专题五 巧求图形的面积-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（苏教版）

采蜜角 黑暗不能驱除黑暗,只有光明可以做到;仇恨不能驱除仇恨,只有爱可以做到。30 专题五 巧求图形的面积 在平面图形面积的计算中,经常会遇到比较复杂的图形,这些图形无法直接运用面积公式 进行计算,此时就需要对图形进行观察,利用转化等方法,将复杂的图形转化成已学的基本图 形,再求面积。 类型一 用等积转换求面积 例1 如图,两个相同的直角三角形部分重叠 在一起,求涂色部分的面积。(单位:厘米) 点拨:由图可知,涂色部分是一个梯形,可是它 的上底、下底和高都不知道,故不能直接求它 的面积。涂色部分与三角形BCE 合在一起, 就是一个大直角三角形。四边形ABCD 也是 梯形,它和三角形BCE 合在一起也是一个大 直角三角形。因为两个大直角三角形相同,所 以梯形ABCD 的面积与涂色部分的面积一样􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 大 􀪍 。梯形ABCD 的上底BC=10-3=7(厘 米),下底AD=10厘米,高CD=4厘米,运用 梯形的面积公式求解即可。 解答: 运用等积转换法求面积 当求面积的条件不充分时,仔细观察,将要求 图形转化成另一个条件充分的图形再求它的面 积。解决此类问题的关键是找出两个图形的公共 部分。 类型二 用观察法解决求涂色部分面积的 问题 例2 求涂色部分的面积。(单位:厘米) 点拨:观察所给的图形,通过旋转可转化成如 下图的图形: 从图中可以看出,涂色部分的面积相当于最大 圆面积的一半,所以求涂色部分的面积可转化 为求半径为5+3+3=11(厘米)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的半圆的 面积。 解答: 运用观察法解决求涂色部分面积的问题 解答此类问题时,先观察涂色部分,若发现不 能直接求出它的面积时,则可以通过旋转或平移, 将不规则图形转化成规则图形,然后根据规则图 形的面积公式求出它的面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏教版)五年级 粉骨碎身浑不怕,要留清白在人间。———[明]于谦 采蜜角 31 类型三 用整体法求面积 例3 如图,涂色部分的面积是37.68平方厘 米。正方形(空白部分)的面积是多少平方 厘米? 点拨:正方形的面积=边长×边长􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。由题图可 知,正方形的边长正好是圆的半径。题中已知 的是涂色部分的面积,且涂色部分的面积正好 是整个圆面积的3 4 ,因此可以先算出整个圆的 面积,再求出圆的半径的平方,从而得到正方 形的面积,即圆的面积是37.68÷3×4=􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 50.24(平 方 厘 米)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,圆 的 半 径 的 平 方 是 50.24÷3.14=16(平方厘米)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,再根据正方形 􀪍􀪍􀪍􀪍 的面积=圆的半径的平方􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 求解即可。 解答: 运用整体替换的思想求面积 解答此类问题时,直接求面积不易得出结果, 可以换个角度整体进行替换,先转换为求已知的 规则图形的面积,再替换为需要求的图形的面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 精挑细选。 (1) 如图,涂色部分的面积占图形总面积的( )。 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 (2) 如左下图,圆和长方形的面积相等,圆的半径等于长方形的宽,涂色部分的面积是120平 方厘米,则圆的面积是( )平方厘米。 A. 120 B. 160 C. 80 D. 240 (3) 如右上图,梯形的上底为20厘米,下底为30厘米,高为12厘米,则涂色部分的面积是 ( )平方厘米。 A. 240 B. 120 C. 90 D. 60 2. 解决问题。 (1) 如图,两个完全相同的直角梯形重叠在一起,求涂色部分的面积。(单位:厘米) 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆32 (2) 如图,大圆的直径是8厘米,大正方形的面积是36平方厘米,涂色部分的面积是多少? (3) 如图,半圆的直径是4厘米,求涂色部分的面积。 (4) 先分别求出下图中涂色部分的面积,再比较这两个涂色部分的面积的大小。 (5) 如图,涂色部分的面积是16平方厘米,空白部分的面积是多少平方厘米? (6) 如图,涂色部分的面积是18平方厘米,求这个圆的面积。 (7) 如图,涂色部分的面积是5平方厘米,求圆环的面积。 数学(苏教版)五年级 82 (b+1)=ab+b-ab-a=b-a=20202019- 20192019=10000 (2) 4n厘米 解析:由题图可知,第1个图形的周长 是4×1=4(厘米),第2个图形的周长是4×2=8(厘 米),第3个图形的周长是4×3=12(厘米),第4个图 形的周长是4×4=16(厘米)……所以第n个图形的 周长是4×n=4n(厘米)。 (3) n×(n+2)=(n+1)2-1 2. (1) 21 (2) 5n+1 解析:根据题图可知,第1个图案中白色 的正六边形有5×1+1=6(个);第2个图案中白色的 正六边形有5×2+1=11(个);第3个图案中白色的 正六边形有5×3+1=16(个)……所以第n个图案中 白色的正六边形有5×n+1=(5n+1)个。 专题四 列方程解决问题 [例题导引] 例1 解答:解:设五年级一班有x名同学。 4x-5=3x+27 x=32 例2 解答:解:设2015年姐姐和妹妹的年龄和是x岁。 2021-2015=6(年) 4x+6=(x+6×2)×2 x=9 9×4=36(岁) 2015-36=1979(年) [提优训练] 1. 解:设五年级三班有x名同学。 6x+15=7x-30 x=45 2. 解:设学生有x人。 7x-13=6x-5 x=8 7×8-13=43(支) 3. 解:设优秀学生有x名。 10×4+(x-10)×8= 5x+32 x=24 5×24+32=152(个) 4. 解:设2019年姐姐和妹妹的年龄和是x岁。 2023-2019=4(年) 3x+4=(x+4×2)×2 x=12 3×12+4=40(岁) 2023-40=1983(年) 解析:本题中有三个未知量,分别是妈妈、姐姐和妹妹 的年龄,要求的是妈妈是哪一年出生的。如果直接设 妈妈2019年的年龄为x 岁,那么方程较难列出。题 中妈妈的年龄与姐姐和妹妹的年龄和有关,因此可设 2019年姐姐和妹妹的年龄和为x 岁,根据2023年妈 妈的年龄一定列方程解答。需要注意的是从2019年 到2023年妈妈长了4岁,姐姐和妹妹的年龄和长了 4×2=8(岁)。 5. 解:设弟弟今年x 岁,则哥哥今年2x 岁。 (x+ x)+(2x+x)=48+x x=12 2×12=24(岁) 解析:设弟弟今年的年龄是x 岁,则哥哥今年的年龄 是2x岁。当弟弟长到哥哥现在的年龄时,弟弟的年 龄是2x岁,较今年长了x岁,那么爸爸的年龄也长了 x岁,就是(48+x)岁。再根据此时爸爸的年龄恰好 是兄弟俩的年龄和列出方程,求出弟弟今年的年龄, 进而求出哥哥今年的年龄。 6. 解:设弟弟今年x岁,哥哥今年(x+n)岁。 x+n+(x+n+n)=50+n x+n=25 专题五 巧求图形的面积 [例题导引] 例1 解答:(10-3+10)×4÷2=34(平方厘米) 例2 解答:3.14×(5+3+3)2÷2=189.97(平方 厘米) 例3 解答:37.68÷3×4÷3.14=16(平方厘米) [提优训练] 1. (1) A (2) B (3) B 2. (1) 20-5=15(厘米) (15+20)×8÷2=140(平 方厘米) 解析:两个直角梯形完全相同,即面积相 等,除去重叠部分后,剩下的空白部分与涂色部分的 面积相等,求出剩下的空白部分的面积,即求出了涂 色部分的面积。 (2) 36=6×6 6÷2=3(厘米) 8÷2=4(厘米) 3.14×(42-32)÷2=10.99(平方厘米) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏教版)五年级 83 解析:如图,转化后,涂色部分的面积相当于圆环面积 的一半。 (3) 3.14×42÷4-(4×4÷2)÷2=8.56(平方厘米) 解析:观察题图可知,涂色部分由两部分组成,且不能 直接求出这两部分的面积。把这两部分通过分割移 动,转化成可计算的图形,如下图。涂色部分的面积 等于半径是4厘米的圆的面积的14 减去一个三角形 的面积。 (4) 4×4-3.14×(4÷2)2=3.44(cm2) (2+2)× (2+2)-3.14×22=3.44(cm2) 3.44cm2= 3.44cm2 两个涂色部分的面积一样大 解析:这两 个图形的涂色部分的面积都可以转化为一个正方形 的面积减去一个圆的面积。 (5) 3.14×16÷4×3=37.68(平方厘米) (6) 3.14×(18×2)=113.04(平方厘米) 解析:涂色 部分是一个直角三角形,底和高都是圆的半径,根据 三角形的面积=底×高÷2,可得r2=18×2,再根据 圆的面积计算公式求解即可。 (7) 3.14×(5×2)=31.4(平方厘米) 专题六 运用最小公倍数解决问题 [例题导引] 例1 解答:4、6、15的最小公倍数是60 60×3-1=179(枚) 例2 解答:3、5、7的最小公倍数是105 105-3=102(个) 例3 解答:10、7、4的最小公倍数是140 140-3=137 [提优训练] 1. 3、7、11的最小公倍数是231 231+2=233(人) 解析:由题意可知,这些同学的人数最小应是比3、7、 11的最小公倍数多2的数,即用3、7、11的最小公倍 数加上2,就能求得这些同学最少有多少人。 2. 4、5、6、7、8的最小公倍数是840 840+1= 841(个) 解析:由题意可知,这些乒乓球拿掉1个之 后的个数是4、5、6、7、8的公倍数,且4、5、6、7、8的公 倍数有840、1680、2520……因为这些乒乓球的总数在 1000个以内,所以这些乒乓球总共有840+1= 841(个)。 3. 9、10、12的最小公倍数是180 180-2=178(棵) 解析:由题意可知,若这批树苗增加2棵,则这批树苗 的棵数正好是9、10、12的公倍数。先求出9、10、12 的最小公倍数,再根据这批树苗的棵数在150~200 之间求解即可。 4. 10、30和35的最小公倍数是210 210-10= 200(个) 解析:由题意可知,这批水果只要再增加 10个,水果的总个数就正好是10、30、35的公倍数,即 用10、30、35的最小公倍数减去10,就能得到这批水 果至少有的个数。 5. 5、6、7的最小公倍数是210 210-1=209 解析:假如把这个自然数加1,所得的数就正好能被 5、6、7这三个数整除,即用5、6、7的最小公倍数减去 1就能得到所求的数。 专题七 奇偶性分析 [例题导引] 例1 解答:偶数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析