专题六 运用最小公倍数解决问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（苏教版）

呜呼! 楚虽三户能亡秦,岂有堂堂中国空无人! ———[宋]陆游 采蜜角 33 专题六 运用最小公倍数解决问题 与最小公倍数相关的问题的解题方法比较特殊。当所要求的数并不正好是已知数的最小 公倍数时,我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法,将问题转化成求已知数的最小 公倍数,从而求出结果。 类型一 用增加法解决最小公倍数问题 例1 一盒棋子,4枚4枚地数,多3枚;6枚 6枚地数,多5枚;15枚15枚地数,多14枚。 已知这盒棋子的枚数在150~200之间,求这 盒棋子有多少枚。 点拨:由题意可知,这盒棋子只要再增加1枚􀪍􀪍 , 棋子的枚数就正好是 4、6、15􀪍􀪍􀪍 的公倍数。换句 话说,这盒棋子的枚数比4、6、15的公倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 少1􀪍􀪍 。先求4、6、15􀪍􀪍􀪍 的最小公倍数,再根据“这 盒棋子的枚数在150~200之间”求出这盒棋 子有多少枚。 解答: 运用增加法解决最小公倍数问题 解决此类问题时,若所要求的数并不正好是 已知数的最小公倍数,可以通过“增加一部分”的 方法,将问题转化成求已知数的最小公倍数,从而 求出结果。 类型二 用转化法解决最小公倍数问题 例2 东东有一箱玻璃球,7个7个地数,还剩 4个;5个5个地数,又少3个;3个3个地数, 正好数完。这箱玻璃球最少有多少个? 点拨:由题意可知,这箱玻璃球的个数是3的 倍数。7个7个地数,还剩4个,也可以看成 7个7个地数,还少3个􀪍􀪍􀪍 ,那么这箱玻璃球的个 数最小应是比3、5、7的最小公倍数少3􀪍􀪍 的数, 即求出3、5、7的最小公倍数后减3􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,就是这箱 玻璃球最少有的个数。 解答: 运用转化法解决最小公倍数问题 解决此类问题时,已知条件中出现比已知数 的最小公倍数多几或少几的情况,可以把其中多 几的情况转化成少几的情况,使已知数的最小公 倍数减去一个数以后正好是要求的结果。 类型三 用增减规律解决被除数问题 例3 有一个自然数,被10除余7,被7除余4, 被4除余1。这个自然数最小是多少? 点拨:假如把这个自然数增加3􀪍􀪍􀪍 ,所得的数就 正好能被10、7、4􀪍􀪍􀪍 这三个数整除,即用10、7、4 的最小公倍数减去3,就能得到所求的数。 解答: 运用增减规律解决被除数问题 解决此类问题时,要注意几组除数和余数的 差是否都相等,若相等,则先求出几个除数的最小 公倍数,再减去除数和余数的差即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆34 1. 五年级有一些同学准备排队做操,若3人一行,则余2人;若7人一行,则余2人;若11人 一行,则也余2人。这些同学最少有多少人? 2. 有一些乒乓球,总数在1000个以内,4个、5个、6个、7个或8个装一袋,最后都剩1个。这些 乒乓球总共有多少个? 3. 3月12日是植树节,老师带领五年级同学去植树。这批树苗的棵数在150~200之间,若9棵 一捆,则多7棵;若10棵一捆,则多8棵;若12棵一捆,则多10棵。这批树苗有多少棵? 4. 现有一批水果,每箱放10个正好放完。如果每箱放30个,那么多20个;如果每箱放35个,那 么少10个。这批水果至少有多少个? 5. 一个自然数,被5除余4;被6除余5;被7除余6。这个自然数最小是多少? 数学(苏教版)五年级 83 解析:如图,转化后,涂色部分的面积相当于圆环面积 的一半。 (3) 3.14×42÷4-(4×4÷2)÷2=8.56(平方厘米) 解析:观察题图可知,涂色部分由两部分组成,且不能 直接求出这两部分的面积。把这两部分通过分割移 动,转化成可计算的图形,如下图。涂色部分的面积 等于半径是4厘米的圆的面积的14 减去一个三角形 的面积。 (4) 4×4-3.14×(4÷2)2=3.44(cm2) (2+2)× (2+2)-3.14×22=3.44(cm2) 3.44cm2= 3.44cm2 两个涂色部分的面积一样大 解析:这两 个图形的涂色部分的面积都可以转化为一个正方形 的面积减去一个圆的面积。 (5) 3.14×16÷4×3=37.68(平方厘米) (6) 3.14×(18×2)=113.04(平方厘米) 解析:涂色 部分是一个直角三角形,底和高都是圆的半径,根据 三角形的面积=底×高÷2,可得r2=18×2,再根据 圆的面积计算公式求解即可。 (7) 3.14×(5×2)=31.4(平方厘米) 专题六 运用最小公倍数解决问题 [例题导引] 例1 解答:4、6、15的最小公倍数是60 60×3-1=179(枚) 例2 解答:3、5、7的最小公倍数是105 105-3=102(个) 例3 解答:10、7、4的最小公倍数是140 140-3=137 [提优训练] 1. 3、7、11的最小公倍数是231 231+2=233(人) 解析:由题意可知,这些同学的人数最小应是比3、7、 11的最小公倍数多2的数,即用3、7、11的最小公倍 数加上2,就能求得这些同学最少有多少人。 2. 4、5、6、7、8的最小公倍数是840 840+1= 841(个) 解析:由题意可知,这些乒乓球拿掉1个之 后的个数是4、5、6、7、8的公倍数,且4、5、6、7、8的公 倍数有840、1680、2520……因为这些乒乓球的总数在 1000个以内,所以这些乒乓球总共有840+1= 841(个)。 3. 9、10、12的最小公倍数是180 180-2=178(棵) 解析:由题意可知,若这批树苗增加2棵,则这批树苗 的棵数正好是9、10、12的公倍数。先求出9、10、12 的最小公倍数,再根据这批树苗的棵数在150~200 之间求解即可。 4. 10、30和35的最小公倍数是210 210-10= 200(个) 解析:由题意可知,这批水果只要再增加 10个,水果的总个数就正好是10、30、35的公倍数,即 用10、30、35的最小公倍数减去10,就能得到这批水 果至少有的个数。 5. 5、6、7的最小公倍数是210 210-1=209 解析:假如把这个自然数加1,所得的数就正好能被 5、6、7这三个数整除,即用5、6、7的最小公倍数减去 1就能得到所求的数。 专题七 奇偶性分析 [例题导引] 例1 解答:偶数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析