专题六 内角和问题-【通成学典】2025年四年级数学暑期升级训练（苏教版）

半亩方塘一鉴开,天光云影共徘徊。———[宋]朱熹 采蜜角 31 专题六 内角和问题 由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫作多边形。三 角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,多边形的内角和是(多边形的边 数-2)×180°。利用多边形内角和的知识可以解决许多有趣的几何图形问题。 类型一 三角形的内角和 例1如图,∠1=72°,∠2= 32°,∠3=45°。求 ∠5 的 度数。 点拨:∠2、∠3、∠6是同一个三角形的 三个内角,它们的度数和是180° 􀪍􀪍 ,根据 ∠2和∠3的度数,求出∠6的度数。 ∠4和∠6合起来是一个平角 􀪍􀪍􀪍 ,根据∠6 的度数,求出∠4的度数。∠1、∠4、∠5 是同一个三角形的三个内角,它们的度 数和是180° 􀪍􀪍 ,根据∠1和∠4的度数,求 出∠5的度数。 解答: 运用分析法解决三角形内角和问题 解题时,先分析哪几个角在同一个三角 形中,哪些是已知的,再根据三角形内角和 是180°来求未知角度数。特别注意:两个 角可以组成平角往往是解题的突破口。 类型二 多边形的边数问题 例2 一个多边形的内角和是1800°,这 个多边形有多少条边? 点拨:根据多边形的内角和公式逐步逆 推,可求出多边形的边数,过程如下。 解答: 运用逆推法解决多边形的边数问题 解决此类问题,要结合多边形的内角和 公式与已知的内角和的度数,根据四则运算 各部分之间的关系逆推求解。基本方法是 多边形的边数=内角和÷180°+2。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆32 1. 如图,等边三角形ABC 内有一个等腰三角形,如果∠1=∠2,∠3=∠4,那么∠5 的度数是多少? 2. 如图所示为中国象棋残局图的一部分,请你用线段将图中棋子所在的格点按 “将 象 炮 卒 马 车 将”的顺序依次连接成一个多边形。这个多边形 的内角和为多少度? 3. 如图,在五边形ABCDE 中,∠A+∠C=240°,∠D=∠E,∠D=2∠B。求∠B 的度数。 4. 如图所示为一个模板,规定AB、CD 的延长线应相交成80°的角,因为交点不在 模板上,不便测量,所以工人师傅测得∠BAE=124°,∠DCF=155°。此时AB、 CD 的延长线相交所成的角是否符合规定? 为什么? 数学(苏教版)四年级 82 5. (138-94)÷(3-1)=22(千克) (94-22)÷9=8(天) 解析:每天用掉的面粉 和大米质量相等,不论经过多少天,面粉和大 米的质量差都是138-94=44(千克)。把几天 后剩下的面粉的质量看作“1倍量”,则剩下的 大米的质量就是“3倍量”,由此求出几天后剩 下面粉的质量为44÷(3-1)=22(千克),从而 求出用掉面粉的质量为94-22=72(千克),再 除以每天用掉面粉的质量即可求解。 专题五 最短路线问题 [例题导引] 例1 解答: 例2 解答: [提优训练] 1. 2. 3. 如图,点O 即为供水站的位置 4. 专题六 内角和问题 [例题导引] 例1 解答:∠6=180°-∠2-∠3=180°- 32°-45°=103° ∠4=180°-∠6=180°- 103°=77° ∠5=180°-∠1-∠4=180°- 72°-77°=31° 例2 解答:1800°÷180°+2=12(条) [提优训练] 1. ∠1=∠2=60°÷2=30° ∠3=∠4=60°÷ 2=30° ∠5=180°-30°-30°=120° 2. 图略 (6-2)×180°=720° 3. (5-2)×180°=540° 540°-240°=300° ∠B=300°÷(2+2+1)=60° 解析:本题可 以分三步解答,① 根据多边形的内角和公式求 出该五边形的内角和是(5-2)×180°=540°; ② 根据五边形的内角和及∠A+∠C=240°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏教版)四年级 83 求出∠B+∠D+∠E=540°-240°=300°; ③ 根据∠B+∠D+∠E=300°及∠D=∠E, ∠D=2∠B,求 出∠B=300°÷(2+2+ 1)=60°。 4. 不符合规定 如图,设AB、CD 的延长线交 于点G。因为∠E=∠F=90°,∠BAE=124°, ∠DCF=155°,多边形AEFCG 是一个五边 形,其内角和是(5-2)×180°=540°,所以 ∠G=540°-124°-155°-90°-90°=81°。因 为81°不等于80°,所以不符合规定 专题七 图形的面积 [例题导引] 例1 解答:20×2+(14-2)×2=64(m2) 例2 解答:96÷4=24(m) (24-4)÷2= 10(m) 10×10=100(m2) [提优训练] 1. (25-2)×(20-2)=414(m2) 2. 972÷(21-12)×12=1296(m2) 3. 100=10×10 10×(10+12)=220(平方米) 4. 12×12=144(平方米) (12+7)×(12+ 2)=266(平方米) 266-144=122(平方米) 5. (90÷3)×(40÷4)=300(平方米) 解析:长增加4米,面积增加40平方米,说明宽 为40÷4=10(米);宽减少3米,面积减少90平 方米,说明长为90÷3=30(米)。根据“长方形 的面积=长×宽”进行解答。 专题八 行程问题 [例题导引] 例1 解答:32×2=64(千米) 64÷(56- 48)=8(时) (56+48)×8=832(千米) 例2 解答:4×65÷(75-65)=26(分) [提优训练] 1. (60+70)×3=390(米) 2. 338÷(77-64)=26(分) 3. 45×2÷30=3(时) (48+30+48)×3= 378(千米) 4. (60+30+60)×5÷3=250(千米) 解析:两车第一次相遇共行了第1个全程,甲 车从相遇点到B城的路程加上乙车从相遇点 到A城的路程是第2个全程,两车从开始原路 返回到第二次相遇共行了第3个全程。根据 “总路程=总速度×时间”求出总路程,用总路 程除以3即为所求。 5. 2千米=2000米 2000÷20=100(米/分) 甲的速度:(400+100)÷2=250(米/分) 乙的速度:400-250=150(米/分) 解析:由题意,可知甲比乙20分钟多行了2千 米(路程差);根据路程差÷时间=速度差,求 出甲、乙的速度差是2000÷20=100(米/分); 然后根据和差问题公式(和+差)÷2=较大 数,求出甲的速度,进而求出乙的速度。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析