 知识点01求直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点02直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点03直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 知识点04直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点05直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点06利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 易错分析 【易错点一】求直线方程时位置考虑不全致误 【例1】（21-22高二·全国）已知直线l与直线：，：的夹角相等，且直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设直线l斜率为有整理求值，应用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由题设，、的斜率分别为、，若直线l斜率为， 所以，整理得，可得或， 又直线l过点，则或，即或. 故选：D 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·福建福州·期中）过点引直线，使、两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求直线为，分两种情况讨论：①；②过线段的中点，求出对应直线的方程，即可得解. 【详解】设所求直线为，分两种情况讨论： ①，则直线的斜率，此时直线的方程为， 即，易知点不在直线上，合乎题意； ②当直线过线段的中点时，直线的斜率为， 此时直线的方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 故选：C. 【变式2】已知点是直线与轴的交点，将直线绕点旋转30°，则所得到的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】先求得点的坐标和直线的倾斜角.根据顺时针旋转或者逆时针旋转分为两种情况，利用点斜式写出所求直线方程，并化简为一般式. 【详解】令，求得，直线的斜率为，故倾斜角为. 当逆时针旋转时，所得直线的倾斜角为，此时直线方程为，即. 当顺时针旋转时，所得直线的倾斜角为，斜率为，又点斜式得，化简得. 故填：或. 【点睛】本小题主要考查直线和轴交点坐标的求法，考查斜率和倾斜角的对应关系，考查直线的点斜式方程，属于基础题. 【变式3】（20-21高一·全国·单元测试）求过直线与轴的交点，且与直线的夹角为的直线的方程 ． 【答案】或 【解析】由已知求得直线的倾斜角及直线与轴的交点坐标，进一步求得所求直线的斜率，则直线方程可求． 【详解】由直线，可得直线的斜率为，且与轴的交点坐标为， 所以直线的倾斜角为， 因为直线的夹角为，可得所求直线的倾斜角为或， 所以所求直线的斜率为或不存在， 故所求直线方程为或， 即或． 【易错点二】忽视直线截距为0的特殊情况 【例2】（24-25高二上·河南许昌·期中）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】按相等的截距是否为0分类，再结合直线方程的截距式求解. 【详解】当相等的截距都为0 时，直线方程为，即； 当相等的截距不为0时，设方程为，则，解得，方程为， 所以所求直线的方程为或. 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 【变式3】（24-25高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，已知点. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）求得直线的斜率再由点斜式方程即可得结果； （2）分截距是否为零两种情况进行分类讨论，可得结果. 【详解】（1）因为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即. （2）设所求的直线为， 若过坐标原点，设其方程为，将代入直线方程，得， 所以. 若不过坐标原点，设其方程为，将代入直线方程，得， 所以. 所以过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为或. 【易错点三】根据两直线的位置关系求参数时，因考虑不全面致误 【例3】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【答案】D 【分析】利用两直线平行的性质列方程求出的值，再检验两直线是否重合即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去. 所以，. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【答案】B 【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以,解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 【变式2】（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则为（    ） A． B．或0 C． D．或0 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以 ，解得或. 故选：B 【变式3】（22-23高二上·重庆荣昌·期末）已知直线与平行，则实数的取值是 . 【答案】或2 【分析】由直线平行的条件可求. 【详解】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 题型方法 【题型一】直线的点斜式方程 【例1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 解题技巧 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程是 ． 【答案】 【分析】由已知可得直线斜率不存在，直接可得解. 【详解】由已知直线倾斜角为， 所以直线斜率不存在， 则直线方程为， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标，由题意可得出，利用斜率公式可求出实数的值； （2）求出线段的中点的坐标，可求出直线的方程，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）由题意，直线的中点为，则， 因为，则，即，解得. （2）由（1）知点，线段的中点为，所以，， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即. 【题型二】直线的斜截式方程 【例2】（24-25高二上·广东清远·阶段练习）直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化直线方程为斜截式，再求出斜率. 【详解】直线，即，所以该直线的斜率为：． 故选：D 解题技巧 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系计算可得结果. 【详解】易知直线的斜率为， 设其倾斜角为，且，满足，可得. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 【变式3】（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可. （2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可. 【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 【题型三】两条直线的位置关系 【例3】（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 【题型四】直线的两点式方程及其应用 【例4】（24-25高二上·全国）经过点，的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的两点式方程求解即可； 【详解】由题意得，整理得． 故选：A． 解题技巧 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件； 若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·全国）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 【变式2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为、、． (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的两点式方程． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线、的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，进而可求得的两点式方程. 【详解】（1）解：，所以，直线的方程为，即， ，所以，直线的方程为，即. （2）解：线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的两点式方程为． 【题型五】直线的截距式方程及其应用 【例5】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 解题技巧 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b| 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解. 【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为， 代入点，得， 解得， 则直线方程为，即， 综上所述直线方程为或， 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【答案】或 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 【变式3】（24-25高二上·全国）已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 【答案】 【分析】根据直线垂直及截距相同列出方程组计算即可求参. 【详解】由题意得 解得或， 所以． 【题型六】直线的一般式方程与其他形式的转化与应用 【例6】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 解题技巧 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）过点，斜率为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点斜式方程直接写出答案，再转化为一般式方程即可. 【详解】根据点斜式方程得直线方程为，化简得. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可. 【详解】由题意，设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由斜率与倾斜角关系求出斜率，写出点斜式方程，再化为一般式； （2）由两点坐标求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式． 【详解】（1）由已知直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）由题意直线的斜率为， 直线方程为，即． 【题型七】一般形式下直线的平行与垂直问题 【例7】（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 解题技巧 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程． (2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 【变式2】（22-23高二上·北京海淀·阶段练习）已知直线，.若，则实数a= ，若，则实数a= ． 【答案】 0 -1 【分析】根据直线垂直以及平行的充要条件，即可列出方程，解出即得. 【详解】因为，所以有，解得； 因为，所以有，解得， 当时，与重合，舍去； 当时，，，与不重合，满足条件， 所以. 故答案为：0；-1. 【变式3】（23-24高二上·山东·阶段练习）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. （2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解. 【详解】（1）直线和直线平行， ，解得或， 当时，直线：和直线：平行， 当时，直线：和直线：重合， 所以； （2）由题意，知直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在. 当直线的斜率不存在时，，即，此时，则，满足题意. 当直线的斜率存在时，， 由斜率公式，得. 由，知，即，解得. 综上所述，或. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 2．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】直接令计算即可求解. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 3．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 4．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【详解】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B 5．（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得的值. 【详解】∵直线和相互垂直， ∴，解得. 故选：C. 6．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【答案】BC 【分析】A选项根据斜截式方程的形式判断，BC选项根据两条直线的平行垂直的关系求解，D选项直接代入检验即可. 【详解】A选项，根据斜截式方程的定义，直线的斜截式方程是：，A选项错误； B选项，直线化为，与斜率一样，且，则两条直线平行，B选项正确； C选项，直线的斜率是，斜率为，且，于是两直线垂直，C选项正确； D选项，代入，直线不过点，D选项错误. 故选：BC 8．（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 【答案】CD 【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 10．（24-25高二上·天津·期中）过点且与直线l：垂直的直线方程为 ．（用斜截式方程表示）． 【答案】 【分析】先求出的 斜率，再结合垂直得出斜率，最后点斜式写出直线方程化为斜截式即可. 【详解】因为直线l：的斜率为，直线与垂直得出斜率为， 所以与直线l：垂直的直线方程为,即. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海浦东新·期末）我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 【答案】 【分析】由题知图形为正方形，再往内外膨胀1个单位可得到图形，再计算面积即可. 【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形， 则图形为正方形，边长为， 点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下： 则其面积. 故答案为：. 12．（24-25高二上·天津河东·阶段练习）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】先设与的交点为，则与的交点为，然后将两点代入直线方程，解方程组，最后利用两点式求解即可. 【详解】设与的交点为，则与的交点为， 所以有，， 联立解得 ， 所以，整理得. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解； （2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． （2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 14．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 15．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 16．（24-25高二上·北京·期中）已知顶点、、． (1)求线段的中点及其所在直线的斜率； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1)中点为， (2)； (3)或. 【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解； （2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解； （3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解 【详解】（1）由、，可知中点为，且， （2）由（1）可得，垂直平分线斜率满足，即， 又的垂直平分线过，所以边的垂直平分线的方程为， 即； （3）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$