专题九 行程问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（苏教版）

寄蜉蝣于天地,渺沧海之一粟。哀吾生之须臾,羡长江之无穷。———[宋]苏轼 采蜜角 39 专题九 行程问题 我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题叫作行程问题。本专题主要涉及相遇 问题,相遇问题的基本数量关系是速度和×相遇时间=路程和。解决这类问题时,对具体问题 要具体分析,弄清出发地点、时间和运动结果。 类型一 相遇问题 例1 甲、乙两车分别从A、B两地同时开出,相 向而行,甲车每小时行驶80千米,乙车每小时 行驶72千米,两车在距离中点24千米处 相遇。 点拨:由题意可知,相遇时,因为甲车速度快, 所以超过中点24千米;乙车速度慢,距离中点 还有24千米。画出如下示意图: 由图可知,在相同的时间内,甲车比乙车多行 驶了2个24千米􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,而甲车每小时比乙车多行 驶80-72=8(千米)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,从而可以算出两车行驶 的时间。 解答: 确定实际的路程差 对于距中点一定距离相遇的问题,要确定两车 实际的路程差,用实际的路程差除以两车的速度差, 求出行驶的时间,最后根据题目的要求求解即可。 类型二 多次相遇问题 例2 小欣和小亮两人同时从相距1300米的两 地出发,相向而行,小欣每分钟行70米,小亮 每分钟行60米。一只狗与小欣同时同向而 行,狗每分钟跑300米,遇到小亮后,立即回头 向小欣跑去,遇到小欣后再立即向小亮跑去, 这样不断来回跑,直到小欣和小亮相遇为止。 这只狗一共跑了多少米? 点拨:要求狗一共跑了多少米,一般要知道狗 跑的速度和时间。狗跑的速度是每 分 钟 300米􀪍􀪍􀪍 ,则关键是要求出狗跑的时间 􀪍􀪍 。根据题 意可知,狗与小欣是同时同向而行的,狗不断 来回跑的时间就是小欣和小亮同时出发到两 􀪍 人相遇所用的时间 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。所以,解决本题的关键是 要先求出小欣和小亮相遇的时间,即用他们行 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的总路程除以他们的速度和 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,最后用狗跑的速 度乘狗跑的时间即可求出狗跑的路程。 解答: 运用不变量解决多次相遇问题 解决多次相遇问题时,由于题中的行程呈现 一个动态的变化过程,直接求解比较困难,因此要 从中找出一个与它相等的不变量,借助这个不变 量,再根据“速度×时间=路程”求解即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆40 1. 甲和乙在300米长的环形跑道上散步,两人从同一地点同时出发,同向而行。甲每分钟走 60米,乙每分钟走45米,经过多少分钟两人第一次相遇? 2. 甲、乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发,相向而行。一名学生骑自行车以每小时15千 米的速度在两队间不停地往返联络。甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米。两队相遇 时,骑自行车的这名学生共骑行多少千米? 3. 甲、乙两车分别从A、B两城同时出发,相向而行,在离A城52千米处第一次相遇,到达对方 出发的城市后立即以原速沿原路返回,在离A城44千米处第二次相遇。A、B两城相距多少 千米? 4. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行。已知甲车每小时行驶80千米,2小时后两 车相遇。相遇后它们继续行驶,又过了1小时,甲车到达B地。乙车还要行驶几小时才能到 达A地? 5. 甲、乙两人匀速沿圆形跑道向相反方向跑步(如图),出发点恰好在一条直径的两端。如果他 们同时出发,那么在乙跑完300米后两人第一次相遇。在甲跑完一圈还差160米时,两人第二 次相遇。甲的速度是乙的多少倍? 数学(苏教版)五年级 84 例2 解答:42÷3=14 14-2=12 14+2=16 这三个偶数分别是12、14、16 [提优训练] 1. (1) 偶数 (2) 2 (3) 12 解析:根据题意,先把1716分解质因数后,再 把1716写成3个连续自然数的乘积形式,即可得出 这三个连续的自然数,从而可得这三个数中的偶数。 2. (1) B (2) A 解析:2016÷4=504,504左右各推2个相邻 的奇数,分别是501、503、505、507,则其中最小的一个 奇数是501。 (3) B (4) B 3. 奇数 偶数 偶数 4. 偶数 奇数 偶数 偶数 5. 奇数 解析:993÷2=496……1,则在1~993的自 然数中,有496个偶数,497个奇数。因为496个偶数 的和一定是偶数,497个奇数的和一定是奇数,且偶 数+奇数=奇数,所以原式的结果一定是奇数。 6. 不能办到 每个盘子里只能放奇数个,那么11个 盘子里苹果的个数的和,即11个奇数的和还是奇数。 现在有36个苹果,36是偶数,所以不能办到 专题八 倍数问题 [例题导引] 例1 解答:男工:60÷(1+4)=12(人) 女工:12×4=48(人) 例2 解答:3-1=2 6.6-1.8=4.8(米) 4.8÷2=2.4(米) 2.4+6.6=9(米) 例3 解答:甲桶:(12+8)÷(5-1)=5(千克) 乙桶:5+8=13(千克) [提优训练] 1. 小林:240÷(1+3)=60(枚) 小军:60×3=180(枚) 2. 乙筐:35×2÷(2.4-1)=50(个) 甲筐:50×2.4=120(个) 3. (53+3-2)÷(3+2+1)=9(千克) 9×3-3= 24(千克) 解析:由题意可知,53+3-2=54(千克), 这54千克正好是苹果质量的3+2+1=6倍,所以苹 果的质量是54÷6=9(千克)。因为梨的质量比苹果 的3倍少3千克,所以梨的质量是9×3-3=24(千克)。 4. (66+14)÷(3-1)=40(个) 40+66=106(个) 5. 甲桶:(10+4)÷(3-1)=7(千克) 乙桶:7+10= 17(千克) 专题九 行程问题 [例题导引] 例1 解答:24×2=48(千米) 48÷(80-72)=6(时) (80+72)×6=912(千米) 例2 解答:1300÷(60+70)=10(分) 300×10= 3000(米) [提优训练] 1. 300÷(60-45)=20(分) 解析:两人从同一地点 同时出发,同向而行,第一次相遇时,甲比乙多走一 圈,故用环形跑道的长度除以两人的速度差即可。 2. 18÷(5+4)×15=30(千米) 解析:甲、乙两队学 生从两地同时出发,相向而行,他们相遇所用的时间 为18÷(5+4)=2(时),而骑自行车的学生每小时骑 行15千米,骑行的时间与两队相遇的时间相同,据此 求解即可。 3. 52×3=156(千米) 156+44=200(千米) 200÷ 2=100(千米) 解析:由题意可知,第一次相遇时,甲 车行驶了52千米,即两车每行驶完1个全程,甲车就 行驶了52千米;第二次相遇时,两车实际行驶完3个 全程。甲车从出发到第二次相遇时,行驶的路程加上 距离A城的44千米是2个全程。 4. 80×(2+1)=240(千米) 80×1÷2=40(千米/时) 240÷40-(2+1)=3(时) 解析:根据题意,画出如 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏教版)五年级 85 下示意图: 由上图可知,甲车每小时行驶80千米,从A地到B地 共行驶了2+1=3(时),则A、B两地的距离为80× 3=240(千米)。相遇时,甲车到B地的距离为80× 1=80(千米),即乙车2小时行驶的路程,所以乙车的 速度为80÷2=40(千米/时)。乙车从B地行驶到 A地的时间为240÷40=6(时),而乙车已经行驶了 3小时,所以还要行驶6-3=3(时)才能到达A地。 5. 300×3=900(米) 900-160=740(米) 740× 2=1480(米) 1480-160=1320(米) 1320÷900= 22 15 解析:两人第一次相遇时,两人跑的路程之和正 好是半圈。第二次相遇时,两人跑的路程之和相当于 3个半圈,此时乙跑了3×300=900(米),甲跑的路程 比1圈少160米,即乙跑的路程比半圈多160米。由 此,可求出1圈的路程。甲、乙两人跑的时间相同,所 以甲、乙两人的速度关系就相当于甲、乙两人所跑路 程之间的关系。 “整合提优”综合检测 一、 1. 偶 奇 2. a+2 19 3. 24 4. 7 5. 奇数 偶数 6. 49 11 7. 54 18 8. 6.28 解析:三角形的内角和是180°,涂色部分的 面积相当于半径为2厘米的半圆的面积。 9. 110 10. 1 解析:分针旋转1圈是1小时,旋转24圈是 24小时,以24圈为一个周期,看2023圈里面包含了 多少个24圈,还剩几圈。 二、 1. B 2. B 3. B 4. B 5. A 解析:这个圆形塑料片不可能滑到的部分在长 方形的4个顶点处,如下图。每个顶点处不可能滑到 的部分的面积就是边长为(6÷2)厘米的正方形面积 减去半径为(6÷2)厘米的圆的面积的14 。 三、 1. 6.24×101-6.24=6.24×(101-1)=6.24× 100=624 4.7×99=4.7×(100-1)=4.7×100- 4.7×1=470-4.7=465.3 11-3.68-6.32=11- (3.68+6.32)=11-10=1 0.8×1.36×125= 0.8×125×1.36=100×1.36=136 9.8×2.4+ 0.48=9.8×2.4+0.2×2.4=(9.8+0.2)×2.4= 10×2.4=24 5.2×9.9+0.52=0.52×99+0.52× 1=0.52×(99+1)=0.52×100=52 假设a= 19991999,b=20001999,则 19992000=a +1, 20002000=b +1。 19992000×20001999- 19991999×20002000=(a+1)×b-a×(b+1)= ab+b-ab-a=b-a=20001999-19991999=10000 11 16+ 3 10+ 5 16- 1 10= 11 16+ 5 16 + 310-110 =1+15= 115 假设a=12+ 2 3 ,b=1+12+ 2 3+ 3 4 。 1+ 1 2+ 2 3 × 1+12+23+34 - 1+12+23+34 × 1 2+ 2 3 =(1+a)×b-b×a=b+ab-ab=b=1+ 1 2+ 2 3+ 3 4= 35 12 2. 16 25 得数是算式正中间的数的平方(合理即可) 3. (1) (1×2)×(1×2)=4(平方厘米) 解析:将涂 色部分分割,并移为正方形,如下图。 (2) 3.14×22÷4=3.14(平方厘米) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析