专题二 用列举法解决问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（苏教版）

不经一番寒彻骨,怎得梅花扑鼻香。———[唐]黄檗禅师 采蜜角 23 专题二 用列举法解决问题 列举法解题就是将事件发生的所有可能情况都列举出来,然后对列举出的情况进行比较, 从而找到问题的答案。用列举法解决问题时,可以通过列表、画图等方法,将事件发生的所有 可能情况有条理地列举出来。列举时,要注意做到不重复、不遗漏。 类型一 用列举法解决数字出现的次数问题 例1 在1~200所有的自然数中,数字“2”一共 出现了多少次? 点拨:数字“2”在个位、十位、百位􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 上都有可能 出现,因此可以分类讨论,找出数字“2”在不同 数位上出现的规律。(1) 数字“2”出现在个位 上:在1~10中,数字“2”出现1次􀪍􀪍 ;在11~20 中,数字“2”出现1次􀪍􀪍 ;在21~30中,数字“2” 也出现1次􀪍􀪍 ……可以看出,数字“2”在个位上 时,每10个数中出现1次􀪍􀪍 ,200里一共有20个 10,因此数字“2”在个位上共出现20次􀪍􀪍 。(2) 数 字“2”出现在十位上:在20~29中,数字“2”出 现10次􀪍􀪍 ;在120~129中,数字“2”出现10次􀪍􀪍􀪍 , 因此数字“2”在十位上共出现20次􀪍􀪍 。(3) 数字 “2”出现在百位上:符合条件的只有200,即数字 “2”在百位上出现了1次􀪍􀪍 。 解答: 用列举法解决某个数字出现的次数问题 用列举法解决某个数字出现的次数问题时, 可以将该数字分别置于个位、十位、百位等,再列 举出每种情况中该数字出现的次数,最后将每种 情况中出现的次数相加即可。 类型二 用列举法解决行走路线问题 例2 如图,从甲地到乙地只允许向南和向东 走,且不能走重复路线,那么从甲地到乙地一 共有多少种不同的路线? 点拨:可将交叉点 􀪍􀪍􀪍􀪍 编号(如下图),要从甲地到 乙地,必须经过其中的某些点,只要按顺序 􀪍􀪍􀪍􀪍 一 一列举出来即可。 解答: 用列举法解决行走路线问题 用列举法解决行走路线问题时,先依次对交 叉点进行编号,再根据线路图一一列举出行走的 路线。注意观察每个交叉口有几条路可走。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 采蜜角 三人行,必有我师焉。择其善者而从之,其不善者而改之。24 类型三 最佳方案问题 例3 有32人去划船,每只大船可坐5人,收费 10元/只;每只小船可坐3人,收费8元/只。 要想没有空座位,怎样租船最省钱? 点拨:要想知道怎样租船最省钱,可以把所有 可能的租船方案一一列举出来,求出每种方案 的租船费用后,再进行比较,从而找出最省钱 的方案。 方案一:租大船0只,可坐0×5=0(人),剩下 32人,32÷3=10(只)……2(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需要租小船 10+1=11(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不符合题 意,舍去。 方案二:租大船1只,可坐1×5=5(人),剩下 32-5=27(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需要租小船27÷3=9(只), 租船费用为1×10+9×8=82(元)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 方案三:租大船2只,可坐2×5=10(人),剩下 32-10=22(人),22÷3=7(只)……1(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需 要租小船7+1=8(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不 符合题意,舍去。 方案四:租大船3只,可坐3×5=15(人),剩下 32-15=17(人),17÷3=5(只)……2(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需 要租小船5+1=6(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不 符合题意,舍去。 方案五:租大船4只,可坐4×5=20(人),剩下 32-20=12(人),需要租小船12÷3=4(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 , 租船费用为4×10+4×8=72(元)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 方案六:租大船5只,可坐5×5=25(人),剩下 32-25=7(人),7÷3=2(只)……1(人)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,需要 租小船2+1=3(只)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,此方案有空座位,不符 合题意,舍去。 方案七:租大船6只,可坐6×5=30(人),剩下 32-30=2(人),需要再租1只小船,此方案有 空座位,不符合题意,舍去。 方案八:租大船7只,可坐7×5=35(人),此方 案有空座位,不符合题意,舍去。 比较符合题意的方案二和方案五的租船费用 可知,方案五省钱。 解答: 用列举法寻找最佳方案 用列举法寻找最佳方案时,如果从较小的数 量开始列举,那么当涉及的数量较大时,列举的过 程就会比较繁琐,因此列举的时候,通常从较大的 数量开始,一一列举,直到找到满足条件的答案 为止。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 认真填空。 (1) 用20个面积是1平方厘米的小正方形拼成大长方形,一共有( )种不同的拼法,拼成 的大长方形中,周长最长的是( )厘米,最短的是( )厘米。 (2) 用4、2、6这三个数字一共能组成( )个不同的三位数。 (3) 一张靶纸上共画有三个圈,投中内圈得10环,投中中圈得8环,投中外圈得6环。小军得 到了24环,最少投中了( )次,最多投中了( )次。 数学(苏教版)五年级 80 2. 2 5+ 5 6- 1 3= 9 10 (千克) 3. 10和15的最小公倍数是30 30×6-2=178(本) 4. 6+(8-1)×2=20(个) (6+20)×8÷2=104(个) 5. (1) 18.84÷3.14÷2=3(厘米) 3.14×32= 28.26(平方厘米) (2) 3+2÷2=4(厘米) 42× 3.14=50.24(平方厘米) (3) (50.24-28.26)× 10000=219800(平方厘米) 219800平方厘米= 21.98平方米 6. 2×3.14×10+10×2×4=142.8(厘米) 解析:由 题图可知,要用的铁丝长度等于1个圆的周长加上 4条直径的长度。 7. (1) 9 10 (2) 45 70 (3) 5 3 2 整合提优(五年级全学年) 专题一 稍复杂的简便运算 [例题导引] 例1 解答:3.5×4.7+0.35×53=0.35×47+ 0.35×53=0.35×(47+53)=0.35×100=35 例2 解答:19+ 5 12+ 1 12+ 8 9= 1 9+ 8 9 + 512+ 1 12 =1+12=112 例3 解答:1998+199.8+19.98=(2000-2)+ (200-0.2)+(20-0.02)=(2000+200+20)-(2+ 0.2+0.02)=2220-2.22=2217.78 例4 解答:14+ 1 8+ 1 16+ 1 32= 1 2- 1 4+ 1 4- 1 8+ 1 8- 1 16+ 1 16- 1 32= 1 2- 1 32= 15 32 [提优训练] 1. (1) A (2) B (3) A (4) A 2. (1) 2 13+ 5 14+ 11 13+ 9 14= 2 13+ 11 13 + 914+514 = 1+1=2 (2) 22 15- 17 12- 8 15 -712=2215-1712+815- 7 12= 22 15+ 8 15 - 1712+712 =2-2=0 (3) 2012+ 2011-2010-2009+2008+2007-2006-2005+…+ 4+3-2-1=(2012+2011-2010-2009)+(2008+ 2007-2006-2005)+…+(4+3-2-1)=2012÷4× 4=2012 (4) 1- 12 - 1 4 - 1 8 - 1 16=1- 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16 =1-1516= 116 (5) 44.44× 22.22÷88.88=44.44×2×11.11÷88.88=(44.44× 2÷88.88)×11.11=11.11 专题二 用列举法解决问题 [例题导引] 例1 解答:20+20+1=41(次) 例2 解答:将交叉点编号(见正文点拨图) 从甲地到乙地一共有8种不同的路线 例3 解答:租4只大船、4只小船最省钱 [提优训练] 1. (1) 3 42 18 (2) 6 (3) 3 4 (4) 9 (5) 7 13 解析:对于第一空,先选单个砝码,有3种 不同的质量;再选两个砝码搭配,有3种不同的质量; 最后选三个砝码搭配,有1种质量。对于第二空,类 比填第一空的方法,一一列举即可。 2. 100+100+100=300(次) 解析:数字“8”出现在 个位上:8、18、28、38、…、998,每10个数中出现一次, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏教版)五年级 81 共出现1000÷10=100(次);数字“8”出现在十位上: 80、…、89、180、…、189、…、980、…、989,每100个数 中出现10次,共出现1000÷100×10=100(次);数字 “8”出现在百位上:800、801、…、899,共出现100次。 3. 如图①,将交叉点编号,列举出如图②所示的路线 ① ② 一共有14种不同的路线 4. 一共有12种不同的进出路线 解析:当甲门作为 入口时,有甲进A出,甲进B出,甲进C出,甲进D 出,甲进甲出,甲进乙出,共6种进出路线。同理,当 乙门作为入口时,也有6种进出路线。所以一共有 12种不同的进出路线。 5. 租大船7只、小船1只最省钱 解析:要想知道怎 样租船最省钱,可以把所有可能的租船方案一一列举 出来。方案一:租大船0只,可坐0×6=0(人),剩下 46人,46÷4=11(只)……2(人),需要租小船11+ 1=12(只),此方案有空座位,不符合题意,舍去。方 案二:租大船1只,可坐1×6=6(人),剩下46-6= 40(人),需要租小船40÷4=10(只),租船费用为1× 10+10×8=90(元)。方案三:租大船2只,可坐2× 6=12(人),剩下46-12=34(人),34÷4=8(只)…… 2(人),需要租小船8+1=9(只),此方案有空座位,不 符合题意,舍去。方案四:租大船3只,可坐3×6= 18(人),剩下46-18=28(人),需要租小船28÷4= 7(只),租船费用为3×10+8×7=86(元)。方案五: 租大船4只,可坐4×6=24(人),剩下46-24= 22(人),22÷4=5(只)……2(人),需要租小船5+1= 6(只),此方案有空座位,不符合题意,舍去。方案六: 租大船5只,可坐5×6=30(人),剩下46-30= 16(人),需要租小船16÷4=4(只),租船费用为5× 10+4×8=82(元)。方案七:租大船6只,可坐6× 6=36(人),剩下46-36=10(人),10÷4=2(只)…… 2(人),需要租小船2+1=3(只),此方案有空座位,不 符合题意,舍去。方案八:租大船7只,可坐7×6= 42(人),剩下46-42=4(人),需要租小船4÷4= 1(只),租船费用为7×10+1×8=78(元)。方案九: 租大船8只,可坐6×8=48(人),此方案有空座位,不 符合题意,舍去。找出上述方案中符合题意的方案, 比较费用即可。 专题三 字母在计算中的应用 [例题导引] 例1 解答:假设a=20202020,b=20212020,则 20202021=a+1,20212021=b+1。 20202021× 20212020-20202020×20212021=(a+1)×b-a× (b+1)=ab+b-(ab+a)=b-a=20212020- 20202020=10000 例2 解答:(1) 14 (2) 3n+2 [提优训练] 1. (1) 假 设 a =20192019,b =20202019,则 20192020=a+1,20202020 =b+1。 20192020× 20202019-20192019×20202020=(a+1)×b-a× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析