专题三 字母在计算中的应用-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（苏教版）

采蜜角 莫愁前路无知己,天下谁人不识君。———[唐]高适26 专题三 字母在计算中的应用 字母可以表示任意的数,例如符合条件的某一个数或具有某些规律的数,还可以表示特定 意义的公式。在解题过程中,字母参与了运算,因此我们一定要熟悉运算律,将用字母表示的 式子进行化简,这样不仅可使过程简化,而且易于形成概念体系。 类型一 借助字母解决较复杂的计算题 例1 计算: 20202021×20212020-20202020×20212021。 点拨: 1. 找规律。 算式中的4个数都比较大,直接计算比较麻 烦,对 比 算 式 中 的 四 个 数,可 以 发 现 20202020+1=20202021􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,20212020+1=􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 20212021􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 2. 用字母表示数。 如果用a 􀪍 表示20202020􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,那么20202021可以 用a+1􀪍􀪍 表示;如果用b 􀪍 表示20212020􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,那么 20212021可以用b+1􀪍􀪍 表示。此时算式可以 改写成(a+1)×b-a×(b+1)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 3. 运用乘法分配律将改写后的算式化简。 (a+1)×b-a×(b+1)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍=ab+b- (ab+a)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍=􀪍 b-a􀪍􀪍 4. 最后将字母表示的数代入计算即可。 解答: 借助字母解决较复杂的计算题 借助字母解决较复杂的计算题时,可以将这 些大数分别用字母表示,然后将含有字母的式子 化简,最后将数代入化简后的式子计算即可。 类型二 用字母表示规律 例2 找规律,填一填。 (1) 第4组中 的个数是( )。 (2) 按照此规律摆下去,第n 组中 的个数 是( )。 点拨:第1组中 的个数:5 􀪍 ; 第2组中 的个数:5+3􀪍􀪍 ; 第3组中 的个数:5+3+3􀪍􀪍􀪍􀪍 ; … 第n组中 的个数:5+3+3+…+3 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 (n-1)个3􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 解答: 用字母表示规律 解决用字母表示规律的问题时,可以从第一 组开始数出图形的个数,观察前面几组图形个数 之间的关系,找出规律,最后根据规律写出含有字 母的式子即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏教版)五年级 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆ 评价苑 27 1. 准确计算。 (1) 20192020×20202019-20192019×20202020 (2) 用边长为1厘米的正方形按如图所示的规律一直摆下去。 摆到第n个图形时,摆成的图形的周长是多少厘米? (3) 观察下面的算式: 1×3=22-1, 3×5=42-1, 5×7=62-1, … 11×13=122-1。 当算式中第一个数是n(n为奇数)时,你能从中猜想到什么规律? 请用含有字母n的式 子表示出来。 2. 解决问题。 用若干个蓝、白两色的正六边形按如下图所示的规律拼图案。 (1) 拼第4个图案时,需要白色的正六边形( )个。 (2) 拼第n个图案时,需要白色的正六边形( )个。 2 整合提优 81 共出现1000÷10=100(次);数字“8”出现在十位上: 80、…、89、180、…、189、…、980、…、989,每100个数 中出现10次,共出现1000÷100×10=100(次);数字 “8”出现在百位上:800、801、…、899,共出现100次。 3. 如图①,将交叉点编号,列举出如图②所示的路线 ① ② 一共有14种不同的路线 4. 一共有12种不同的进出路线 解析:当甲门作为 入口时,有甲进A出,甲进B出,甲进C出,甲进D 出,甲进甲出,甲进乙出,共6种进出路线。同理,当 乙门作为入口时,也有6种进出路线。所以一共有 12种不同的进出路线。 5. 租大船7只、小船1只最省钱 解析:要想知道怎 样租船最省钱,可以把所有可能的租船方案一一列举 出来。方案一:租大船0只,可坐0×6=0(人),剩下 46人,46÷4=11(只)……2(人),需要租小船11+ 1=12(只),此方案有空座位,不符合题意,舍去。方 案二:租大船1只,可坐1×6=6(人),剩下46-6= 40(人),需要租小船40÷4=10(只),租船费用为1× 10+10×8=90(元)。方案三:租大船2只,可坐2× 6=12(人),剩下46-12=34(人),34÷4=8(只)…… 2(人),需要租小船8+1=9(只),此方案有空座位,不 符合题意,舍去。方案四:租大船3只,可坐3×6= 18(人),剩下46-18=28(人),需要租小船28÷4= 7(只),租船费用为3×10+8×7=86(元)。方案五: 租大船4只,可坐4×6=24(人),剩下46-24= 22(人),22÷4=5(只)……2(人),需要租小船5+1= 6(只),此方案有空座位,不符合题意,舍去。方案六: 租大船5只,可坐5×6=30(人),剩下46-30= 16(人),需要租小船16÷4=4(只),租船费用为5× 10+4×8=82(元)。方案七:租大船6只,可坐6× 6=36(人),剩下46-36=10(人),10÷4=2(只)…… 2(人),需要租小船2+1=3(只),此方案有空座位,不 符合题意,舍去。方案八:租大船7只,可坐7×6= 42(人),剩下46-42=4(人),需要租小船4÷4= 1(只),租船费用为7×10+1×8=78(元)。方案九: 租大船8只,可坐6×8=48(人),此方案有空座位,不 符合题意,舍去。找出上述方案中符合题意的方案, 比较费用即可。 专题三 字母在计算中的应用 [例题导引] 例1 解答:假设a=20202020,b=20212020,则 20202021=a+1,20212021=b+1。 20202021× 20212020-20202020×20212021=(a+1)×b-a× (b+1)=ab+b-(ab+a)=b-a=20212020- 20202020=10000 例2 解答:(1) 14 (2) 3n+2 [提优训练] 1. (1) 假 设 a =20192019,b =20202019,则 20192020=a+1,20202020 =b+1。 20192020× 20202019-20192019×20202020=(a+1)×b-a× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 82 (b+1)=ab+b-ab-a=b-a=20202019- 20192019=10000 (2) 4n厘米 解析:由题图可知,第1个图形的周长 是4×1=4(厘米),第2个图形的周长是4×2=8(厘 米),第3个图形的周长是4×3=12(厘米),第4个图 形的周长是4×4=16(厘米)……所以第n个图形的 周长是4×n=4n(厘米)。 (3) n×(n+2)=(n+1)2-1 2. (1) 21 (2) 5n+1 解析:根据题图可知,第1个图案中白色 的正六边形有5×1+1=6(个);第2个图案中白色的 正六边形有5×2+1=11(个);第3个图案中白色的 正六边形有5×3+1=16(个)……所以第n个图案中 白色的正六边形有5×n+1=(5n+1)个。 专题四 列方程解决问题 [例题导引] 例1 解答:解:设五年级一班有x名同学。 4x-5=3x+27 x=32 例2 解答:解:设2015年姐姐和妹妹的年龄和是x岁。 2021-2015=6(年) 4x+6=(x+6×2)×2 x=9 9×4=36(岁) 2015-36=1979(年) [提优训练] 1. 解:设五年级三班有x名同学。 6x+15=7x-30 x=45 2. 解:设学生有x人。 7x-13=6x-5 x=8 7×8-13=43(支) 3. 解:设优秀学生有x名。 10×4+(x-10)×8= 5x+32 x=24 5×24+32=152(个) 4. 解:设2019年姐姐和妹妹的年龄和是x岁。 2023-2019=4(年) 3x+4=(x+4×2)×2 x=12 3×12+4=40(岁) 2023-40=1983(年) 解析:本题中有三个未知量,分别是妈妈、姐姐和妹妹 的年龄,要求的是妈妈是哪一年出生的。如果直接设 妈妈2019年的年龄为x 岁,那么方程较难列出。题 中妈妈的年龄与姐姐和妹妹的年龄和有关,因此可设 2019年姐姐和妹妹的年龄和为x 岁,根据2023年妈 妈的年龄一定列方程解答。需要注意的是从2019年 到2023年妈妈长了4岁,姐姐和妹妹的年龄和长了 4×2=8(岁)。 5. 解:设弟弟今年x 岁,则哥哥今年2x 岁。 (x+ x)+(2x+x)=48+x x=12 2×12=24(岁) 解析:设弟弟今年的年龄是x 岁,则哥哥今年的年龄 是2x岁。当弟弟长到哥哥现在的年龄时,弟弟的年 龄是2x岁,较今年长了x岁,那么爸爸的年龄也长了 x岁,就是(48+x)岁。再根据此时爸爸的年龄恰好 是兄弟俩的年龄和列出方程,求出弟弟今年的年龄, 进而求出哥哥今年的年龄。 6. 解:设弟弟今年x岁,哥哥今年(x+n)岁。 x+n+(x+n+n)=50+n x+n=25 专题五 巧求图形的面积 [例题导引] 例1 解答:(10-3+10)×4÷2=34(平方厘米) 例2 解答:3.14×(5+3+3)2÷2=189.97(平方 厘米) 例3 解答:37.68÷3×4÷3.14=16(平方厘米) [提优训练] 1. (1) A (2) B (3) B 2. (1) 20-5=15(厘米) (15+20)×8÷2=140(平 方厘米) 解析:两个直角梯形完全相同,即面积相 等,除去重叠部分后,剩下的空白部分与涂色部分的 面积相等,求出剩下的空白部分的面积,即求出了涂 色部分的面积。 (2) 36=6×6 6÷2=3(厘米) 8÷2=4(厘米) 3.14×(42-32)÷2=10.99(平方厘米) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏教版)五年级