第09讲 椭圆的几何性质（知识清单+易错+6必考题型）（讲义)-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第09讲 椭圆的几何性质 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 题型方法 题型一 椭圆的性质的应用 题型二 求离心率的值 题型三 求离心率的取值范围 题型四 直线与椭圆的位置关系的判断 题型五 弦长问题 题型六 直线与椭圆位置关系的应用 知识清单 知识点01椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 对称性 对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b 离心率 e= (0<e<1) 1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径，通径长为. 2. 焦半径：椭圆上的任一点P(x0，y0)与焦点F1 或F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径. 记r1=PF1，r2=PF2，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 3. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 知识点02椭圆的几何性质及其应用  1. 已知椭圆方程，确定椭圆的几何性质的步骤 (1)将所给方程化成标准形式； (2)判断焦点所在的坐标轴； (3)确定a，b，由a2=b2+c2求出c，从而确定相关性质. 2. 利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常用待定系数法： (1)与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为+=k1(k1>0，a>b>0)或+=k2(k2>0，a>b>0). (2)与椭圆+=1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为+=1(k<b2<a2). 知识点03椭圆离心率的求解 1. 求椭圆离心率的两种方法 (1)若已知a，c，则可直接利用e=求解；若已知a，b(或b，c)，可由a2=b2+c2求出c(或a)，再代入e=求解； (2)若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，由a2=b2+c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，然后两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，解得e的值或范围，最后结合0<e<1得出结果. 知识点04与椭圆有关的最值问题 1. 与椭圆有关的最值问题的常用解法 (1)利用定义将其转化为几何问题，解题时可结合椭圆的几何性质、平面几何中的定理、性质等进行求解. 特别地，椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离的最大值为a+c，最小值为a-c. (2)利用换元法将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x，y的取值范围. 知识点05与椭圆有关的定点、定值问题 1. 解决定点问题，需要注意两个方面 (1)抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向. (2)抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，其实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线方程为y=kx+b，则直线恒过点(0，b)，若直线方程为y=k(x-a)，则直线恒过点(a，0). 2. 定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，解决定值问题的常用方法： (1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 知识点06直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆位置关系的判断 一般地，联立直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)与椭圆+=1(a>b>0)的方程， 得整理，得到一个关于x(或y)的一元二次方程. 位置关系 Δ的取值 交点的个数 相交 Δ>0 2 相切 Δ=0 1 相离 Δ<0 0 2. 弦长公式 设直线l：y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则P1P2=|x1-x2|=· 或P1P2=|y1-y2|=· (k≠0). 易错分析 【易错点一】忽略椭圆中变量的取值范围而致错 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 题型方法 【题型一】椭圆的性质的应用 【例1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 解题技巧 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 【变式2】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【变式3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，已知方程表示椭圆. (1)求的取值范围； (2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 【题型二】求离心率的值 【例2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求△的面积． 【题型三】求离心率的取值范围 【例3】（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 【题型四】直线与椭圆的位置关系的判断 【例4】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【举一反三】【变式1】（高二上·江苏南京·期中）已知m为实数，直线与椭圆的交点个数为 . 【变式2】（21-22高二·江苏）判断直线与椭圆的公共点的个数． 【变式3】（21-22高二上·江苏扬州·期中）设、分别是椭圆的左、右焦点. (1)求的离心率； (2)过的直线与相交于，两点. ①当为常数时. 若成等差数列，且公差不为，求直线的方程； ②当时. 延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由. 【题型五】弦长问题 【例5】（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ） A．5 B． C． D．10 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【变式3】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知为椭圆上一点，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直． (1)若，A为椭圆C的上顶点，求的面积． (2)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值． 【题型六】直线与椭圆位置关系的应用 【例6】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则 . 【变式3】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线， ①求直线和直线的斜率之积； ②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）P在椭圆C上，C的左右焦点在x轴上，和分别交C于点A，B，周长为20，左顶点和上顶点距离为，设离心率为e，那么（    ） A．椭圆焦距为3 B． C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（   ） A．四边形周长为8 B．的最小值为 C．直线BE的斜率为2k D． 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为，且是面积为的正三角形，若过且垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 11．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是 ． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）动点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知是与轴的交点，且在左边，点是轨迹上一点且在第一象限，直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程. 14．（21-22高二上·江苏无锡·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且与椭圆有共同的焦点； (2)经过 两点． 15．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，点是椭圆上且在第三象限内的一点. （i）若的面积为，求点的坐标； （ii）记直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 椭圆的几何性质 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 题型方法 题型一 椭圆的性质的应用 题型二 求离心率的值 题型三 求离心率的取值范围 题型四 直线与椭圆的位置关系的判断 题型五 弦长问题 题型六 直线与椭圆位置关系的应用 知识清单 知识点01椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 对称性 对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长为2a，短轴长为2b 离心率 e= (0<e<1) 1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径，通径长为. 2. 焦半径：椭圆上的任一点P(x0，y0)与焦点F1 或F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径. 记r1=PF1，r2=PF2，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 3. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 知识点02椭圆的几何性质及其应用  1. 已知椭圆方程，确定椭圆的几何性质的步骤 (1)将所给方程化成标准形式； (2)判断焦点所在的坐标轴； (3)确定a，b，由a2=b2+c2求出c，从而确定相关性质. 2. 利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常用待定系数法： (1)与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为+=k1(k1>0，a>b>0)或+=k2(k2>0，a>b>0). (2)与椭圆+=1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为+=1(k<b2<a2). 知识点03椭圆离心率的求解 1. 求椭圆离心率的两种方法 (1)若已知a，c，则可直接利用e=求解；若已知a，b(或b，c)，可由a2=b2+c2求出c(或a)，再代入e=求解； (2)若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，由a2=b2+c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，然后两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，解得e的值或范围，最后结合0<e<1得出结果. 知识点04与椭圆有关的最值问题 1. 与椭圆有关的最值问题的常用解法 (1)利用定义将其转化为几何问题，解题时可结合椭圆的几何性质、平面几何中的定理、性质等进行求解. 特别地，椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离的最大值为a+c，最小值为a-c. (2)利用换元法将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x，y的取值范围. 知识点05与椭圆有关的定点、定值问题 1. 解决定点问题，需要注意两个方面 (1)抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向. (2)抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，其实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线方程为y=kx+b，则直线恒过点(0，b)，若直线方程为y=k(x-a)，则直线恒过点(a，0). 2. 定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，解决定值问题的常用方法： (1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 知识点06直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆位置关系的判断 一般地，联立直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)与椭圆+=1(a>b>0)的方程， 得整理，得到一个关于x(或y)的一元二次方程. 位置关系 Δ的取值 交点的个数 相交 Δ>0 2 相切 Δ=0 1 相离 Δ<0 0 2. 弦长公式 设直线l：y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则P1P2=|x1-x2|=· 或P1P2=|y1-y2|=· (k≠0). 易错分析 【易错点一】忽略椭圆中变量的取值范围而致错 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设为椭圆上一动点，利用两点间距离公式结合动点在椭圆上，由二次函数求最值即可. 【详解】设为椭圆上一动点， 由椭圆，不妨取椭圆短轴一端点B， 则， 由可得， 则， 由知，当时，. 故选：C 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用两点间的距离表示，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：B 【变式2】设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，，则，， 设点，则，且，则， 所以，，， 所以， ，所以当时，取最小值， 故选：D 【变式3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 题型方法 【题型一】椭圆的性质的应用 【例1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点的位置进行分类讨论，利用标准方程确定的值，进而解得的值. 【详解】由题意得，，，则，即， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 综上所述，或， 故选：C. 解题技巧 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．12 B．4 C．12或4 D．10或6 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点的位置进行分类讨论，利用标准方程确定的值，进而解得的值. 【详解】由题意得，，，则，即， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，有，解得， 综上所述，或， 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程以及点坐标，利用椭圆定义并结合三角形边长即可求得其最小值. 【详解】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部； 设为椭圆的上焦点，连接， 由椭圆定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示： 因此则的最小值为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，已知方程表示椭圆. (1)求的取值范围； (2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果； （2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果. 【详解】（1）表示椭圆，，解得：或， 即实数的取值范围为. （2）当时，椭圆方程为：，焦点坐标为， 将代入椭圆方程可得：，即，. 【题型二】求离心率的值 【例2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 解题技巧 直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，由对称性求出点的坐标，由题意可得出，可得出关于、的齐次等式，结合可求出的值. 【详解】如下图所示： 易知点、，直线的方程为， 联立解得，即点， 由椭圆的对称性可知，点与点关于轴对称，则， 所以，，且直线的斜率为， 由已知，则，则， 所以，，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆的离心率； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）直线求出来，发现经过原点，得出B坐标，用两点间的距离公式求出长度，再运用点到直线距离公式求出的高，求出面积即可． 【详解】（1）由题意得，解得，则， 所以椭圆的标准方程为：，离心率为. （2）如图过点且斜率为的直线设为：化简即， 即，经过原点，由椭圆的对称性知道，关于原点对称， 则，， 由点到直线距离公式求得到的距离， 则， 故的面积为． 【题型三】求离心率的取值范围 【例3】（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：联立方程求出中点坐标，进而判断焦点位置是求解的关键. 解题技巧 方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，得到，转化为，进而求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点， 可得，即， 因为为钝角三角形，则，可得，即，即， 又因为，可得，即， 即，且，解得， 即椭圆的离心率的取值范围为. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意在轴右侧要存在两个点到的距离相等，不妨设轴上方椭圆上的点，由距离公式求出，然后转化为二次函数问题，即只需对称轴位于，从而可求解. 【详解】由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等， 不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得， 所以，， 要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可， 所以，即，即，即， 化简得，即， 即，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要是设点并结合距离公式求出的表达式，再结合二次函数性质构建出关于系数的不等式，化简为，从而可求解. 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 【答案】 【分析】由中垂线的性质可知，再根据几何关系可知，求椭圆的离心率. 【详解】如图，    设直线与轴的交点为，连接， ∵的中垂线过点， ∴，可得， 又∵，且， ∴，即， ∴，， 又椭圆的离心率，得， 故离心率的取值范围是 【题型四】直线与椭圆的位置关系的判断 【例4】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出椭圆方程，再与直线方程联立，可得解. 【详解】由题，长轴长为，所以， 由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点. 故选：B 【举一反三】【变式1】（高二上·江苏南京·期中）已知m为实数，直线与椭圆的交点个数为 . 【答案】2个 【分析】根据直线的方程，易得直线过定点，又因为定点在椭圆上，且，则直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交. 【详解】因为直线方程为 所以直线过定点，定点在椭圆上， 又因为，所以直线与x轴不平行， 所以直线和椭圆相交，所以交点为2个. 故答案为：2个 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【变式2】（21-22高二·江苏）判断直线与椭圆的公共点的个数． 【答案】个 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】联立，消去可得，则， 故直线与椭圆只有个公共点. 【变式3】（21-22高二上·江苏扬州·期中）设、分别是椭圆的左、右焦点. (1)求的离心率； (2)过的直线与相交于，两点. ①当为常数时. 若成等差数列，且公差不为，求直线的方程； ②当时. 延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)①，；②相切，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆方程求得离心率即可. （2）①由成等差数列，且公差不为，知直线斜率存在，且，求得.设直线方程为，，与椭圆联立，由弦长公式求AB的长，结合，求得直线斜率，写出直线方程； ②设，则，令，将直线方程与椭圆联立，分别表示出的坐标，求得的斜率，写出的方程，与椭圆联立，验证判别式与0的关系，从而确定直线与椭圆的关系. 【详解】（1）由题意得，， 因为，故， 即 （2）①成等差数列，且公差不为，直线斜率存在，且 又，； 设直线方程为， 联立，得， 则 ，解之得 故直线方程为， ②直线与椭圆的位置关系是：相切. 理由如下： 设，则，令 联立，得， 由韦达定理可知，并注意到， 得， 即，   故， 得 同理得.       此时，，     直线的方程为，整理得 联立，得， 注意到，故 此时， 故直线与椭圆的位置关系是：相切. 【题型五】弦长问题 【例5】（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】D 【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到. 【详解】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得. 【详解】由题意可知，得，所以， 所以椭圆方程为， 椭圆的右焦点为，当时，，得， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知为椭圆上一点，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直． (1)若，A为椭圆C的上顶点，求的面积． (2)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先联立直线与椭圆方程，消去得到关于的方程，由判别式确定取值范围. 用韦达定理得和表达式. 代入弦长公式，结合求，舍去不符合的值得到直线方程. 用点到直线距离公式求点到直线距离，再根据三角形面积公式求面积. （2）依据直线斜率公式写出表达式，把，代入表达式化简，结合韦达定理计算即可. 【详解】（1）设直线的方程为，，，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 点到直线l的距离， 故的面积． （2）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【题型六】直线与椭圆位置关系的应用 【例6】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得. 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为， 则直线的方程为，即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得，满足， 故直线方程为，即. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解． 【详解】由题意可知，，， 椭圆的标准方程为． 设直线：，联立直线和椭圆方程， ，得 ，记，， 则， 由题意知和．则，， 则， 所以． 故选：B 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则 . 【答案】 【分析】由椭圆得标准方程，可得焦点坐标，利用焦点三角形得面积与椭圆方程，可得点的坐标，可得答案. 【详解】由椭圆，则，， 所以，，设， 由的面积为，则，解得， 不妨设在第一象限，当时，，解得， . 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线， ①求直线和直线的斜率之积； ②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析,定点的坐标为, 【分析】（1）判断点，点在椭圆上，点或在直线上，代入椭圆方程，即可求出椭圆的方程； （2）设,，当时，设,、,，利用点差法求出直线和直线的斜率之积；由此得直线的方程，结合方程确定直线恒过定点即可得结论． 【详解】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上， 当椭圆过点可得， 则椭圆的方程为； 当椭圆过点可得，方程组无解， 综上，椭圆的方程为； （2）①由题可设,，当时，设,、,，显然， 联立，则，即， 因为为线段的中点，所以， 又， 所以，即直线和直线的斜率之积为； ②由①可得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为， 即， 显然恒过定点,， 当时，直线即，此时为轴亦过点,； 综上所述，恒过定点,． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将椭圆方程化为标准形式：，利用离心率公式即可求得结果. 【详解】因为椭圆，整理为，则， 所以，所以（负值舍去），故， 故选：C 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】设点，可得，结合两点间距离公式计算即可得解. 【详解】设，则，可得，其中， 所以， 当时，取得最小值，. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由椭圆方程及椭圆的定义求焦点相关三角形的周长即可. 【详解】由题意， 所以的周长为16. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【详解】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性确定的周长，再由弦长公式，点到线的距离公式求得面积，即可求出内切圆半径即可求解. 【详解】 由椭圆方程，可得， 即，所以为等边三角形， ， 由题意可知：，即直线l为的角平分线，倾斜角为， 则点关于直线l对称，而 的周长为，所以的周长为， 因为直线l的方程为，椭圆方程为， 设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 则， 点直线l的距离为， 所以的面积为， 所以，解得：， 所以， 故选：C 二、多选题 6．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）P在椭圆C上，C的左右焦点在x轴上，和分别交C于点A，B，周长为20，左顶点和上顶点距离为，设离心率为e，那么（    ） A．椭圆焦距为3 B． C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 【答案】BC 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断AB选项，由焦点弦三角形的面积判断C选项，由直线斜率公式和椭圆上的点满足椭圆的方程计算判断D选项. 【详解】 因为点在椭圆上，所以， 故的周长为，解得， 因为左顶点和上顶点的距离为，解得， 则，焦距为，故A错误；，故B正确； ， 当点位于轴上时，面积取得最大值，故C正确； 设，则，即， 因为所以， 故不是定值，故D错误； 故选：BC. 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 【答案】BCD 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确；    对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（   ） A．四边形周长为8 B．的最小值为 C．直线BE的斜率为2k D． 【答案】ABD 【分析】由椭圆的定义判断A，结合基本不等式求得最小值判断B，设，得出坐标，求出斜率判断C，由直线与椭圆相交求得点坐标后根据斜率即可判断D． 【详解】由已知，，A正确； ， 则， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 设，则，，， 则，C错； 直线方程为， 由，消去得， 显然是此方程的一个解，则， ， 因此， ，，所以与垂直，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，如果直线方程是以直线与椭圆相交的一个点为基础得出的方程，那么该点的坐标（横坐标或纵坐标）就是相应一元二次方程的一个解，从而利用韦达定理易求得另一解． 三、填空题 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ． 【答案】 【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】由，得， 故两点在直线上， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键. 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为，且是面积为的正三角形，若过且垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】由面积为，且其为正三角形，可得，后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案. 【详解】如图， 设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则. 又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线， 则，又， 故的周长， 又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有. 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是 ． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【分析】（1）若，曲线，表示对角线长为2的正方形，可得曲线围成的图形的面积是2； （2）椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，时，曲线与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论. 【详解】（1）若，曲线，易知曲线关于轴，轴对称， 作出当，时的图象，根据对称性得到曲线的图象如下图： 曲线表示对角线长为2的正方形， 故曲线围成的图形的面积是2； （2）由（1）可知，曲线表示对角线长为的正方形， 因为椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1， 所以当时，曲线与椭圆有四个不同的交点； 当，时，联立， 可得， 当时，直线与椭圆相切， 此时，，， 根据曲线的对称性知，此时曲线与椭圆有四个不同的交点， 所以或. 故答案为：2；或. 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程； (2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用中点弦问题求解即可； （2）利用韦达定理得到再根据斜率的坐标表示可得，结合韦达定理可证明. 【详解】（1）设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. （2）    不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）动点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知是与轴的交点，且在左边，点是轨迹上一点且在第一象限，直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可知所求轨迹为椭圆，由椭圆定义可得轨迹方程； （2）利用面积倍数关系可整理得到； 方法一：利用相似比可求得点坐标，进而得到直线方程； 方法二：设直线方程，与椭圆方程联立可求得点纵坐标，由可构造方程求得值，进而得到直线方程. 【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径， 线段的垂直平分线交于点，， 又， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，记椭圆的长轴长、短轴长和焦距分别为， 则，，，，， 动点的轨迹的方程为：. （2） 方法一：由（1）知：，， 在第一象限，， ， 又，， ，整理可得：， ，即，，， ， 直线的方程为：. 方法二：由（1）知：，， 在第一象限，， ， 又，， ，整理可得：； 设直线的方程为：， 由得：，， ，又， ，解得：（舍）或， 直线的方程为：，即. 14．（21-22高二上·江苏无锡·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且与椭圆有共同的焦点； (2)经过 两点． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由条件可设所求椭圆方程为，利用已知条件求出，，即可得解． （2）设椭圆方程为 ，代入点坐标，求得，，即可得答案． 【详解】（1）椭圆，即，故， 焦点为， ， 设所求椭圆的标准方程， 所以 , 解得 ， 所以所求椭圆的标准方程为; （2）设所求椭圆的方程， 将代入上式得 , 解得 所以所求椭圆的标准方程为. 15．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，点是椭圆上且在第三象限内的一点. （i）若的面积为，求点的坐标； （ii）记直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（i）由的面积求得点到直线的距离，过点且与直线平行的直线方程并与椭圆方程联立，利用求出的值，结合两平行线的距离公式计算确定点为切点，回代入方程即可求得点坐标；（ii）设，利用直线的方程即可求出点的坐标，由图写出四边形面积表达式，借助于椭圆参数方程和换元，利用二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，由已知得， 所以，所以， 所以椭圆方程为. （2）（i）由可得，因的面积为， 故点到直线的距离为， 设过点且与直线平行的直线方程为，与椭圆联立， 消去，可得，由，解得， 而当时，直线与直线的距离恰为， 即点即为直线与椭圆的切点，将代入， 可得，解得，因为点在第三象限，所以， 故点坐标为. （ii）设，其中，则. 又因为，所以直线， 令，所以，同理. 所以四边形的面积 ， 令， 所以， 令，则，，故， 故当时，，即时， 也即时，四边形的面积取最大值为.    【点睛】关键点点睛：此题有两个关键点：其一，在求得点到直线的距离后，可通过设过点与平行的直线，与椭圆联立，利用求出，结合两平行线的距离公式计算确定点为切点；其二，要善于利用四边形的对角线互相垂直进行表征其面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$