专题7 数系的扩充与复数的引入-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训

详解详析 3)coC=-是，simC= -co- 10.解析：设x=1十bi(b∈R,且b≠0)， 2 2C-2-2x9x是-3 所以计是=1中i+子标-1中i+2“。加=1中 1+b2 4 8 -,c052C= 2osC-1=2x号-1=， 9 品+路) 因为m∈R,所以b 2b 所以sin(2C-晋）=sin2Ccos吾-cos2Csin吾 1中6=0，解得=士1，所以m=1 2 十1+6 =1+1=2. 16 答案：2 答案：12E,(2):3)T 16 11.解析：1-iz=1-i(1十i)=2-i,1-iz=2-i=5. 考点5正、余弦定理的实际应用 答案：5 1.B由条件得，△OAB为等边三角形，有OC=5,CD= 考点2复数的四则运算 2-5,所以=2+2》=2+7-45-1=4E 2 2 2 1A=片=-i 2A脂-器爵故器器即 EH 2.B先求出复数2，再根据复教模的公式即可求出，由i· +2=21可得，：==二2+21=2十2，所以x= B品TOC解得AE-器AH=AE+EH,故 CG √2+2=2√2，故选：B AB-DEAH DE·E-82器÷品DE EH EH 3.C由题知=1+D(2-1),z=1中=1-i故选择：C 3.解析：如图，不妨设OA=OB=a,BT=b, 4.A因为x=5十i,所以=5-i,故i(2十x)=10i AT=c,则AB=√2a 所以在△ABT中，(2a)=b+2-2b 5.C 子=-1-i,剥x=i-1-iD=一=1-i c0s53.5°① 在△0BT中，sm16.5= 6A国为所以= 所以之一=一i,故选A b sin∠BOT ② 7.C 51+i)=51-卫=1-i,故选C (2+i0(2-i) 5 在△0AT中，sn37=sm(90-ZB0而 a 2+i 8.B 由题意可得之= 2+i i(2十i) 十+京=1中 2 联立①②③得∠BOT≈7.8. 答案：7.8° 21=1-2,则=1+21，故选B -1 专题七数系的扩充与复数的引入 9.C由之 考点1复数的概念 炊-1 =号+选c 4-1 3 1.C由(1十5i)i=一5十i,即知虚部为1，选C. 10.D对原式两边同时乘以i得：之一1=i,即=1十i,所 2.Cx=√+1下=√2. 以x=1一i,即x十g=2,故选D. 3.D因为之=√2i,所以x·=2,故选D. 11.D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4=2-2i+4=6 4.C(a+i)(1-ai)=a-ai+i+a=2a+(1-a)i=2, 2i,故选D 所以2a=2,。解得a=1故选C 12.C设之=a十bi,则=a-bi,代入得4a十6i=4十6i得 11-a2=0,1 a=1,b=1,∴z=1+i. 5.C由题意可得2+2+21=2-1-2i=1-2i, 13.C在等式i这=4十3i两边同时乘i得，一x=4i一3，所 则2++21=11-2i=√+(-2)=√5.故选C. 以x=3一4i.故选C 6.A由题设，2=1-2i,2=1+2i,代入有a十b十1十(2a 14.B由1-i):=3+2i,得=3+头=32=-1十 2)i=0,故a=1,b=-2,选择A. (1-i) -2i 7.A因为a,b∈R,(a+b)十2ai=2i,所以a+b=0,2a= 要，数造R 2,解得：a=1,b=-1.故选A. 8.B由题意，得a十3i=i-1,复数相等定义， 15.C(g+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i 一2i一2i=6十2i,故答案选C 知a=一1，b=3,故选B. 2·(1+i) 9解析：本题考查了复数的模、以及复数的运算 16D=子=2=1+i故选D 3+i==/而 17.C(1十ai)i=i-a-3+i→a=-3. i 1 18.解析：(5+i)·(W5-2i)=5十√5i-25i-2=7-√i. 答案：√0 答案：7-5i 最新真题分类特训·数学 19,解析：由题意可得51=5十14(2-3=52+13 3.A a。 2+3i (2+3i)(2-3i) 13 =4十i. 答案：4十i (店*)- 20解析先产-名g号-20= (2+i)(2-i) 5 答案：4一1 考点3复数的几何意义 2 1.A由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3=6+8i,所以 √a, 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.故 a≥，4 选A. (n+1)F 2.A考查复数的四则运算和复平面内点的对应关系，属 ≤a。=n十1 于满单题=2迎=”=名+对 n十3, 十1 1-(3i) 6 应点为（合）位于第一象限。 <a,≤mm+P51++6 a。 3.解析：本题考查了复数的运算，复数的模的最值 设x=a+bi(a,b∈R) =(月 >a十a=2 .(a+bi)2=(a-bi)2, 综上号<Sm<3. 解得a=0或b=0, 故选择：A ,x≤1. 考点2S,与am的关系 .应当a=0,b≤1或b=0,a≤1 D由b.+1=S+:-S2得b2=S1-S:=a1+a,b=S :x一2-3i表示复平面上之的对应点与(2,3)的距离， -S=a,十ag,b=S-S。=a:十a1,b,=a1e十as 可知当之位于(0,1)时，之-2-3i取得最小值为2√2. 远项A,由等差数列性质知，成立。 答案：2√瓦 选项B,2h,=2(a十a:),b2十b.=a1十a1十ae十an= 专题八数列 2(a十a,),成立. 第1节数列的概念及其表示 选项C,aa=(a,-2d)(a1十4d)=ai+2ad-8d,假 考点1数列的递推式和通项公式 设成立，则2a1d=8d',a1=4d,a1=d,这与a1≤d相符， D《取特珠痘)取a,=1,于是有6=26=号4=号 5 假设正确. 选项D,bb,=(a1+a:)(a1m十a1i)=(2a1+5d)(2a1+ 么，=号…，分子分母分到构成变泼那契载列，于是有 29d0=4ai+10a1d+58a1d+145d=4a+68a1d +145d 4=号4=器6=器6-票 21 34 55 b=(a,十as)P=(2a1+13d)2=4ai+52a1d+169d 于是得6>44=1十号=1+器1十器-64=1叶 假设成立得52a1d+169d=68a1d+145d,即16a1d =24d 是>1+之=64==1+员>1+是=6对比选 导-受与巴知号<1矛盾，D不成立，故接D 项，选D. 第2节等差数列和等比数列 2.Ba1-a,=-a<0,则列1a.}单调递减.0<a 考点1等差数列及其性质 1.B因为S1=3ag=6,所以a:=2,国为S=5a1=-5, 所以a=一1，所以{an}的公差d=a一a:=-3,所以a 。>号1，得己>34，得10am<3又根据 加得1-1> =5,所以S。=6a1十15d=6×5-15×3=-15. 2.C因为a.}为等差数列，设其首项为a,公差为d,则 >得>"，所以=2< a+1a a 3-a 2 故侣}为等装数到，则甲是乙的克分条件： 得亡<+1+（位++十+） a10 反之， 号（侵×6+g×93）=40.100aw>号 nS1-(m十1)S_m@,一S为常数，设为， n(n+1) n(n+1) 68最新真题分类特训·数学 专题七数系的扩充与复数的引入 知识技能解读 复数是每年的必考项和高考的得分项，复数以考查复数的四则运算为主，偶尔与其他知识交 汇，考查代数运算的同时，主要涉及考查的概念有：复数的代数形式、复数的模、复数的几何意义.高 考对复数的考查，难度有增加的趋势，常出现在多选题中，应加强复数解题技能的掌握， [考点1]复数的概念 8.(2022·浙江卷，2)已知a,b∈R,a+3i=(b 1.(2025·全国一卷，1)(1十5i)i的虚部为 十i)i(i为虚数单位)，则 () A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 A.-1 B.0 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 C.1 D.6 9.(2025·天津卷，10)已知i是虚数单位，则 2.(2024·新课标Ⅱ卷，1)已知x=一1-i,则 3+i |z|= ) A.0 B.1 10.(2024·上海卷，9)已知虚数z,其实部为1，且 C.2 D.2 十2=m(m∈R),则实数m为 3.(2024·全国甲卷（文），2)设x=√2i,则x· 11.(2023·上海卷，6)已知复数z=1+i(i为 x= ( 虚数单位)，则|1一iz= A.-2 B.√2 [考点2]复数的四则运算 C.-√2 D.2 4.(2023·全国甲卷（理），2)若复数(a十i)(1 1.(2025·全国二卷，2)已知=1十i,则号 -ai)=2,a∈R,则a= ( A.-1 B.-2 A.-i B.i C.-1 D.1 C.1 D.2 2.(2025·北京卷，2)已知复数z满足i·x十2 5.(2023·全国乙卷（文），1)2+2+23|= =2i,则|x|= ( ( A.1 B.2 A.√2 B.22 C.4 D.8 C.5 D.5 3.(2024·新课标1卷，2)若：产-1+i,则： 6.(2022·全国乙卷（理），2)已知x=1一2i,且 x十a·之+b=0,其中a,b为实数，则( A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 A.-1-i B.-1+i C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 C.1-i D.1+i 7.(2022·全国乙卷（文），2)设(1+2i)a+b= 4.(2024·全国甲卷（理），1)若x=5十i,则i(z 2i,其中a,b为实数，则 ( 十x)= ( A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 A.10i B.2i C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 C.10 D.2 第二部分专题七数系的扩充与复数的引入 5.（2024·北京卷，2)若复数：满足兰=-1 14.(2021·全国甲卷（理），3)已知(1-i)2x= 3十2i,则之= i,则x= ( A.-1-i B.-1+i B-1+ C.1-i D.1+i 6.(2023·新课标1卷，2)已知= +牙则： C.i D.g- 15.(2021·新高考I卷，2)已知x=2一i,则 一x= ( (+i)= ) A.-i B.i A.6-2i B.4-2i C.0 D.1 C.6+2i D.4+2i 7.(2023·全国甲卷（文），2)2+i)(2-5 5(1+i3) 16.(2021·北京卷，2)在复平面内，复数x满 ( ) 足(1一i)2=2,则= ( A.-1 B.1 A.2+i B.-2-i C.1-i D.1+i C.1-i D.1+i 8.(2023·全国乙卷（理），1)设x= 2+i 17.(2021·浙江卷，2)已知a∈R,(1+ai)i= 1++下， 3+i(i为虚数单位)，则a= 则：= ( ) B.1+2i A.-1 B.1 A.1-2i C.2-i D.2+i C.-3 D.3 9.(2022·全国甲卷（理），1)若2=一1十3i, 18.（2024·天津卷，10)已知i是虚数单位，复 则之 数（√5+i)·(5-2i)= ( x2-1 19.(2023·天津卷，10)已知i是虚数单位，化 A.-1+√3i B.-1-3i 简”的结果为 c+ n-片9 20.(2021·天津卷，10)i是虚数单位，复数 10.(2022·新高考I卷，2)若i(1一x)=1,则 9+2i 2+i x十x= ( A.-2 B.-1 [考点3] 复数的几何意义 C.1 D.2 1.(2023·新课标Ⅱ卷，1)在复平面内，(1+ 11.(2022·新高考Ⅱ卷，2)(2+2i)(1-2i)= 3i)(3一i)对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 A.-2+41 B.-2-4i C.第三象限 D.第四象限 C.6+2i D.6-2i 12.(2021·全国乙卷（理），1)设2(x十)+ 2.(2021·新高考Ⅱ卷，1)复数在复平面 3(xx)=4十6i,则之= ( 内对应的点所在的象限为 A.1-2i B.1+2i A.第一象限 B.第二象限 C.1+i D.1-i C.第三象限 D.第四象限 13.(2021·全国乙卷（文），2)设iz=4十3i,则 3.(2025·上海卷，10)已知复数之满足z2= () A.-3-4i B.-3+4i (⊙)，1z≤1，则1x-2-3i的最小值 C.3-4i D.3+4i 是