专题10 平面解析几何-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训

　 　　　　　　专题十　平面解析几何 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　平面解析几何一直是高考的高频考点,是高考的热点．从近年的高考数学来看,本专题考 查内容覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线,突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学 科素养． (１)高考中对解析几何的基础知识考查全面且综合,如直线和圆的方程、圆锥曲线定义和 几何性质、直线与曲线位置关系等,而且不回避热点,如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心 率问题、弦长问题等．仔细对比可以发现,每年的高考试题大都由课本习题改编而来,源于课 本,又高于课本． (２)解析几何的试题一般入口较宽,很容易找到解决问题的思路,但是不同解法间运算量 的差异很大,有的是“可望而不可及”．为此,在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比 较,研究图形的几何特征,以掌握处理代数式的一般方法,明确不同方法的差异和联系,找到 自己最擅长的方法．要达到这样的目的,关键是对问题本质的把握．只有多角度审视,看清问 题的实质,才能发现最佳的突破口． 解析几何问题是中学数学的综合应用问题．对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较 高．好的思路是通过一定的运算、推理等数学语言表达出来的．因此在平面解析几何专题复习 过程中,提升自身的逻辑思维能力和运算求解能力尤为重要． 第１节　直线与圆 [考点１]　直线的方程、距离问题 (２０２０􀅰全国Ⅲ卷(文),８)点(０,－１)到直线 y＝k(x＋１)距离的最大值为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．２ [考点２]　圆的方程 １．(２０２３􀅰全国乙卷(文),１１)已知实数x,y满 足x２＋y２－４x－２y－４＝０,则x－y的最大 值是 (　　) A．１＋３ ２２ B．４ C．１＋３ ２ D．７ ２．(２０２３􀅰上海卷,７)已知圆C:x２＋y２－４y－ m＝０的面积为π,则m＝　　　　． ３．(２０２２􀅰全国乙卷(理),１４)过四点(０,０), (４,０),(－１,１),(４,２)中的三点的一个圆的 方程为　　　　． [考点３]　直线与圆的位置关系 １．(２０２５􀅰全国一卷,７)已知圆x２＋(y＋２)２ ＝r２(r＞０)上到直线y＝ ３x＋２的距离为１ 的点有且仅有两个,则r的取值范围是 (　　) A．(０,１)　　　　B．(１,３) C．(３,＋∞) D．(０,＋∞) ２．(２０２４􀅰全国甲卷(理),１２)已知b是a,c的 等差中项,直线ax＋by＋c＝０与圆x２＋y２ ＋４y－１＝０交于A,B 两点,则|AB|的最小 值为 (　　) A．１ B．２ C．４ D．２ ５ ３．(２０２４􀅰北京卷,３)圆x２＋y２－２x＋６y＝０ 的圆心到x－y＋２＝０的距离为 (　　) A．２ B．２ C．３ D．３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５８ 第二部分　专题十　平面解析几何 ４．(２０２３􀅰全国甲卷(理),８)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为 ５,C 的一 条渐近线与圆(x－２)２＋(y－３)２＝１交于 A,B 两点,则|AB|＝ (　　) A．５５ B． ２ ５ ５ C．３ ５５ D． ４ ５ ５ ５．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,６)过点(０,－２)与圆 x２＋y２－４x－１＝０相切的两条直线的夹角 为α,则sinα＝ (　　) A．１ B．１５４ C．１０４ D． ６ ４ ６．(２０２２􀅰北京卷,３)若直线２x＋y－１＝０是圆 (x－a)２＋y２＝１的一条对称轴,则a＝ (　　) A．１２ B．－ １ ２ C．１ D．－１ ７．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,１１)(多选)已知点 P 在圆(x－５)２＋(y－５)２＝１６上,点A(４,０), B(０,２),则 (　　) A．点P 到直线AB 的距离小于１０ B．点P 到直线AB 的距离大于２ C．当∠PBA 最小时,|PB|＝３ ２ D．当∠PBA 最大时,|PB|＝３ ２ ８．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,１１)(多选)已知直线 l∶ax＋by－r２＝０与圆C:x２＋y２＝r２,点A (a,b),则下列说法正确的是 (　　) A．若点A 在圆C 上,则直线l与圆C 相切 B．若点A 在圆C 内,则直线l与圆C 相离 C．若点A 在圆C 外,则直线l与圆C 相离 D．若点A 在直线l上,则直线l与圆C 相切 ９．(２０２１􀅰北京卷,９)已知圆C:x２＋y２＝４,直 线l:y＝kx＋m,当k变化时,直线l截得圆 C 弦长的最小值为２,则m＝ (　　) A．±２ B．± ２ C．± ３ D．± ５ １０．(２０２３􀅰天津卷,１２)过原点O 的一条直线 与圆C:(x＋２)２＋y２＝３相切,交曲线y２ ＝２px(p＞０)于点P,若|OP|＝８,则p的值 为　　　　． １１．(２０２２􀅰全国甲卷(理),１４)若双曲线y２－ x２ m２ ＝１(m＞０)的渐近线与圆x２＋y２－４y ＋３＝０相切,则m＝　　　　． １２．(２０２１􀅰天津卷,１２)若斜率为 ３的直线与 y轴交于点A,与圆x２＋(y－１)２＝１相切 于点B,则|AB|＝　　　　． [考点４]　圆与圆的位置关系 (２０１６􀅰山东卷(文),７)已知圆 M:x２＋y２－ ２ay＝０(a＞０)截直线x＋y＝０所得线段的 长度是２ ２．则圆 M 与圆N:(x－１)２＋(y －１)２＝１的位置关系是 (　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　椭圆 [考点１]　椭圆的定义及标准方程 １．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,５)已知曲线C:x２＋y２ ＝１６(y＞０),从C 上任意一点P 向x 轴作 垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点 M 的轨迹方程为 (　　) A．x ２ １６＋ y２ ４＝１ (y＞０) B．x ２ １６＋ y２ ８＝１ (y＞０) C．y ２ １６＋ x２ ４＝１ (y＞０) D．y ２ １６＋ x２ ８＝１ (y＞０) ２．(２０２３􀅰全国甲卷(文),７)设F１,F２ 为椭圆 C:x ２ ５＋y ２＝１的两个焦点,点P 在C 上,若 PF１ → 􀅰PF２ → ＝０,则|PF１|􀅰|PF２|＝ (　　) A．１ B．２ C．４ D．５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６８ 最新真题分类特训􀅰数学 ３．(２０２２􀅰全国甲卷(文),１１)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为１３ ,A１,A２ 分 别为C 的左、右顶点,B 为C 的上顶点．若 BA１ → 􀅰BA２ → ＝－１,则C的方程为 (　　) A．x ２ １８＋ y２ １６＝１ B． x２ ９＋ y２ ８＝１ C．x ２ ３＋ y２ ２＝１ D． x２ ２＋y ２＝１ ４．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,５)已知F１,F２ 是椭圆 C:x ２ ９＋ y２ ４＝１ 的两个焦点,点 M 在C 上,则 |MF１|􀅰|MF２|的最大值为 (　　) A．１３ B．１２ C．９ D．６ [考点２]　椭圆的几何性质 １．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,５)设椭圆C１: x２ a２ ＋y２ ＝１(a＞１),C２: x２ ４＋y ２＝１的离心率分别为 e１,e２,若e２＝ ３e１,则a＝ (　　) A．２ ３３ B．２ C．３ D．６ ２．(２０２３􀅰全国甲卷(理),１２)已知椭圆x ２ ９＋ y２ ６ ＝１,F１、F２ 为两个焦点,O 为原点,P 为椭 圆上一点,cos∠F１PF２＝ ３ ５ ,则|PO|＝ (　　) A．２５ B． ３０ ２ C．３５ D． ３５ ２ ３．(２０２１􀅰全国乙卷(理),１１)设B 是椭圆C: x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的上顶点,若C上的任 意一点P 都满足|PB|≤２b,则C 的离心率 的取值范围是 (　　) A． ２ ２ ,１ é ë êê ö ø ÷ B．１２ ,１é ë êê ö ø ÷ C．０,２２ æ è ç ù û úú D．０, １ ２ æ è ç ù û úú ４．(２０２１􀅰全国乙卷(文),１１)设B 是椭圆C: x２ ５＋y ２＝１的上顶点,点P 在C 上,则|PB| 的最大值为 (　　) A．５２ B．６ C．５ D．２ ５．(２０２１􀅰全国甲卷(理),１５)已知F１,F２ 为椭 圆C:x ２ １６＋ y２ ４＝１ 的两个焦点,P,Q为C上关于 坐标原点对称的两点,且|PQ|＝|F１F２|,则四 边形PF１QF２ 的面积为　　　　． [考点３]　直线与椭圆的位置关系 １．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,５)已知椭圆C:x ２ ３＋y ２ ＝１的左、右焦点分别为F１,F２,直线y＝x ＋m 与C 交于A,B 两点,若△F１AB 面积 是△F２AB 面积的２倍,则m＝ (　　) A．２３ B． ２ ３ C．－ ２３ D．－ ２ ３ ２．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,１６)已知椭圆C:x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０),C 的上顶点为A,两个焦 点为F１,F２,离心率为 １ ２ ,过 F１ 且垂直于 AF２ 的直线与C交于D,E 两点,|DE|＝６, 则△ADE 的周长是　　　　． ３．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,１６)已知直线l与椭圆 x２ ６＋ y２ ３＝１ 在第一象限交于A,B 两点,l与 x 轴、y轴分别交于M,N 两点,且|MA|＝ |NB|,|MN | ＝ ２ ３,则 l 的 方 程 为　　　　． ４．(２０２１􀅰浙江卷,１６)已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a ＞b＞０),焦点F１(－c,０),F２(c,０),c＞０,若 过F１ 的直线和圆 x－ １ ２c æ è ç ö ø ÷ ２ ＋y２＝c２ 相切, 与椭圆的第一象限交于点 P,且 PF２⊥x 轴,则该直线的斜率是　　　　,椭圆的离 心率是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７８ 第二部分　专题十　平面解析几何 ５．(２０２５􀅰天津卷,１８)已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a ＞b＞０)的左焦点为F,右顶点为A,P 为x ＝a 上 一 点,且 直 线 PF 的 斜 率 为 １３ , △PFA 的面积为３２ ,离心率为１ ２． (１)求椭圆的方程; (２)过点P 的直线与椭圆有唯一交点B(异 于点A),求证:PF平分∠AFB． ６．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１６)(１５分)已知A(０, ３)和P ３,３２ æ è ç ö ø ÷为椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞ ０)上两点． (１)求C的离心率; (２)若过 P 的直线l 交C 于另一点B,且 △ABP 的面积为９,求l的方程． ７．(２０２４􀅰全国甲卷(理),２０)(１２分)设椭圆 C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的右焦点为F,点 M １,３２ æ è ç ö ø ÷在C上,且 MF⊥x轴． (１)求C的方程; (２)过点P(４,０)的直线交C 于A,B 两点, N 为线段FP 的中点,直线 NB 交直线MF 于点Q．证明:AQ⊥y轴． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８８ 最新真题分类特训􀅰数学 ８．(２０２４􀅰北京卷,１９)(１５分)已知椭圆方程 C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),焦点和短轴端点 构成边长为２的正方形,过 (０,t)(t＞ ２)的 直线l与椭圆交于A,B,C(０,１),连接AC 交椭圆于D． (１)求椭圆E 的方程和离心率; (２)若直线BD 的斜率为０,求t． ９．(２０２３􀅰天津卷,１８)(１５分)已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右顶点分别为A１,A２,右 焦点为F,已知|A１F|＝３,|A２F|＝１． (１)求椭圆的方程和离心率e; (２)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重 合),直线 A２P 交y 轴于点Q,若三角形 A１PQ 的面积是三角形A２FP 面积的二倍, 求直线A２P 的方程． １０．(２０２２􀅰北京卷,１９)(１５分)已知椭圆E: x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的一个顶点为A(０, １),焦距为２ ３． (１)求椭圆E 的方程; (２)过点P(－２,１)作斜率为k的直线与椭 圆E 交于不同的两点B,C,直线AB,AC 分别与x 轴交于点M,N．当|MN|＝２时, 求k的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９８ 第二部分　专题十　平面解析几何 １１．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,２０)(１２分)已知椭圆 C的方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),右焦点 为F(２,０),且离心率为 ６３． (１)求椭圆C的方程; (２)设 M,N 是椭圆C 上的两点,直线 MN 与曲线x２＋y２＝b２(x＞０)相切．证明:M, N,F三点共线的充要条件是|MN|＝ ３． １２．(２０２１􀅰北京卷,２０)(１５分)已知椭圆E: x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)过点A(０,－２),以四 个顶点围成的四边形面积为４ ５． (１)求椭圆E 的标准方程; (２)过点P(０,－３)的直线l斜率为k,交椭 圆E 于不同的两点B,C,直线AB,AC 交 y＝－３于点 M、N,若|PM|＋|PN|≤１５, 求k的取值范围． １３．(２０２１􀅰天津卷,１８)已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a ＞b＞０)的右焦点为F,上顶点为B,离心 率为２ ５ ５ ,且|BF|＝ ５． (１)求椭圆的方程; (２)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y 轴的正半轴交于点N,过 N 与BF 垂直的 直线交x 轴于点P．若 MP∥BF,求直线l 的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ 最新真题分类特训􀅰数学 第３节　双曲线 [考点１]　双曲线的定义及标准方程 (２０２１􀅰北京卷,５)双曲线Cx ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a ＞０,b＞０)过点(２,３),且离心率为２,则 该双曲线的标准方程为 (　　) A．x２－y ２ ３＝１ B． x２ ３－y ２＝１ C．x２－ ３３y ２＝１ D．３３x ２－y２＝１ [考点２]　双曲线的几何性质 １．(２０２５􀅰全国一卷,３)已知双曲线C 的虚轴 长是实轴长的 ７倍,则C的离心率为 (　　) A．２ B．２ C．７ D．２ ２ ２．(２０２５􀅰北京卷,３)双曲线x２－４y２＝４的离 心率为 (　　) A．３２ B． ５ ２ C．５４ D．５ ３．(２０２５􀅰上海卷,１５)已知A(０,１),B(１,２), C 在Γ:x２ －y２ ＝１(x≥１,y≥０)上,则 △ABC的面积 (　　) A．有最大值,但没有最小值 B．没有最大值,但有最小值 C．既有最大值,也有最小值 D．既没有最大值,也没有最小值 ４．(２０２４􀅰全国甲卷(理),５)已知双曲线的两 个焦点分别为F１(０,４),F２(０,－４),点 P (－６,４)在该双曲线上,则该双曲线的离心 率为 (　　) A．４　　　B．３　　　C．２　　　D．２ ５．(２０２４􀅰天津卷,８)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０, b＞０)的左、右焦点分别为F１、F２,P 是双曲 线右支上一点,且直线 PF２ 的斜率为 ２, △PF１F２ 是面积为８的直角三角形,则双曲 线的方程为 (　　) A．x ２ ８－ y２ ２＝１ B． x２ ８－ y２ ４＝１ C．x ２ ２－ y２ ８＝１ D． x２ ４－ y２ ８＝１ ６．(２０２２􀅰全国乙卷(理),１１)(多选)双曲线C的 两个焦点为F１,F２,以C的实轴为直径的圆记 为D,过F１ 作D的切线与C交于M,N 两点, 且cos∠F１NF２＝ ３ ５ ,则C的离心率为 (　　) A．５２ B． ３ ２ C． １３ ２ D． １７ ２ ７．(２０２１􀅰全国甲卷(理),５)已知F１,F２ 是双 曲线 C 的 两 个 焦 点,P 为C 上 一 点,且 ∠F１PF２＝６０°,|PF１|＝３|PF２|,则C 的离 心率为 (　　) A．７２ B． １３ ２ C．７ D．１３ ８．(２０２１􀅰全国甲卷(文),５)点(３,０)到双曲线 x２ １６－ y２ ９＝１ 的一条渐近线的距离为 (　　) A．９５ B． ８ ５ C． ６ ５ D． ４ ５ ９．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１２)设双曲线C:x ２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１, F２,过F２ 作平行于y轴的直线交C 于A,B 两点．若|F１A|＝１３,|AB|＝１０,则C 的离 心率为　　　　． １０．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１６)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２． 点A在C上,点B在y轴上,F１A → ⊥F１B → ,F２A → ＝－２３F２B → ,则C的离心率为　　　　． １１．(２０２２􀅰全国甲卷(文),１５)双曲线C:x ２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为e,写出满足 条件“直线y＝２x与C 无公共点”的e的一 个值　　　　． １２．(２０２２􀅰浙江卷,１６)已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a ＞０,b＞０)的左焦点为F,过F且斜率为b４a 的 直线交双曲线于点A(x１,y１),交双曲线的渐 近线于点B(x２,y２)且x１＜０＜x２．若|FB|＝３ |FA|,则双曲线的离心率是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９ 第二部分　专题十　平面解析几何 １３．(２０２２􀅰北京卷,１２)已知双曲线y２＋x ２ m＝１ 的 渐近线方程为y＝± ３３x ,则m＝　　　　． １４．(２０２１􀅰全国乙卷(理),１３)已知双曲线C: x２ m－y ２＝１(m＞０)的一条渐近线为 ３x＋ my＝０,则C的焦距为　　　　． １５．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,１３)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),离心率e＝２,则双曲 线C的渐近线方程为　　　　． [考点３]　直线与双曲线的位置关系 １．(２０２４􀅰北京卷,１３)若直线y＝k(x－３)与 双曲线x ２ ４－y ２＝１只有一个公共点,则k的 一个取值为　　　　． ２．(２０２１􀅰全国乙卷(文),１４)双曲线x ２ ４－ y２ ５＝ １的右焦点到直线x＋２y－８＝０的距离为 　　　　　． ３．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,２１)(１２分)已知点A (２,１)在双曲线C:x ２ a２ － y ２ a２－１ ＝１(a＞１)上, 直线l交C 于P,Q 两点,直线AP,AQ 的斜 率之和为０． (１)求l的斜率; (２)若tan∠PAQ＝２ ２,求△PAQ 的面积． ４．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,２１)(１２分)在平面直 角坐标系xOy 中,已知点 F１(－ １７,０), F２(１７,０),点 M 满足|MF１|－|MF２|＝２, 记 M 的轨迹为C, (１)求C的方程; (２)设点T 在直线x＝１２ 上,过T 的两条直 线分别交C 于A,B 两点和P,Q 两点,且 |TA|􀅰|TB|＝|TP|􀅰|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２９ 最新真题分类特训􀅰数学 第４节　抛物线 [考点１]　抛物线的定义及标准方程 １．(２０２２􀅰全国乙卷(理),５)设F为抛物线C: y２＝４x的焦点,点A 在C 上,点B(３,０),若 |AF|＝|BF|,则|AB|＝ (　　) A．２ B．２ ２ C．３ D．３ ２ ２．(２０２５􀅰北京卷,１１)抛物线y２＝２px(p＞０) 的顶点到焦点的距离为３,则p＝　　　　． ３．(２０２４􀅰北京卷,１１)已知抛物线y２＝１６x, 则焦点坐标为　　　　． ４．(２０２４􀅰上海卷,７)已知抛物线y２＝４x上有 一点P 到准线的距离为９,那么点P 到x 轴 的距离为　　　　． ５．(２０２１􀅰北京卷,１２)已知抛物线C:y２＝４x, 焦点为F,点M 为抛物线C上的点,且|FM|＝ ６,则M 的横坐标是　　　　;作MN⊥x轴于 N,则S△FMN＝　　　　． ６．(２０２３􀅰全国乙卷(理),１３)已知点 A(１, ５),在抛物线C:y２＝２px(p＞０)上,则A 到C 的准线的距离为　　　　． [考点２]　抛物线的几何性质 １．(２０２５􀅰全国二卷,６)设抛物线C:y２＝２px (p＞０)的焦点为F,点A 在C 上,过点A 作 C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方 程为y＝－２x＋２,则|AF|＝ (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ ２．(２０２５􀅰全国一卷,１０)(多选)设抛物线C: y２＝６x的焦点为F,过F的直线交C 于A、 B 两点,过A 作直线l:x＝－３２ 的垂线．垂 足为D,过F 作垂直于AB 的直线交l 于 E,则 (　　) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥６ D．|AE|􀅰|BE|≥１８ ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１０)(多选)抛物线C: y２＝４x的准线为l,P 为C 上的动点．过P 作☉A:x２＋(y－４)２＝１的一条切线,Q 为 切点．过P 作l的垂线,垂足为B．则(　　) A．l与☉A 相切 B．当P,A,B 三点共线时,|PQ|＝ １５ C．当|PB|＝２时,PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P 有且仅有２个 ４．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,３)抛物线y２＝２px(p ＞０)的焦点到直线y＝x＋１的距离为 ２, 则p＝ (　　) A．１ B．２ C．２ ２ D．４ ５．(２０２４􀅰天津卷,１２)(x－１)２＋y２＝２５的圆 心与抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点F重合, A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距 离为　　　　． ６．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,１４)已知O 为坐标原 点,抛物线C:y２＝２px(p＞０)的焦点为F, P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴 上一点,且PQ⊥OP．若|FQ|＝６,则C的准 线方程为　　　　． [考点３]　直线与抛物线的位置关系 １．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,１０)(多选)设O 为坐 标原点,直线y＝－ ３(x－１)过抛物线C: y２＝２px(p＞０)的焦点,且与C 交于M,N 两点,l为C 的准线,则 (　　) A．p＝２ B．|MN|＝８３ C．以 MN 为直径的圆与l相切 D．△OMN 为等腰三角形 ２．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,１１)(多选)已知O 为 坐标原点,点A(１,１)在抛物线C:x２＝２py (p＞０)上,过点B(０,－１)的直线交C于P, Q 两点,则 (　　) A．C的准线为y＝－１ B．直线AB 与C 相切 C．|OP|􀅰|OQ|＞|OA|２ D．|BP|􀅰|BQ|＞|BA|２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３９ 第二部分　专题十　平面解析几何 ３．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,１０)(多选)已知O为坐标 原点,过抛物线C:y２＝２px(p＞０)焦点F的直 线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点 M(p,０)．若|AF|＝|AM|,则 (　　) A．直线AB 的斜率为２ ６ B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞４|OF| D．∠OAM＋∠OBM＜１８０° ４．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,２２)(１２分)在直角坐 标系xOy中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点 ０,１２ æ è ç ö ø ÷的距离,记动点P 的轨迹为W． (１)求W 的方程; (２)已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上, 证明:矩形ABCD 的周长大于３ ３． ５．(２０２２􀅰全国甲卷(文),２１)(１２分)设抛物 线C:y２＝２px(p＞０)的焦点为F,点D(p, ０),过F 的直线交C 于M,N 两点,当直线 MD 垂直于x 轴时,|MF|＝３． (１)求C的方程; (２)设直线 MD、ND 与C 的另一个交点分 别为A,B,记直线 MN、AB 的倾斜角分别 为α,β,当α－β取得最大值时,求直线AB 的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４９ 最新真题分类特训􀅰数学 ６．(２０２１􀅰全国乙卷(文),２０)(１２分)已知抛 物线C:y２＝２px(p＞０)的焦点F 到准线的 距离为２． (１)求C的方程; (２)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ → ＝９QF → ,求直线OQ 斜率的最大值． ７．(２０２１􀅰浙江卷,２１)(１５ 分)如图,已知F 是抛物线 y２＝２px(p＞０)的焦点,M 是抛物线的准线与x 轴的 交点,且|MF|＝２． (１)求抛物线的方程; (２)设过点F 的直线交抛 物线于A,B 两点,若斜率为２的直线l与 直线MA,MB,AB,x 轴依次交于点P,Q, R,N,且满足|RN|２＝|PN|􀅰|QN|,求直 线l在x 轴上截距的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９ 第二部分　专题十　平面解析几何 第５节　圆锥曲线的综合问题 [考点１]　圆锥曲线的标准方程和几何性质 １．(２０２５􀅰全国二卷,１１)双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０)的左、右焦点分别是F１,F２, 左、右顶点分别为A１,A２,以F１F２ 为直径的 圆与C 的一条渐近线交于 M,N 两点,且 ∠NA１M＝ ５π ６ ,则 (　　) A．∠A１MA２＝ π ６ B．|MA１|＝２|MA２| C．C的离心率为 １３ D．当a＝ ２时,四边形NA１MA２ 的面积为８ ３ ２．(２０２３􀅰上海卷,１６)对于平面上的一条曲线 C,若在平面上存在点 M,使得C 上任意一 点P,都存在C上的一点Q,使得 MP􀅰MQ ＝１．则称C为“自相关曲线”． ①任一椭圆都是“自相关曲线”　②存在一 条双曲线是“自相关曲线” 下列说法正确的是 (　　) A．①是假命题,②是真命题 B．①是真命题;②是假命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 ３．(２０２１􀅰天津卷,８)已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a ＞０,b＞０)的右焦点与抛物线y２＝２px(p＞０) 的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B 两点,交双曲线的渐近线于C、D两点,若|CD| ＝２|AB|．则双曲线的离心率为 (　　) A．２ B．３ C．２ D．３ ４．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１９)(１７分)已知双曲 线C:x２－y２＝m(m＞０),点P１(５,４)在C 上,k为常数,０＜k＜１,按照如下方式依次 构造点Pn(n＝２,３,􀆺),过点Pn－１作斜率为 k的直线与C 的左支交于点Qn－１,令Pn 为 Qn－１关于y 轴的对称点．记 Pn 的坐标为 (xn,yn)． (１)若k＝１２ ,求x２,y２; (２)证明:数列{xn－yn}是公比为 １＋k １－k 的等 比数列; (３)设Sn 为△PnPn＋１Pn＋２的面积,证明:对 于任意正整数n,Sn＝Sn＋１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６９ 最新真题分类特训􀅰数学 ５．(２０２２􀅰天津卷,１９)椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞ ０)的右焦点为F、右顶点为A,上顶点为B, 且满足|BF| |AB|＝ ３ ２． (１)求椭圆的离心率e; (２)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴 相交于N(N 异于M)．记O为坐标原点,若 |OM|＝|ON|,且△OMN 的面积为 ３,求 椭圆的标准方程． ６．(２０２１􀅰全国甲卷(理),２０)(１２分)抛物线C 的顶点为坐标原点O,焦点在x 轴上,直线 l:x＝１交C 于P,Q 两点,且OP⊥OQ．已 知点 M(２,０),且☉M 与l相切． (１)求C,☉M 的方程; (２)设 A１,A２,A３ 是 C 上的三个点,直线 A１A２,A１A３ 均与☉M 相切,判断直线A２A３ 与☉M 的位置关系,并说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７９ 第二部分　专题十　平面解析几何 [考点２]　离心率问题 １．(２０２５􀅰天津卷,９)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０, b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,以右焦点 F２ 为焦点的抛物线y２＝２px(p＞０)与双曲 线在第一象限的交点为P,若|PF１|＋|PF２ |＝３|F１F２|,则双曲线的离心率e＝ (　　) A．２ B．５ C．２＋１２ D． ５＋１ ２ ２．(２０１９􀅰全国Ⅱ卷(文),１２)设F 为双曲线 C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的右焦点,O为坐 标原点,以OF为直径的圆与圆x２＋y２＝a２ 交于P,Q 两点．若|PQ|＝|OF|,则C 的离 心率为 (　　) A．２ B．３ C．２ D．５ ３．(２０１９􀅰天津卷(理),５)已知拋物线y２＝４x 的焦点为F,准线为l．若l与双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的两条渐近线分别交于点 A 和点B,且|AB|＝４|OF|(O 为原点),则 双曲线的离心率为 (　　) A．２ B．３ C．２ D．５ [考点３]　取值范围及最值问题 １．(２０２５􀅰全国一卷,１８)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为２ ２３ ,下顶点为 A,右顶点为B,|AB|＝ １０． (１)求C的方程; (２)已知动点P 不在y 轴上,点R 在射线 AP 上,且满足|AP|􀅰|AR|＝３ (ⅰ)设 P(m,n),求 R 的坐标(用 m,n 表 示); (ⅱ)设O为坐标原点,Q 是C 上的动点,直 线OR 的斜率是直线OP 的斜率的３倍,求 |PQ|的最大值． ２．(２０２５􀅰上海卷,２０)已知椭圆Γ:x ２ a２ ＋y ２ ５＝１ (a＞ ５),M(０,m)(m＞０),A 是Γ 的右 顶点． (１)若Γ的焦点是(２,０),求Γ的离心率e; (２)若a＝４,且Γ上存在一点P,满足PA → ＝ ２MP → ,求m; (３)若AM 中垂线l的斜率为２,l与Γ 交于 C、D 两 点,∠CMD 为 钝 角,求a 的 取 值 范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８９ 最新真题分类特训􀅰数学 ３．(２０２４􀅰天津卷,１８)(本小题１５分)已知椭 圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率e＝１２ ,左 顶点为A,下顶点为B,C 是线段OB 的中 点,其中S△ABC＝ ３ ３ ２ ． (１)求椭圆的方程． (２)过点 ０,－３２ æ è ç ö ø ÷的动直线与椭圆有两个交 点P,Q．在y轴上是否存在点T 使得TP →􀅰 TQ → ≤０．若存在,求出点T 纵坐标的取值范 围,若不存在,请说明理由． ４．(２０２４􀅰上海卷,２０)(１８分)本题共有３个 小题,第１小题满分４分,第２小题满分６ 分,第３小题满分８分． 已知双曲线Γ:x２－y ２ b２ ＝１,(b＞０),左、右顶 点分别为A１,A２,过点 M(－２,０)的直线交 双曲线Γ于P、Q 两点． (１)若Γ的离心率为２,求b． (２)若b＝２ ６３ ,△MA２P 为等腰三角形,且 点P 在第一象限,求点P 的坐标． (３)连接QO(O 为坐标原点)并延长交Γ于 点R,若A１R →􀅰A２P → ＝１,求b的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９９ 第二部分　专题十　平面解析几何 ５．(２０２３􀅰全国甲卷(理),２０)(１２分)设抛物 线C:y２＝２px(p＞０),直线x－２y＋１＝０ 与C交于A,B 两点,且|AB|＝４ １５． (１)求p的值; (２)设C 的焦点为F,M,N 为C 上两点, MF → 􀅰NF → ＝０,求△MNF面积的最小值． ６．(２０２３􀅰上海卷,２０)(本题满分１８分)第１ 小题满分４分,第２小题满分６分．第３小 题满分８分． 已知抛物线Γ:y２＝４x上有一点A,A 的纵 坐标为a＞０． (１)若A 到Γ 的准线的距离为３,求a的值; (２)若a＝４,点B 在x轴上,AB 的中点在Γ 上,求点B坐标和坐标原点O到直线AB的距 离; (３)若对于C 上第一象限的任一不与A 重 合的点P,设直线AP 与直线l:x＝－３交 于点Q,作PH⊥l于H,都有|QH|＞４恒 成立,求a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ００１ 最新真题分类特训􀅰数学 [考点４]　定点、定直线问题 １．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,２１)(１２分)已知双曲 线C的中心为坐标原点,左焦点为(－２ ５, ０),离心率为 ５． (１)求C的方程; (２)记C 的左、右顶点分别为 A１,A２,过点 (－４,０)的直线与C 的左支交于 M,N 两 点,点 M 在第二象限,直线 MA１ 与 NA２ 交 于点P,证明:点P 在定直线上． ２．(２０２３􀅰全国乙卷(理),２０)(１２分)已知椭 圆C:y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为 ５３ , 点A(－２,０)在C上． (１)求C的方程． (２)过点(－２,３)的直线交C 于P,Q 两点, 直线AP,AQ 与y 轴的交点分别为M,N, 证明:线段 MN 的中点为定点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １０１ 第二部分　专题十　平面解析几何 ３．(２０２２􀅰全国乙卷(理),２０)(１２分)已知椭 圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A(０,－２),B ３２ ,－１ æ è ç ö ø ÷两点． (１)求E 的方程; (２)设过点P(１,－２)的直线交E 于M,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T,点 H 满足MT → ＝TH → ．证明:直线 HN 过定点． [考点５]　面积问题 １．(２０２５􀅰全国二卷,１６)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为 ２２ ,长轴长为４, (１)求C的方程; (２)过点(０,－２)的直线l与C 交于A、B 两 点,O 为坐标原点．若△OAB 的面积为 ２, 求|AB|． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２０１ 最新真题分类特训􀅰数学 ２．(２０２５􀅰北京卷,１９)已知椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０),离心率为 ２２ ,椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为４． (１)求椭圆E 的方程; (２)设O为原点,M(x０,y０)(x０≠０)为椭圆 上一点,直线x０x＋２y０y－４＝０与y＝２和 y＝ －２ 分 别 交 于 A,B 两 点．△OMA 与 △OMB的面积分别为S１,S２．猜想 S１ S２ 与|OA| |OB| 的数量关系并求证． ３．(２０２１􀅰全国乙卷(理),２１)(１２分)已知抛 物线C:x２＝２py(p＞０)的焦点为F,且F与 圆 M∶x２＋(y＋４)２＝１上点的距离的最小 值为４． (１)求p; (２)若点P 在M 上 ,PA,PB 是C 的两条切 线,A,B 是切点,求△PAB 面积的最大值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０１ 第二部分　专题十　平面解析几何 最新真题分类特训·数学 3.解：(1)证明：因为ABCD一A,B,C,D,为正方体，所以 考点2圆的方程 AD,∥B,C,CD∥C,D. L.C令x-y=k,则x=k十y, 又因为CD丈平面A,B,C,D,C,DC平面A,B,C,D,: 代入原式化简得2y2+(2k-6)y十k-4k一4=0， 所以CD∥平面AB,CD. 因为存在实数y,则△>0， 因为平面CDEF∩平面A,B,C,D,=EF,且CDC平面 即(2k-6)°-4×2(k2-4k-4)≥0， CDEF,所以CD∥EF,故CD∥EF. 化简得k2-2k-17≤0， 所以四边形EFC,D1为矩形，又点E为A,D1中点，故 解得1一3√2≤k≤1+3√反， C.F-D.E-TAD-2CB. 故x-y的最大值是3√瓦+1.故选：C 故，点F为BC,的中点 2.解析：x+(y-2)2=m十42-开-1，由题意m十4=1 (2)因为ABCD →m=-3. AB,C,D,为正方体，故 D E 答案：-3 DA,DC,DD两两垂直， M 3.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(一1,1)，D(4,2),圆过其 以D为坐标原点，分别以 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为 DA,DC,DD,所在直线 圆心，周心到任一点的距离为半径 为x轴，y轴，z轴建立空 (1)若圆过A、B、C三点，则圆心在直线x=2上，设圆心 问直角坐标系， 坐标为(2.a),则4+a2=9+(a-1)2→a=3.r= 令正方体ABCD一 4+a=13, A,BCD,的棱长为2，设AM=AA,B,(0≤A≤1). 所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. 则C(0,2,0),E(1.0,2),F(1,2,2),M(2,2,2),CE (2)若圆过A、B、D三点，同(1)设画心坐标为(2，a),则4 (1,-2,2),CF=(1.0,2),CM=(2,2a-2,2). 十a2=4+(a-2)→a=1,r=√1+a=V5,所以回的方 设平面CE℉的法向量为n1=(x1y1·), 程为(x-2)°+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C、D三点，则线段AC的中垂线方程为y ,即心-2+2=0 CE·n=0. 则 故y=0, =x十1，线段AD的中垂线方程为y=一2.x十5，联立得 (CF·n1=0(x+2≈=0 令1=-1，x1=2,可取n1=(2,0,-1). 16+4965 3 设平而CMF的法向量为n:=(x2为，：)， 则》 ,脚2x:+(2A-2g+2,=0 CM·n:=0 G.n.=0气+2=0 所以国的方程为（一言）+（一）广-管 (4)若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为 令4=-1，则=2,4=户 y=1,线段BC中垂线方程为y=5.r-7,联立得 可取=（亡-） y=1 设二面角M-CF-E为0，且0为锐角， 故cos0=1cos(mn:=n·m 所以国的方程为（一号）广+g一=碧 答案：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5 4+1 v2+-√2+()+(-1 或(-青)广+(-子)广-曾或(-)+-1 解释X-号∈[0,1小， 考点3直线与圆的位置关系 会0 1.B与直线y=3x十2距离为1的直线为(：y=3x十4 专题十平面解析几何 和l2:y=5x,图心M(0,一2)到l,的距离为d,= -2-4 第1节直线与圆 =3,到1的距离为d,=一2=1.较 √/1+(3) /1+(5) 考点1直线的方程、距离问题 题可知国与1，的交点总个数为2，据草图可知圆应与 B由直线y=k(x十1)过定点（一1,0），要使距离最大， l2相交，与l相离，故1<3，选B. 则当y=k(x+1)与(0，一1)和（一1,0）的连线垂直时可 2.C因为a,b,c成等差数列，所以a-2b+c=0,直线r十by 得最大距离为(0，一1)和（一1,0）两点之间的距离d= 十c=0恒过P(1,一2)，当PC⊥AB时，AB取得最小值，此 (0+1)+(1-0)=2,故选B. 时|PC=1,AB=2√5-PCT=4. 详解详析 3.D圃x十y2-2x十6y=0的标准方程为(x-1)2+(y 10.解析：由题知圆(x十2)2十y2=3 +3)=10,圆心坐标为(1，一3).因此圆心到直线x-y 和曲线y=2px关于x轴对称， +2=0的距离d= 11+3+21 =3√2 不妨设切线方程为y=kx,>0, √1+(-1)T 所以2k1 =,解得k=5, 2 D由=5则==1+二5， √1+ a 解得。=2， 由y=V3zx ly=2pr 渐近线y=一2x与圆无法相交， r=2p 所以双曲线的一条浙近线不妨取y=2x, 解得x=0 3 或 则圃心(23)到渐近线的距高4=2X2-3-5 (y=0 =22 √②+15 3 所以孩长AB引=2√P-d=21-5 5· o()+(-8. 5.B由题可知，园的方程可化为(x一2)十 y 解得p=6.当k=一√时，同理可得. y=5,故圆心B(2.0),A(0,-2),如图， 答案：6 设切点为M,N,AB=22,BM=√5，故 11.解析：由圆心为(0,2).半径为1的圆与直线x=士my AM-∠MA-岩-磊 cos 和切可得去一1，解得m- √1十m ∠MBA= 2sin a=sin(a)=sinNBM= 答案停 sn2∠MBA=2×E×5=压.故选B 12.解析：设直线AB的方程为y=√3.x+b.则点A(0.b), 22224 由于直线AB与图x”+(y一1)°=1相切，且圆心为C 6.A若直线是圆的对称轴，则直线过國心，圆心坐标(a, (0,1),半径为1. 0.所以由2a十0-1=0，解得a= 则6,1山=1，解得6=-1戴6=3，所以AC=2, 2 7.ACD直线AB的方程为千+之=1.即x+2y-4=0. 因为|BC=1,故|AB引=√AC-BCT=3. 设P(5+4cos0.5+4sin0),则点P到直线AB的距离 答案：w3 为：d=5+4cos0+2(5+4sim0)-4 考点4圆与圆的位置关系 √1+2 B由x2+y-2ay=0(a>0)得x+(y-a)2=a(a> _11+45sin(0+2, 0),所以圆M的圆心为(0，a),半径为r1=a,因为圆M 5 载直线x十y=0所得线段的长度是22，所以a 图为d=1+45<10. √1+1 5 d=1一45<2，所以A选项正确，B选项错误 -(2受，解得a=2,国N的国心为1，,径 √5 为r=1,所以MN|=√(0-1)+(2-1)了=√2，n+r 因为圆心为Q(5,5),半径r=4,则1QB|= =3,1-n=1,因为r-r:<MN<十，所以回M (5-0)+(5-2)=√/34. 与圆N相交，故选B. 所以当直线PB与圜相切时∠PBA取得最值，此时 第2节椭圆 1PB1=√QB-7-√34-16-32， 考点1椭圆的定义及标准方程 所以C、D选项正确，故答案为ACD. L.A设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则x 8.ABD圆C的国心到1的距离d=广 =x,y=2y,代入阃的方程为x+4y=16,化为标准方 a+6 对于A,当点A在图上时，a2十6=r,d=r,l与国C相 复为后+号-1(>0 切，对于BA在圆内，则a十6<r,d>r,故直线l与圆 C相离，对于D,点A在l上，则a2十b=r2,则d=r,l与 2.B因为PF1·PF2=0,所以∠FPF:=90°，由精圆方程 圆C相切，对于C不成立，故A,B,D正确. 可知，c2=5-1=4→c=2, 9.C如图，当國心到直线的距离最大时，弦长最小，又m 所以PF2+|PF22=|FF212=4=16, 为直线在y轴上的截距，∴当直线平行于x轴时，所裁 又|PF,+|PF|=2a=2w5, 弦长最短， 平方得PF2+IPF:2+2PFI|PF:I=16+2PF m=士√2-1=士√5 PF2|=20,所以|PF|·PF2|=2.故选B. 最新真题分类特训·数学 3.B由题意，A1(-a,0),A1(a,0),B(0,b),所以BA, 所以Sm,,=2Sm,5=2X合×F,F:X1m= (-a,-b),BA=(a,-b),BA·BA,=-a2+6=-1①. 8,故答案为：8. 又1女 -（信），即=8d,代入①式解得。=9心 答案：8 考点3直线与椭圆的位置关系 =8,所以C的方程为号+号=1，答案选卫 (y=r+m 4.C由椭圆的定义可知a2=9,b=4,1MF,1十|MF2|= 1,C将直线y=x十m与椭圆联立 3+y-11 消去y可 2a=6,由基本不等式可得|MF,1·|MF|≤ (ME士ME)=(侵）广-9，省且仪当M,1 得4x2+6m.x+3m-3=0,则△=36m2-4×4(3m2 2 3)>0,解得一2m<2, 1MF:I时等号成立，答案选C 考点2椭圆的几何性质 由题意可知Sa5=2S6,设精国号+y少=1的左、 1.A由题意易得，=. 右焦点分别为F,·F,,到直线y=x十m的距离分别为 a d dd,所以有号AB·d=2x分·ABd,即d 合解得a=2故选A =2d,将d=一2+m 2.B设∠F,PF=20.0<0< 2 所以Sar,A=an∠FPE-谷an0. 4,=2士m代入上式，解得m=-载-32（含去》. 3 2 由cos∠F,PF=cos20=cos0-sim0-1-tam0 故选C. cos'0++sin 0 1+tan0 2.解析：精围离心率为合，不坊 号解得：an9= =1,且 由椭圆方程可知，a=9,=6,c2=a2-6=3, 所以Sm5=合×IFBX,=×2BX 1 △AFF2为正三角形，则直线 m=6X号，解得=3， DE针幸表-停由等展三肩形 性质可得，AE=EFI,AD 即示=9×(-音)=号，周此0P=√+场- =DF:I,由椭圆性质得△ADE的周长等价于DE+ DF,+EE:=4a,另设直线DE方程为y=(E十 3 3.C依题意，B(0b),设椭圆上一点P(x),则|y≤ c),与椭国方程联立得13.x2+8c.x-32c2=0. 6号+答=1：可得=-若，期PB=云t 由孩长公式|DE1=√+1·|x-x=√+1· 二0=后+苏-26+6卡2+02+有 VG+)-得1E1-√写+1· 歌，因为当=一6时，PB=46,所以一冬≤二6，得 ()广+警-停-6南号a== 2<,所以离心奉e-≤号故志C 答案：13 3.解析：取AB的中，点为E,因为|MA=|NB,所以ME A南P在C上设P.且号+=1，B队o,.周光 =NE,设A(xy),B(),可得4十兰×y-当 工1十xg工1一x 1PB2=x6+(为-1)3， =一名即点e·kw=一子，设直线ABy=kr十m,K 由号+=1，店=5-5%∈[-11小，代入上式得 1PB1=5-5+(-1)化简得|PB2= 0,m>0,令x=0,y=m,令y=0,x=-”,所以 -(以+）)广+华∈[-1.图光当且仪香 (器·登）所以X品=一=- 2 -十时PB的最大值为号，故答案选八 又，|MN|=25,即1MN|=√/m2+(2m)2=25,即 5.解析：可设P(4cos0.2sin0), 依题知OP|=c→|OP=c2→16cos0+4sin0=16-4 =12,→4cos20+sin0=3→4(1-sin20)+sin20=3→ +2m=12m=2,所以直线AB:=-号+2，即 血汽 十2y-22=0. 答案：x十2y-22=0 96 详解详析 4.解析：如图所示：FA= 3 2c (2)由已知得Sam=号PA·d-M=号 1 F.F:=2c,F,B-5 AB-c 9+(3-) d=9,则d-=125 5 k=tan∠PF,F:= AB 3 A F2 3 1 k=-3 2,lw:y=2x+3,设过点B且与 25 PA平行的直线为：y=一2x+m, 51 因为d台- 125,所以3-m=125,则m=-3或 5 5 △FAB△F,PF,所以，C a-e 2 →e + 1 9(含去)，所以1：y=一21一3 答案5 1 5 联立：y=- 名-3和C方程号+号-1，得=0， 5.解：)由题意得A(a,0).F(-c,0.Pa,（a+c),根 马=-3.所以B0,-3)或B(3,-多) 6 X(a+c)(a+e)= 2 据已知条件列方程组 ,解之得 当B坐标为0，-3》时，14y=2-3: a=2 当B坐标为(3，一2)时，1：y= a=2,c=1, 所以6=a2-2=4-1=3 7解：FG,0,由题设有=1且会-号 所以指国方程为千+苦- 故。-受解释a-2,长6-同 (2)设B(),可知直线PB的方程为有号十学) =1, (2)直线AB的斜率必定存 又切线过P(2,1), 在，设AB:y=k(x-4), +=1-+3 3 A(x1为)， 3 B(x:.2). :点B(%)满足至+兰=1. 由/3r+42=12 43 {y=(-4),可得(3 :三+x+3) 3 +4k).x2-32k2x+64k2 =1 12=0, 3 故△=1024k-4(3+4k2)(64k2一12)>0， .x-3.x。十2=0. 解得x=1或x=2(会)， 3 32k2 %=2 又4十3十4西= 64k2-12 3+4k1 2} 而N(受0)，故直线BNy=兰三(-)月 x:2 F(-1,0).P(2,1).A(2.0), 3 可：P1-2+(停-9. 故ya= 2 一3y 5 IBF+I+(含-0）= x2一2 2x-5 31 ∴.lAP=1.PF1=√(2+1)2+(1-0)=√/10 所以y一y%=1十2-5 :wLBFP-EEP FPP-品而. =出×(2x,-5)+3y 2BF·FP 2x2-5 ∠AFP-LAFA FPAP-是而 k(x1-4)×(2x-5)+3k(.x2-4) 2AF·FP 2.x2-5 ∴.cos∠BFP=cOs∠AFP∴.∠BFP=∠AFP =k24-5(十x)+8 .PF平分∠AFB 2x,-5 32k2 6.解：1)由已知得0=3将点P3,2)及6=3代入C,得 2x64-2-5 =k3十4k 3+6+8 2xg-5 +X3=1,则-12，所以c2-2--3, 99 128k-24-160k2+24+32k =k- 3十4k图 所以C的离心率e=￡=尽=1 =0, 2.x-5 a23z1 故为=y%,即AQLy轴. 最新真题分类特训·数学 8.解：1)由题意b=c=2=2,从而a=√公+乙=2， 所以Sa4a4,= 1×4×l%· 所以精国方程为片+苦=1，高心率为一号： Sa4r=专×1Xlm, (2)显然直线AB斛率存在，否 则B,D重合，直线BD斜率不 5a44=号×4x1. 存在与题意不符，同样直线AB 所以S△o4,=S64四十S△4=25△4，m十SA4P 斜率不为0，否则直线AB与椭 12k 圈无交点，矛盾 所以2ya=3引yp1,即21-2k=3 3+40: 从而设AB:y=kx十，(1> ②)，A(1y),B(). 解得表=士号所以直线AP的方程为 联主匠+兰-1，化简济袋现件1十2)r十物十 -2 y=kx+t ,b=1 4=2 2-4=0, 由题意△=162一8(2k+1)(2-2)=8(4k2+2-2) 10.解析：(1)依题意可知：2=2√5，解得b=1,故椭 >0,即k,1应满足4k2十2一>0，所以x1十x (a2=6+e (c=3 -4t 212-4 1+2k6=26+ 圈E的方程为：号+了=1： 若直线BD斜率为O,由耥圆的对称性可设D(一·为)· (2)由题可设直线方程为：y-1=k(x十2)，B(x·y1), 所以AD:y=当二兰(x-)十当，在直线AD方程中令 C(z), x1十xg -1=k(.x十2) x=0, 联立直线和椭圆E方程 得=5当十西出 +y=1 ,可得(1+ x1十x4 4)x2+(16k+8k)x+16k2+16k=0,由△>0可得 =西(k西十1)十x(kx十t) (16k+8k)-4×(1+4k)(16k+16k)>0, x1十 解得k<0, 2+g+2_2+1=号-1， 十 一4k1 根据韦达定理可得：五十=二16十8)， 1+4k2 所以=2， 光时为应满足十2一「=4秋-2>0，即应满足< =16k+16k 1十4k k≠0 威> 直线AB的斜率为=少】，AB的直线方程为： 2 2 综上所速，4=2满足题意，此时k<-或> y=当已x+1,令y=0,可得点M的横坐标x 9.解：(1)如图，由题意得 =1一少 (a+c=3 (a-c=1' 同理可得点N的横坐标xv=一 .则有MN|= 解得a=2,c=1,所以b= 2-1下=3. 1-y1-2 所以辑国的方程为号+苦 12 J: 3 -k(无1+2)-k(十2) l,离心率为e=二= a 2. )由题意得，直线AP斜率存在，由箱圆的方程为日 = 1.+2)-x(x+2 苦-1可释A2.0. 友x1x十2(x1十x,)+4 1,2√(1十x2)-4 =2, 设直线AP的方程为y=k(x一2)， kx1+2(x1十)+4 联立方银短学+管1」 代入韦达定理式子可得 ,消去y整理得 -(16k2+8k) (y=k(x-2) 4×16k+16 1 2/ 1+4k (3+4k)x2-16kx+16k2-12=0. 1+4k 16k2+16k 由韦达定理得队·r=161 1+4k +2 16k一8k+4 =2, 1+4k 3+4k1 所以n=8k2-6 化简可得： 3十4k2” 264(2F+k)-4X16(k+k)(1+4W) 所以P(86-6.12k 1 1+4k 3+4k·3+4k ,Q(0,-2k). 16k+16k+32k-16k+4+16k =2 1+4k2 1+4k 1+4k 详解详析 4 即k /4k十4k+k-4k一4k一k-k=2,可得 b=2 [a=/5 联立2b=45,解得b=2,故椭圆E的标准方程 一 ，两边手方则有子-解得=一4 la'=b+c c=1 故k的值为一4. 为后+号- 11.解：考查椭圆方程和韦达定理，第二问为求孩长的基础 (2)由题，直线（的斜率存在，且直线l的方程为y=kx 问题，属于偏难的题目」 -3, 1)右焦点为F(E,0).c=2,:e=5. 3 设B(x,y),C(x). a=3,又：a2=b+c2,∴b=1 联立y=kx一3 {4r+5y=20,消y整理得(5+40r2-30kx十 腾国C的方程为写+y=1 25=0, (2)必要性证明：，M,N,F三点共线，∴.设直线MN的 △=(-30k)2-4×(5k+4)×25=400(k°-1)>0， 方程为y=k(x一√2). 故k>1或k<一1， -30k 30k 25 :直线MN与曲线x2十y2=b(x>0)相切，.原点到 x十= 5k牛450+A·西5+ 直线MN的距高为L.即d=一D=1. 24 √+1 为十为=十)-6=一·4=(-3》 k2=1. y=k(x-②) ·(m,-3)=kx西-3k(x+x)+9=36-20k 5k2+4 联立方程 直线AB的方程为y+2=当+2 得到（号+）r产-22kx+2k-1=0. 设M(1y),N(xy) 直线AC的方程为y+2=当+ x 62k3 则 1+3k 2 6k2-33 令y=一3，则x=- 2故N(2-3 x1·x2 1+3k 4 PMI+IPNI= 32 + ∴.|MN|=√1+k1x-x1|= 2 ·(2+2)+x2·(y+2) ,问题得证. (y1+2)·(2+2) 充分性证明：已知MN|=5,.设直线MV的方程为 1·(kx2-1)十·(x1-1) y1·y2+2(y+2)+4 y=kx十m. :直线MN与曲线x”十y=b(x>0)相切，∴.km<0, 2k1x-(x1十x y·十2(y+)+4 ∴.原，点到直线MN的距离为1. 2530k 即dml =1,∴m2=k2+1. 2k×5k+45k+4 +1 y=kr+m -十4 联立方程 5k≤15，即k|≤3，解得-3≤k3. 综上，k的取值范围为[-3，一1)U(1.3]. -1=0. 13.解析：(1)易知点F(c,0)、B(0,b), 6km x1十x2= 1+3k 故|BF1=√c+b=a=5, 设Mx1y),V(xy),则 3m2-3 x1· 1+3k 因为销国的商心奉为一日一2 5· 24k+24k :MN=1+R1x-√9+6+ 故c=2,b=√a-c-1. =√3.即 k-2k2+1=0,.k2=1. 因此，精圆的方程为号十y=1: :km<0,直线MN的方程为：y=x一√2y=一x十 (2设点M)为描国号十少=1上一点， √2.将F(v2,0)代入MN方程都成立 ,直线MN恒过点F. 先证明直线MN的方程为写+%y=, 因此，M,V,F三点共线的充要条件是IMN|=√5. 12.解：(1)因为椭圆E过点A(0,-2),故b=2, 联立 ,消去y并整理得x2-2x。x十x 以四个顶点周成的四边形面积为4厅，故号×2a×26 + =2ab=45, 0,4=4x-4x6=0, 99 最新真题分类特训·数学 因此，特国号+少=1在皮 AB的高没有最小值，△ABC的面积没有最小值， 当C位于(1,0)时，AB边上的高最大，此时△ABC的面 M(x。,y)处的切线方程为 积最大 号+=1. 4.C设F,(0,-4)、F,(0,4)、P(-6,4). 在直线MN的方程中，令x 则F,F=2c=8.|PF,1=√6+(4+4)=10,1PF, =0,可得y=1,由题意可 =62+(4-4)=6, 则2u=PF,1-PF1=10-6=4,则e==8=2. 2u4 知%>0即点N(0) 5.C如图：由题可知，点P必落在 直线B的针率为及r=一之=一令，所以，直线PN 第四象限，∠F,PF:=90°，设 c PF:=m. 的方程为y=2x+1 ∠PF,F1=0,∠PFF2=0,由 在直线PN的方中，令y=0,可得一即点 km,=tan0=2,则得sin4 2 P(吵 因为∠F,PF,=90°，所以km·kr,=一1，求得k四1 因为MP∥BF,剩k=ke,即为 2yi x十2列 1 2.y。+1 -号卑ma=之 ,整理可得（红+5）广=0， 1 in,由正孩定理可得：PF,4PF:FF =sin0,:sin0:sin90=2:1:√5. 所以x=-5%,因为号十号=6=1…y>0 6x=-56 故=6 则由PF=m得|PF,|=2m,|F1F:|=2=5m,由 6 Sm,5=1PE1·PR,1=之m·2m=8,得m 所以，直线1的方程为一+号，=1。 22, 即x-y+√6-0. 则|PF|=2w2,|PF|=4√2，|F,F2|=2c=2w10,c 答案：号+y-1:(2x-y+后-0 =10, 由双曲线的定义可得：|PF:|一|PF|=2a=2√2，a= 第3节双曲线 2,b=√c-a=8. 考点1双曲线的定义及标准方程 A由e=S=2,得c=24,b=√3a,将点(25)代入双 所以双南我的方程为号一苦-1 6.AC依题意分两种情况 由线方程，得号一忌一过-1，故。=16原，故双由 如图(1)、图(2). (1)由题意，点N在双曲 线方程为一苦-1 线右支。记切点为点A, 考点2双曲线的几何性质 连接OA,则OA⊥MN, 1OA=a,又OF,=c, 1.D由题知b=7a,则c=/7+1a=2√2a,所以离心率e 则AF,|=-G=b. =C=22,故选D. 过点F,作FB⊥MN交 图(1) 2.B先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求 直线MN于，点B,连接 出高心率，由上-4y=4得号-寸=1.所以。=.8= FN,则F:B∥OA,又点O为F,F,中点，则FB= 1,c2=a2+b=5, 20A1=2a,E,B=2E,=26由cos∠RNF=号， 帝a2=5,所以=兰-号故：B 得sin∠R,NE,-吾an∠RNE,=亭，所以EN 3.A本题考查了双曲线的几 何性质。如图，因为双曲线的 BN=m告 渐近线方程为y=x,k= 故F,N1=FB1十BN=26+受，由双南线定又， 2… F NI-F:NI=2d, ∴AB与渐近线平行，当C点 在无穷远处时无限逼近渐 近线， 0 ∴AB边上的高无限逼近渐近线， .C正确.(2)若切线与双曲线交于一支，如图. 2 90 详解详析 11.解析：因为双曲线C的渐近线方程为y=土 a, 要使直线y=2x与C无公共点，则只需要2≥白即可， 南会2的-g<所以 a 解得1<e≤5. 答案：2（答案不唯一，只要1<e≤5即可） 12,解析：过F且斜率为名的直线1y=品（x十)，渐近线 4a 图(2) 即NF,=QN-QF,-号-26，由双南线的定又可 4y= ar. 知：NE-NE,1=2a,则受-（受-26）=2a,即26 联立 b 得B(气会)由B=3FA,得 =4,而c2=a2十方，将2b=a平方，得：4b=a2,由 y=az fc2=a”+6 {46=d,释：4c=50,即撞双曲线的离心率e= a A晋) -A正确，故选AC 点A在双曲线上，于是25C-6已 81,所 88161得后 7.A由PF,|=3PF21,|PFI-IPF|=2a得|PF2|= 以离心率e=36 4 a,PF|=3a,在△FPF2中，有|F,FI=|PF,I2+ 1PFI-2|PF|·|PF|cos∠FPF,得(2c)=(3a)2+ 答案，3y6 。2X3a×aX os60,即2=6=号，故选A 13.解析：双曲线y+=1的新近线方程为 8A易知浙近线方程为：y=士是一3士4=0， y一士x=土x,故m=一3. √m 所以d=13X3±4X0=9 答案：-3 √3+（士4）厅5· 14.解析：由双曲线方程可知其一条渐近线为x十√my=0, 故选A. 9.解析：由题知：|AF:|=5,1AF,1=13,|F,F,=2c= 所以m=√m,解得m=3,所以C的焦距为2√m十 3 W13-5=12,解得c=6,lAF|-AF|=2a=8,解 =4. 得a=4,所以=台-受 答案：4 15,解析：考查双曲线离心率和渐近线。= 答案：号 =1+ =2,白=3，即浙近线方程为y=±3x. 10,解析：由RA=-号F应，得 答案：y=士√3.x F,A=2 考点3直线与双曲线的位置关系 IF.B 3· 1.解析：双曲线行一y=1的渐近线方程为y=士豆 设1FA=2x,|F,B=3x, 直线y=k(x一3)过定点(3,0)，·.只有当直线y=k(x 3)与渐近线平行时，该直线与双曲线才只有一个公共 由对称性可得引F,B引=3x,由定义可得，AF,1=2x十 2a.=5,设∠RA=.则n0=票-是→m 点一k的取值为士2（任答一个即可得分） 0=号=224，解得x=,所以1A正=，A 答案：（或-） 2.解析：由题意可知，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，由，点 =2a, 在△AFF中，由余弦定理可得cOs0 到直线的距离公式得d=3+2X0-8=5. /+2 16d+4g-址-音即50=80， 答案W5 16a 可得=35 品解折：(#点A代入双南我方程得子一1，化筒 答案35 得。一如+4=0得：。=2，截双尚线方粗为号-y =1: 最新真题分类特训·数学 由题显然直钱1的斜率存在，设l:y=k.x十m, 所以|TA|·|TB引 (1+)(+12) 设P(1y1),Q(y),则联立直线与双曲线得： 16-k (2k°-1)x2+4kmx+2m+2=0, 同理可得1TP1·1TQ1=1+好)(+12 Akm 16-k 故x1十■ 因为|TA|·|TB|=ITP·TQ, 如w要号受 西-2 =0. 所以1+)(+12)_1+)（心+12 16-k好 16-k 化简得：2k.工1x,+(m-1一2k)(x+x:)一4(m-1)=0, 所以16+16k-k经一kk后=16-k+16k一k经， 22+m-1-2(）40-D=0 即好=好，因为k≠k,所以k1=一， 2k2-1 即k1十k:=0. 即(k+1)(m十2k一1)=0，而直线1不过A点，所以k+1= 所以直线AB.PQ的斜率之和为0. 0,故k=一1. (2)设直线AP的倾斜角为a,由tan∠PAQ=2√2， 答案(1).x- 若-1≥D.(e0 得an∠PAQ-2 第4节抛物线 2 2 考点1抛物线的定义及标准方程 由2a十∠PAQ-得u=ma=E,即号-区 1.B易知抛物线C:y=4红的焦点为F(1,0),于是有BF刊一 2,故AF=2,注意到抛物线通径2p=4,通径为抛物线 联头二号-瓜及号-前=1得=10吧 -2 3 .y 最短的焦，点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥ -42-5 x轴.于是有AB1=√2十2=22. 3 2,解析：根据抛物线的儿何性质可求p的值。 代入直线1得m=号故十=罗西=警 图为抛物线的项点到焦距的距离为号，故号=3，故力 而|AP|=51x1-21,AQ1=3x-2. =6. 由tan∠PAQ=2E,得in∠PAQ=2y2 答案：6 3 3.解析：由题意抛物线的标准方程为y=2px,则p=8,所 故Sae=名1 APIIAQ1sin∠PAQ-=E1专-2十 以其焦点坐标为(4,0) 答案：(4,0) )+4|=16② 4.解析：设P点坐标为(x。,),P到准线的距离为9，即 91 4.解析：(1)由题意可知，轨迹C为实轴为2，焦距为2√17 十1=9，x。=8,代入抛物线方程，可得=士42，则P 的双曲线的右支， 到x轴的距离为42. 从而可以直接写出我建方程为2一-盖=1（≥》。 答案：4√2 5.解析：抛物线的定义，xw=6-1=5: (2)由题意过点T的直线的斜率存在，才能保证其与C 故M5,士25.N5.0.Sw=×(6-1)×25= 有两个交点，设T(侵小过点T的直线方程为y 45. (e-）+, 答案：545 -- 6.解析：由题意可得：(W5)°=2p×1,则2p=5,抛物线的方 联立 程为y2=5x, =(-)+ 准线方程为x=一 子，点A到C的准线的距离为1 5 得到16-)产+(-2)r-(受-）-16=0. () 设直线AB的斜率为k,直线PQ的斜率为飞2， 答案：号 (含-+16 所以xA十工 2k,1- 考点2抛物线的几何性质 16-k 16- 所以(-)(-专）=。-号++号 1.C由直线y=-2x+2知F1.0).所以号=1，p=2,所 以抛物线方程为y=4r,准线为x=一1.所以B(一1,4)， (k1-2)+64 2(212)+ 16-好 4(16-k) 4(16-k好) 4(16-k) 所以=4，代入抛物线方程得A(4,4,所以AF=号 1+12 十xw=1+4=5, 16-k 详解详析 2.ACD【恰为抛物线的准线，由 0,得x=5 抛物线定义可知A选项正确.设 ，周光1FQ=号号=2p=6 ∠AFx=0,连接AE易知 所以C的准线方程为x=一 2 =一2 △ADE≌△AFE,∴.∠DAE= ∠FAE=合∠FAD=号，别 1 答案=一号 考点3直线与抛物线的位置关系 AEI=AFI 1.AC直线y=一√3(x-1)与x轴 的交点为(1,0)可知，抛物线的焦 点的坐标为(1,0)，所以p=2,故A 0· (1-cos 0)cos2 正确；由kn=一√3可知直线MN 的倾斜角为120°，所以|MN|= 1B=AF+BF=-os9十1+os0n70'速 项B错误. D一曾比B锋溪：建点M ABI-- )>p-6,选项C正病： 作准线l的垂线，交1于点M',过N-一 点N作准线【的垂线，交1于点 IAEI·IBEI= N',并取MN的中点为P,过点P作准线（的垂线，交( 18≥18 于点P',连接MP、NP',由抛物线的定义知|MF| (1-cos 0)cos (1+cos 0)cos2 0+π sin0 IMMI,NF|=INN,所以|MN|=|MM|+|NVI, 选项D正确，故本题正确选项为ACD. 所以由稀形的中位线可知PP=号(M1十NV)= 3.ABDA显然正确：B正确，A(0,4),当P、A、B共线时 P(4,4),于是PQ=√PA-7=√4-1下=√15：C 专MN,所以PP=MP=PN,所以以MN为直 错，当PB=2时易知P(1,2),B(一1,2)，易知PA与AB 径的圆与【相切，故C正确，由图观察可知，△OMN显 并不垂直：D正确，焦点F(1,0),PB-PF,则PA=PB 然不是等腰三角形，故D错误.故选AC. 等价于P在AF的中垂线上，该线的方程为y=x十 1 2.BCD由题意可知：1=2p,所以抛物线C:x2=y,故C 总，易知它与桃物我有两交点 的准线为y=-子，故A不对：由y=2x得曲线C在点 A(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x一1， 4.B考查抛物线焦点坐标和点到直线的距离，属于基 故直线AB与C相切，B正确：过点B(0,一1)的直线设 础题 为y=kx一1，交C于P,Q两点的坐标分别设为P(1 2-0+1 =2→p=2. ,0浆主直线与C方在可得代 5解析：国（-1)+y=25的圈心为F1,0),故号=1即 一kx十1=0，所以有x十x2=k,x1x2=1,且△=k2-4 >0,即2>4，可得y+y=2-2y1为=1，此时1OP p=2, ·OQ|=√(x+y)(+y)=√（y+)(y+y) 由/x-1)产+y2=25 可得x+2x-24=0,故x=4或 ly=4x √%(y干为十y+1D=√>2 又OA2=2,所以C正确： x=-6(舍)， 故A(4,士4，故直线方程为y=士号（一1D,即4红-3y 1BP1·|BQ|=√+(1+为)F·√+(1+)F= √1+k)x·(1+k)x=k2+1>5,又|BA12=5,故 -4=0或4.x+3y-4=0, D正确；综上，选BCD, 故原点到直线AF的距离为d=4=4 55 3.ACD选项A:设FM中点为N,则xA=xy= +p 答案：号 2 6,解析：由已知可设P(号p小： 是p,所以元=2p=2p·子p=号r(,>0,所以 6 所以k=2,k=一 ya一p,故k一3 =2v6. 直线PQ的方程为： 4p-2 p=-(-)y- 12 1 1 2 选项B:A+TBF=方3 PBF P 203