专题2 不等式&专题3 函数-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训

　　　　　　　　　专题二　不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　不等式是高中数学的一个重要内容,而基本不等式是不等式中的核心,是解决最值问题 的一个重要工具,也是高考常考的一个知识点． 基本不等式在新高考中常以多选题形式考查,题目难度为中等,在备考中应以中等难度 题型为主,训练思维的灵活性,同时注意三个正数的算数－几何平均不等式这一题型,在备考 中要注意与函数知识相结合． [考点１]　不等式的性质与解法 １．(２０２５􀅰全国二卷,４)不等式x－４x－１≥２ 的解 集是 (　　) A．{x|－２≤x≤１}　　　B．{x|x≤－２} C．{x|－２≤x＜１} D．{x|x＞１} ２．(２０２２􀅰浙江卷,９)已知a,b∈R,若对任意x∈ R,a|x－b|＋|x－４|－|２x－５|≥０,则 (　　) A．a≤１,b≥３ B．a≤１,b≤３ C．a≥１,b≥３ D．a≥１,b≤３ ３．(２０２５􀅰天津卷,１５)若a,b∈R,∀x∈[－２, ２],均有(２a＋b)x２＋bx－a－１≤０恒成立, 则２a＋b的最小值为　　　　． ４．(２０２５􀅰上海卷,２)不等式x－１x－３＜０ 的解集 为　　　． ５．(２０２４􀅰上海卷,３)不等式x２－２x－３＜０的 解集为　　　　． ６．(２０２３􀅰上海卷,１)不等式|x－２|＜１的解 集为　　　　． [考点２]　基本不等式 １．(２０２５􀅰北京卷,６)已知a＞０,b＞０,则 (　　) A．a２＋b２＞２ab B．１a＋ １ b≥ １ ab C．a＋b＞ ab D．１a＋ １ b≤ ２ ab ２．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,１２)(多选)若x,y满足 x２＋y２－xy＝１,则 (　　) A．x＋y≤１ B．x＋y≥－２ C．x２＋y２≤２ D．x２＋y２≥１ ３．(２０２１􀅰全国乙卷(文),８)下列函数中最小 值为４的是 (　　) A．y＝x２＋２x＋４ B．y＝|sinx|＋ ４|sinx| C．y＝２x＋２２－x D．y＝lnx＋ ４lnx ４．(２０２５􀅰上海卷,８)设a,b＞０,a＋１b＝１ ,则 b＋１a 的最小值为　　　． ５．(２０２１􀅰天津卷,１３)若a＞０,b＞０,则１a＋ a b２ ＋b的最小值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４１ 最新真题分类特训􀅰数学 　 　　　　　　　　专题三　函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学有重要意义,每年高考卷都将其作 为必考题,题目分布在选择题和填空题．本专题常以基本函数、基本函数组成的复合函数以及 抽象函数为载体,对函数内容和性质进行考查,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法及 性质(单调性、对称性、周期性)、图象等,常与导数、不等式、方程等知识交汇命题,考查数形结 合、分类讨论、转化与化归及函数与方程等思想方法． 第１节　函数的概念及其表示 [考点１]　函数的定义域 (２０２２􀅰北京卷,１１)函数f(x)＝１x＋ １－x 的定义域是　　　　． [考点２]　分段函数 １．(２０２４􀅰 上 海 卷,２)已 知 函 数 f(x)＝ x,x＞０ １,x≤０ ì î í ïï ï ,则f(３)＝　　　　． ２．(２０２２􀅰 北 京 卷,１４)设 函 数 f(x)＝ －ax＋１,x＜a, (x－２)２,x≥a．{ 若f(x)存在最小值,则a的 一个取值为　　　;a的最大值为　　　． ３．(２０２１􀅰浙江卷,１２)已知a∈R,函数f(x) ＝ x２－４,　　　x＞２, |x－３|＋a,　x≤２．{ 若f(f(６))＝３, 则a＝　　　　． [考点３]　函数的值域与最值 (２０２３􀅰 上 海 卷,５)已 知 函 数 f(x)＝ １,x≤０ ２x,x＞０{ ,则f(x)的值域为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２节　指、对、幂函数 [考点１]　指、对、幂的计算 １．(２０２２􀅰北京卷,４)已知函数f(x)＝ １１＋２x , 则对任意实数x,有 (　　) A．f(－x)＋f(x)＝０ B．f(－x)－f(x)＝０ C．f(－x)＋f(x)＝１ D．f(－x)－f(x)＝１３ ２．(２０２２􀅰浙江卷,７)已知２a＝５,log８３＝b,则 ４a－３b＝ (　　) A．２５ B．５ C．２５９ D． ５ ３ ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理),１５)已知a＞１且 １ log８a － １loga４ ＝－５２ ,则a＝　　　　． [考点２]　比较大小 １．(２０２５􀅰全国一卷,８)已知２＋log２x＝３＋ log３y＝５＋log５z,则x,y,z的大小关系不可 能是 (　　) A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x ２．(２０２４􀅰天津卷,５)若a＝４．２－０．３,b＝４．２０．３,c＝ log４．２０．２,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ 第二部分　专题三　函数 ３．(２０２４􀅰北京卷,９)已知 (x１,y１),(x２,y２) 是函数y＝２x 图象上不同的两点,则下列正 确的是 (　　) A．log２ y１＋y２ ２ ＜ x１＋x２ ２ B．log２ y１＋y２ ２ ＞ x１＋x２ ２ C．log２ y１＋y２ ２ ＜x１＋x２ D．log２ y１＋y２ ２ ＞x１＋x２ ４．(２０２３􀅰全国甲卷(文),１１)已知函数f(x) ＝e－(x－１) ２ ．记a＝f ２２ æ è ç ö ø ÷,b＝f ３２ æ è ç ö ø ÷,c＝ f ６２ æ è ç ö ø ÷,则 (　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b ５．(２０２３􀅰 天津卷,３)若 a＝１．０１０．５,b＝ １．０１０．６,c＝０．６０．５,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c ６．(２０２２􀅰全国甲卷(理),１２)已知a＝３１３２ ,b＝ cos１４ ,c＝４sin１４ ,则 (　　) A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b ７．(２０２２􀅰全国甲卷(文),１２)已知９m＝１０,a ＝１０m－１１,b＝８m－９,则 (　　) A．a＞０＞b B．a＞b＞０ C．b＞a＞０ D．b＞０＞a ８．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,７)设a＝０．１e０．１,b＝ １ ９ ,c＝－ln０．９,则 (　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b ９．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,７)已知a＝log５２,b＝ log８３,c＝ １ ２ ,则下列判断正确的是 (　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c １０．(２０２１􀅰天津卷,５)设a＝log２０．３,b＝ log１２０．４,c＝０．４ ０．３,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第３节　函数的基本性质 [考点１]　函数的单调性 １．(２０２５􀅰上海卷,１４)设a＞０,s∈R,下列各 项中,能推出as＞a的一项是 (　　) A．a＞１,且s＞０　　B．a＞１,且s＜０ C．０＜a＜１,且s＞０ D．０＜a＜１,且s＜０ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,６)已知函数f(x)＝ －x２－２ax－a,x＜０ ex＋ln(x＋１),x≥０{ 在R上单调递增,则a 的取值范围是 (　　) A．(－∞,０] B．[－１,０] C．[－１,１] D．[０,＋∞) ３．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,４)设函数f(x)＝ ２x(x－a)在区间(０,１)单调递减,则a的取值 范围是 (　　) A．(－∞,－２] B．[－２,０) C．(０,２] D．[２,＋∞) ４．(２０２１􀅰全国甲卷(文),４)下列函数中是增 函数的为 (　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝ ２３ æ è ç ö ø ÷ x C．f(x)＝x２ D．f(x)＝ ３x ５．(２０２５􀅰北京卷,１５)已知函数f(x)的定义 域为R,则下列说法正确的有　　　　． ①存在在 R上单调递增的函数f(x)使得 f(x)＋f(２x)＝－x恒成立; ②存在在 R上单调递减的函数f(x)使得 f(x)＋f(２x)＝－x恒成立; ③使得f(x)＋f(－x)＝cosx恒成立的函 数f(x)存在且有无穷多个; ④使得f(x)－f(－x)＝cosx恒成立的函 数f(x)存在且有无穷多个． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ 最新真题分类特训􀅰数学 [考点２]　函数的奇偶性 １．(２０２５􀅰全国二卷,１０)(多选)已知f(x)是 定义在R上的奇函数,且当x＞０时,f(x) ＝(x２－３)ex＋２,则 (　　) A．f(０)＝０ B．当x＜０时,f(x)＝－(x２－３)e－x－２ C．f(x)≥２当且仅当x≥ ３ D．x＝－１是f(x)的极大值点 ２．(２０２４􀅰天津卷,４)下列函数是偶函数的是 (　　) A．f(x)＝e x－x２ x２＋１ B．f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ C．f(x)＝e x－x x＋１ D．f (x)＝sinx＋４x e|x| ３．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,４)若f(x)＝ (x＋a)ln２x－１２x＋１ 为偶函数,则a＝ (　　) A．－１ B．０ C．１２ D．１ ４．(２０２３􀅰全国乙卷(理),４)已知f(x)＝ xex eax－１ 是偶函数,则a＝ (　　) A．－２ B．－１ C．１ D．２ ５．(２０２１􀅰全国乙卷(理),４)设函数f(x)＝ １－x １＋x ,则下列函数中为奇函数的是 (　　) A．f(x－１)－１ B．f(x－１)＋１ C．f(x＋１)－１ D．f(x＋１)＋１ ６．(２０２４􀅰上海卷,４)已知f(x)＝x３＋a,且 f(x)是奇函数,则a＝　　　　． ７．(２０２３􀅰全国甲卷(理),１３)若f(x)＝(x－１)２ ＋ax＋sinx＋π２ æ è ç ö ø ÷为偶函数,则a＝　　　　． ８．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,１３)已知函数f(x)＝x３(a 􀅰２x－２－x)是偶函数,则a＝　　　　． [考点３]　函数的对称性 (２０２３􀅰天津卷,５)已知函数f(x)图象的一 条对称轴为直线x＝２,f(x)的一个周期为 ４,则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝sin π２x æ è ç ö ø ÷ B．f(x)＝cos π２x æ è ç ö ø ÷ C．f(x)＝sin π４x æ è ç ö ø ÷ D．f(x)＝cos π４x æ è ç ö ø ÷ [考点４]　函数性质的综合应用 １．(２０２５􀅰全国一卷,５)已知f(x)是定义在R 上且周期为２的偶函数,当２≤x≤３时, f(x)＝５－２x,则f －３４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１２ B．－ １ ４ C．１４ D． １ ２ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,８)已知函数f(x)的定 义域为R,f(x)＞f(x－１)＋f(x－２),且当 x＜３时,f(x)＝x,则下列结论中一定正确 的是 (　　) A．f(１０)＞１００ B．f(２０)＞１０００ C．f(１０)＜１０００ D．f(２０)＜１００００ ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,８)设函数f(x)＝(x＋ a)ln(x＋b)．若f(x)≥０．则a２＋b２ 的最小 值为 (　　) A．１８ B． １ ４ C．１２ D．１ ４．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１１)(多选)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(xy)＝y２f(x)＋ x２f(y),则 (　　) A．f(０)＝０ B．f(１)＝０ C．f(x)是偶函数 D．x＝０为f(x)的极小值点 ５．(２０２２􀅰全国乙卷(理),１２)已知函数f(x), g(x)的定义域均为R,且f(x)＋g(２－x)＝ ５,g(x)－f(x－４)＝７．若y＝g(x)的图象 关于直线x＝２对称,g(２)＝４,则􀰑 ２２ k＝１ f(k)＝ (　　) A．－２１ B．－２２ C．－２３ D．－２４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ 第二部分　专题三　函数 ６．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,１２)(多选)已知函数 f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,记 g(x)＝f′(x)．若f ３２－２x æ è ç ö ø ÷,g(２＋x)均为 偶函数,则 (　　) A．f(０)＝０ B．g －１２ æ è ç ö ø ÷＝０ C．f(－１)＝f(４) D．g(－１)＝g(２) ７．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,８)已知函数f(x)的定义域 为R,且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y),f(１) ＝１,则􀰑 ２２ k＝１ f(k)＝ (　　) A．－３ B．－２ C．０ D．１ ８．(２０２１􀅰全国甲卷(理),１２)设函数f(x)的 定义域为R,f(x＋１)为奇函数,f(x＋２)为 偶函数,当x∈[１,２]时,f(x)＝ax２＋b,若 f(０)＋f(３)＝６,则f ９２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－９４ B．－ ３ ２ C．７４ D． ５ ２ ９．(２０２１􀅰全国甲卷(文),１２)设f(x)是定义 域为R的奇函数,且f(１＋x)＝f(－x)．若 f －１３ æ è ç ö ø ÷＝１３ ,则f ５３ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－５３ B．－ １ ３ C．１３ D． ５ ３ １０．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,８)已知函数f(x)的 定义域为R,f(x＋２)为偶函数,f(２x＋１) 为奇函数,则 (　　) A．f －１２ æ è ç ö ø ÷＝０ B．f(－１)＝０ C．f(２)＝０ D．f(４)＝０ １１．(２０２２􀅰全国乙卷(文),１６)若 f(x)＝ lna＋ １１－x ＋b 是奇函数,则a＝　　　, b＝　　　　． １２．(２０２４􀅰上海卷,１８)已 知 函 数 f(x)＝ logax(a＞０,a≠１)． (１)若函数f(x)的图象过点(４,２),求不等 式f(２x－２)＜f(x)的解集; (２)若存在x使得f(x＋１),f(ax),f(x＋ ２)依次成等差数列,求实数a的取值范围． １３．(２０２３􀅰上海卷,１８)(本题满分１４分)本题 共有２个小题,第１小题满分６分,第２小 题满分８分． 函数f(x)＝x ２＋(３a＋１)x＋c x＋a (a,c∈R) (１)当a＝０时,求f(x)的定义域,并判断 是否 存 在c 使 得f(x)是 奇 函 数,说 明 理由． (２)若函数y＝f(x)的图象过点(１,３),且 函数f(x)与x负半轴有两个不同的交点, 求c的值和a 的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ 最新真题分类特训􀅰数学 第４节　函数的图象 １．(２０２５􀅰北京卷,４)为得到函数y＝９x 的图 象,只需把函数y＝３x 的图象上的所有点 (　　) A．横坐标变成原来的１２ 倍,纵坐标不变 B．横坐标变成原来的２倍,纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的１３ 倍,横坐标不变 D．纵坐标变成原来的３倍,横坐标不变 ２．(２０２５􀅰天津卷,３)已知函数y＝f(x)的图 象如图,则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝ x１－|x|　　　B．f (x)＝ x|x|－１ C．f(x)＝ |x|１－x２ D．f(x)＝ |x|x２－１ ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理),７)函数y＝－x２＋ (ex－e－x)sinx在区间[－２．８,２．８]的图象 大致为 (　　) ４．(２０２４􀅰北京卷,１０)已知 M＝{(x,y)|y＝x ＋t(x２－x),１≤x≤２,０≤t≤１}是平面直角 坐标系中的点集．设d 是M 中两点间的距 离的最大值,S是M 表示的图形的面积,则 (　　) A．d＝３,S＜１ B．d＝３,S＞１ C．d＝ １０,S＜１ D．d＝ １０,S＞１ ５．(２０２３􀅰天津卷,４)函数 f(x)的图象如图所示, 则f(x)的解析式可能 为 (　　) A．f(x)＝５ (ex－e－x) x２＋２ B．f(x)＝５sinxx２＋１ C．f(x)＝５ (ex＋e－x) x２＋２ D．f(x)＝５cosxx２＋１ ６．(２０２２􀅰全国乙卷,８)如 图是下列四个函数中的 某个函数在区间[－３,３] 的大致图象,则该函数是 (　　) A．y＝－x ３＋３x x２＋１ B．y＝x ３－x x２＋１ C．y＝２xcosxx２＋１ D．y＝２sinxx２＋１ ７．(２０２２􀅰全国甲卷(文),７)函数f(x)＝(３x－ ３－x)cosx在区间 －π２ ,π ２ é ë êê ù û úú的图象大致为 (　　) ８．(２０２１􀅰天津卷,３)函数y＝ln|x|x２＋２ 的图象大 致为 (　　) ９．(２０２１􀅰浙江卷,７)已知函 数f(x)＝x２＋１４ ,g(x)＝ sinx,则图象为右图的函 数可能是 (　　) A．y＝f(x)＋g(x)－１４ B．y＝f(x)－g(x)－１４ C．y＝f(x)g(x) D．y＝g (x) f(x) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１ 第二部分　专题三　函数 第５节　函数与方程 １．(２０２５􀅰天津卷,７)函数f(x)＝０．３x－ x的 零点所在区间是 (　　) A．(０,０．３)　　　B．(０．３,０．５) C．(０．５,１) D．(１,２) ２．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,６)设函数f(x)＝a(x ＋１)２－１,g(x)＝cosx＋２ax．当x∈(－１, １)时,曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交 点,则a＝ (　　) A．－１ B．１２ C．１ D．２ ３．(２０２１􀅰天津卷,９)设a∈ R,函数f(x)＝ cos(２πx－２πa),　　　x＜a x２－２(a＋１)x＋a２＋５,x≥a{ ,若f(x)在区 间(０,＋∞)内恰有６个零点,则a的取值范 围是 (　　) A．２,９４ æ è ç ù û úú∪ ５ ２ ,１１ ４ æ è ç ù û úú B． ７ ４ ,２ æ è ç ö ø ÷∪ ５２ ,１１ ４ æ è ç ö ø ÷ C．２,９４ æ è ç ù û úú∪ １１ ４ ,３é ë êê ö ø ÷ D．７４ ,２ æ è ç ö ø ÷∪ １１４ ,３é ë êê ö ø ÷ ４．(２０２３􀅰天津卷,１５)若函数f(x)＝ax２－２x －|x２－ax＋１|有且仅有两个零点,则a的 取值范围为　　　　． ５．(２０２１􀅰北京卷,１５)已知函数f(x)＝|lgx| －kx－２,给出下列四个结论: ①若k＝０,则f(x)有两个零点; ②∃k＜０,使得f(x)有一个零点; ③∃k＜０,使得f(x)有三个零点; ④∃k＞０,使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第６节　函数模型 １．(２０２２􀅰北京卷,７)在北京冬奥会上,国家速 滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨 临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了 贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处 的状态与T 和lgp的关系,其中T 表示温 度,单位是 K;p表示压强,单位是bar．下列 结论中正确的是 (　　) A．当T＝２２０,p＝１０２６时,二氧化碳处于 液态 B．当 T＝２７０,p＝１２８ 时,二氧化碳处于 气态 C．当T＝３００,p＝９９８７时,二氧化碳处于超 临界状态 D．当T＝３６０,p＝７２９时,二氧化碳处于超 临界状态 ２．(２０２１􀅰全国甲卷(理),４)青少年视力是社 会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表 测量,通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法 的数据V 满足L＝５＋lgV．已知某同学视力的 五分记录法的数据为４．９,则其视力的小数记 录法的数据约为(１０１０≈１．２５９) (　　) A．１．５ B．１．２ C．０．８ D．０．６ ３．(２０２３􀅰上海卷,１１)公园欲修建一段斜坡, 假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的 夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度 为４米,游客每走一米消耗的体能为(１．０２５ －cosθ),要使游客从斜坡底走到斜坡顶端 所消耗的总体能最少,则θ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２ 最新真题分类特训􀅰数学 ７．C　①充分性证明: 若{an}为递增数列,则对∀n∈N∗ ,an＋１＞an,公差d＝ an＋１－an＞０,取正整数 N０,aN０＝a１＋(N０－１)d≥０成立 则当n＞N０ 时,存在an＞０． ②必要性证明: 若存在正整数 N０,当n＞N０ 时,an＞０, ∵an＝a１＋(n－１)d, ∴d＞d－a１n ,对∀n＞N０,n∈N都成立, ∵lim n→＋∞ d－a１ n ＝０ ,且d≠０, ∴d＞０, ∴对∀n∈N,都有an＋１－an＝d＞０,an＋１＞an,即:{an}为 递增数列． 所以“{an}为 递 增 数 列”是“存 在 正 整 数 N０,当n＞N０ 时,an＞０”的充要条件． ∴选 C． ８．A　若sinx＝１,则x＝π２＋２kπ ,k∈Zcosx＝０; 若cosx＝０,则x＝π２＋kπ ,k∈Z,sinx＝１或sinx＝－１．若 sinx＝１可推出cosx＝０,充分性成立;反之不成立,必要性 不成立,故为充分不必要条件,故选 A． ９．B　a１＝－１,q＝２时,{Sn}是递减数列,所以甲不是乙的 充分条件;{Sn}是递增数列,可以推出an＋１＝Sn＋１－Sn＞ ０,可以推出q＞０,甲是乙的必要条件．故选B． １０．A　若函数f(x)在[０,１]上单调递增,则f(x)在[０,１] 上的最大值为f(１),充分性成立,反之,则f(x)在[０, １]上的最大值为f(１),但f(x)在[０,１]上不一定是增 函数,如函数f(x)＝ x－１４( ) ２ 在[０,１]上的最大值为 f(１),它在[０,１]上不单调,故必要性不成立． １１．A　由题意,若a＞６,则a２＞３６,故充分性成立; 若a２＞３６,则a＞６或a＜－６,推不出a＞６,故必要性不 成立, 所以“a＞６”是“a２＞３６”的充分不必要条件． 故选:A． １２．B　若c⊥a且c⊥b,则a􀅰c＝b􀅰c＝０,但a不一定等于 b,故充分性不成立;若a＝b,则a􀅰c＝b􀅰c,必要性成 立,故为必要不充分条件．故选择:B． 专题二　不等式 考点１　不等式的性质与解法 １．C 　 由 x－４x－１ ≥ ２ ⇔ －x－２ x－１ ≥ ０ ⇔ x＋２ x－１ ≤ ０ ⇔ (x－１)(x＋２)≤０ x－１≠０{ ⇔－２≤x＜１． ２．D　 不 等 式 a|x－b|≥|２x－５|－|x－４|＝ －x＋１,x＜５２ ３x－９,５２≤x＜４ x－１,x≥４ ì î í ï ï ï ï ,即f(x)的图象恒在g(x)的上方(可 重合),如下图所示: 由图可知:a≥３,１≤b≤３,或１≤a＜３,１≤b≤４－３a ≤３ , 故选 D． ３．解析:取x＝－１２ ,得１ ４ (２a＋b)－１２ (２a＋b)－１≤０,即 ２a＋b≥－４． 另一方面,取２a＋b＝－４,－ b２(２a＋b)＝－ １ ２ ,此时b＝ －４,a＝０, (２a＋b)x２＋bx－a－１≤０即－４x２－４x－１≤０,亦即(２x ＋１)２≥０,显然恒成立,符合题意．故２a＋b的最小值为 －４． 答案:－４ ４．解析:本题考查了分式不等式的解法． ∵x－１x－３＜０ ∴(x－３)(x－１)＜０ ∴１＜x＜３ ∴原不等式的解集为{x|１＜x＜３},即(１,３)． 答案:(１,３) ５．解析:将不等式分解因式得(x－３)(x＋１)＜０,解得－１ ＜x＜３． 答案:(－１,３) ６．解析:|x－２|＜１⇒－１＜x－２＜１⇒１＜x＜３． 答案:(１,３) 考点２　基本不等式 １．C　由基本不等式结合特例即可判断． 对于 A,当a＝b时,a２＋b２＝２ab,故 A 错误;对于 B、D, 取a＝１２ ,b＝１４ ,此时 １ a ＋ １ b ＝２＋４＝６＜ １ １ ２× １ ４ ＝８ ＝１ab ,１ a＋ １ b ＝２＋４＝６＞ ２ １ ２× １ ４ ＝４ ２＝ ２ ab ,故 B、D错误;对于C,由基本不等式可得a＋b≥２ ab＞ ab, 故C正确．故选:C． ２．BC　由x２＋y２－xy＝１得 x－y２( ) ２ ＋ ３ ２y æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１ 令 x－y２＝cosθ ３ ２y＝sinθ ì î í ïï ï ⇒ x＝ ３３sinθ＋cosθ y＝２ ３３sinθ ì î í ï ï ïï 故x＋y＝ ３sinθ＋cosθ＝２sinθ＋π６( ) ∈[－２,２],故 A错, B对; x２＋y２＝ ３３sinθ＋cosθ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２ ３ ３sinθ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３３sin２θ－ １ ３cos２θ＋ ４ ３ ＝ ２ ３ sin (２θ－φ)＋ ４ ３ ∈ ２ ３ ,２[ ] , 其中tanφ＝ ３ ３ æ è ç ö ø ÷,故C对,D错． ３．C　由题意可知 A的最小值为３,B的等号成立条件不成 立,D无最小值． ４．解析:∵a＞０,b＞０,a＋１b＝１ ,∴０＜a＜１,b＞１,∴a＝１ －１b＝ b－１ b ＞０ , ∴b＋１a＝b＋ b b－１＝b－１＋ １ b－１＋２≥ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３１ 详解详析 ２ (b－１) １b－１( ) ＋２＝４． 当且仅当 １ b－１＝b－１ ,即b＝２,a＝１２ 时,等号成立． 答案:４ ５．解析:∵a＞０,b＞０, ∴１a＋ a b２ ＋b≥２ １a 􀅰a b２ ＋b＝２b＋b≥２ ２ b 􀅰b ＝２ ２, 当且仅当１ a＝ a b２ 且２ b＝b ,即a＝b＝ ２时等号成立, 所以１ a＋ a b２ ＋b的最小值为２ ２． 答案:２ ２ 专题三　函数 第１节　函数的概念及其表示 考点１　函数的定义域 解析:依题意 x≠０ , １－x≥０,{ 解得x∈(－∞,０)∪(０,１]． 答案:(－∞,０)∪(０,１] 考点２　分段函数 １．解析:f(３)＝ ３． 答案:３ ２．解析:由题意知,函数最值与函数单调性相关,故可考虑 以０,２为分界点研究函数f(x)的性质,当a＜０时,f(x) ＝－ax＋１,x＜a,该段的值域为(－∞,－a２＋１),故整 个函数没有最小值;当a＝０时,f(x)＝－ax＋１,x＜a, 该段值域为{１},而f(x)＝(x－２)２,x≥a的值域为[０,＋ ∞),故此时f(x)的值域为[０,＋∞),即存在最小值为０,故 第一个空可填写０;当０＜a≤２时,f(x)＝－ax＋１,x＜ a,该段的值域为 －a２＋１,＋∞( ) ,而f(x)＝(x－２)２,x ≥a的值域为[０,＋∞),若存在最小值,则需满足－a２＋ １≥０,于是可得０＜a≤１;当a＞２时,f(x)＝－ax＋１,x ＜a,该 段 的 值 域 为 －a２＋１,＋∞( ) ,而 f(x)＝(x－ ２)２,x≥a的值域为 (a－２)２,＋∞[ ) ,若存在最小值,则 需满足－a２＋１≥(a－２)２,此不等式无解．综上,a的取 值范围是[０,１],故a的最大值为１． 答案:０(答案不唯一),１ ３．解析:f(６)＝(６)２－４＝２⇒f(２)＝３,即|２－３|＋a＝３ ⇒a＝２． 答案:２ 考点３　函数的值域与最值 解析:当x＞０时,y＝２x＞１,当x≤０时,y＝１,故值域为 [１,＋∞)． 答案:[１,＋∞) 第２节　指、对、幂函数 考点１　指、对、幂的计算 １．C　由f(x)＝ １１＋２x ,可得f(－x)＝ １１＋２－x ＝ ２ x ２x＋１ ,所 以得f(－x)＋f(x)＝２ x＋１ ２x＋１ ＝１． ２．C　将log８３＝b转化为指数,得到８b＝３．再结合指数的 运算性质,８b＝(２３)b＝２３b＝３,因此２a－３b＝２ a ２３b ＝５３ ,所以 ４a－３b＝２５９ ,故本题选 C． ３．解析:因为 １log８a － １loga４ ＝ ３log２a －１２log２a＝－ ５ ２ ,所以 (log２a＋１)(log２a－６)＝０,而a＞１,故log２a＝６,a＝６４． 答案:６４ 考点２　比较大小 １．B　设２＋log２x＝３＋log３y＝５＋log５z＝t,则x＝２t－２,y ＝３t－３,z＝５t－５,取t＝０,易知x＞y＞z,排除 A;取t＝５, 易知y＞x＞z,排除C;取t＝８,易知y＞z＞x,排除D;故 选B． ２．B　因为y＝４．２x 在R上递增,且－０．３＜０＜０．３,所以０＜ ４．２－０．３＜４．２０＜４．２０．３, 所以０＜４．２－０．３＜１＜４．２０．３,即０＜a＜１＜b, 因为y＝log４．２x在(０,＋∞)上递增,且０＜０．２＜１, 所以log４．２０．２＜log４．２１＝０,即c＜０, 所以b＞a＞c． ３．B　log２ y１＋y２ ２ ＝log２ ２x１＋２x２ ２ ≥log２ ２ x１􀅰２x２ ＝ log２２ x１＋x２ ２ ＝ x１＋x２ ２ ,∵x１≠x２,∴等 号 取 不 到,即log２ y１＋y２ ２ ＞ x１＋x２ ２ ． ４．A　令g(x)＝－(x－１)２,则g(x)图象开口向下,对称轴 为x＝１, 因为 ６ ２－１－ １－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷＝ ６＋ ３２ － ４ ２ , 而(６＋ ３)２－４２＝９＋６ ２－１６＝６ ２－７＞０, 所以 ６ ２－１－ １－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷＝ ６＋ ３２ － ４ ２＞０ , 即 ６ ２－１＞１－ ３ ２ , 由二次函数性质知g ６２ æ è ç ö ø ÷＜g ３２ æ è ç ö ø ÷, 因为 ６ ２－１－ １－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷＝ ６＋ ２２ － ４ ２ , 而(６＋ ２)２－４２＝８＋４ ３－１６＝４ ３－８ ＝４(３－２)＜０, 即 ６ ２－１＜１－ ２ ２ ,所以g ６２ æ è ç ö ø ÷＞g ２２ æ è ç ö ø ÷, 综上,g ２２ æ è ç ö ø ÷＜g ６２ æ è ç ö ø ÷＜g ３２ æ è ç ö ø ÷, 又y＝ex 在 R上为增函数,故a＜c＜b, 即b＞c＞a．故选 A． ５．D　由y＝１．０１x 在 R上递增, 则a＝１．０１０．５＜b＝１．０１０．６, 由y＝x０．５在(０,＋∞)上递增,则a＝１．０１０．５＞c＝０．６０．５． 所以b＞a＞c．故选 D． ６．A　构造函数h(x)＝１－１２x ２－cosx,x∈ ０,π２[ ] , 则g(x)＝h′(x)＝－x＋sinx,g′(x)＝－１＋cosx≤０ 所以g(x)≤g(０)＝０,因此,h(x)在 ０,π２[ ] 上递减,所 以h １４( )＝a－b＜h(０)＝０,即a＜b,另一方面, c b ＝ ４sin１４ cos１４ ＝ tan１４ １ ４ ,显然x∈ ０,π２( ) 时,tanx＞x, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３１ 最新真题分类特训􀅰数学 所以c b ＝ ４sin １４ cos１４ ＝ tan１４ １ ４ ＞１,即b＜c．因此c＞b＞a．即 选 A． ７．A　由９m＝１０,可得m＝log９１０∈(１,１．５)． 根据a,b的形式构造函数f(x)＝xm －x－１(x＞１),则 f′(x)＝mxm－１－１, 令f′(x)＝０,解得x０＝m １ １－m ,由m＝log９１０∈(１,１．５)知 x０∈(０,１)． f(x)在(１,＋∞)上单调递增,所以f(１０)＞f(８),即a＞b, 又因为f(９)＝９log９１０－１０＝０,所以a＞０＞b,答案选 A． ８．C　令a＝xex,b＝ x１－x ,c＝－ln(１－x), ①lna－lnb＝x＋lnx－[lnx－ln(１－x)]＝ x＋ln(１－x), 令y＝x＋ln(１－x),x∈(０,０．１];y′＝１－ １１－x＝ －x １－x＜０ , 所以y≤０,所以lna－lnb≤０,所以b＞a． ②a－c＝y＝xex ＋ln(１－x),x∈(０,０．１],令y＝xex ＋ln(１－x), 则y′＝xex＋ex－ １１－x＝ (１＋x)(１－x)ex－１ １－x , 令k(x)＝(１＋x)(１－x)ex－１,所以k′(x)＝(１－x２－ ２x)ex＞０, 所以k(x)＞k(０)＞０,所以y＞０, 所以a－c＞０,所以a＞c．综上b＞a＞c． ９．C　考查比较大小问题,主要利用对数函数单调性,属于 基础题．以c＝１２ 为中间量,构造增函数y＝log５x和y＝ log８x,log５２＜log５ ５＝ １ ２＝log８２ ２＜log８３． １０．D　∵log２０．３＜log２１＝０,∴a＜０, ∵log１ ２ ０．４＝－log２０．４＝log２ ５ ２＞log２２＝１ ,∴b＞１, ∵０＜０．４０．３＜０．４０＝１,∴０＜c＜１, ∴a＜c＜b．故选:D． 第３节　函数的基本性质 考点１　函数的单调性 １．D　本题考查了指数函数的单调性． 由题意知,当a＞１时,若as＞a,则s＞１, 当０＜a＜１时,若as＞a,则s＜１,D正确． ２．B　由题意知f(x)在 R上单调递增,令h(x)＝－x２－ ２ax－a,则h(x)的对称轴必大于等于０,否则与题意不 符,即－a≥０⇒a≤０,排除 C、D 项;又因为当x＝０时, f(x)＝１,所以当x＝０时,h(x)≤１⇒－x２－２ax－a≤１, 代入x＝０,得－a≤１⇒a≥－１,所以－１≤a≤０,故a的 取值范围是[－１,０]．故选择:B． ３．D　由题意易得,a２≥１ ,所以a的取值范围是[２,＋∞)． 故选 D． ４．D　AB递减,排除,C有增有减,排除,因此只有 D正确． ５．解析:利用反证法可判断①④的正误,构造函数并验证 后可判断②③的正误． 对于①,若存在 R上的增函数f(x),满足f(x)＋f(２x) ＝－x, 则f(０)＋f(２×０)＝－０即f(０)＝０, 故x＞０时,f(４x)＞f(２x)＞f(x)＞０,故f(４x)＋f(２x) ＞f(x)＋f(２x), 故－２x＞－x即x＜０,矛盾,故①错误; 对于②,取f(x)＝－ １３x ,该 函 数 为 R 上 的 减 函 数 且 f(x)＋f(２x)＝－x, 故该函数符合,故②正确; 对于③,取f(x)＝１２cosx＋mx ,m∈R, 此时f(x)＋f(－x)＝cosx,由 m∈R可得f(x)有无穷 多个, 故③正确; 对于④,若存在f(x),使得f(x)－f(－x)＝cosx, 令x＝０,则０＝cos０,但cos０＝１,矛盾, 故满足f(x)－f(－x)＝cosx 的 函 数 不 存 在,故 ④ 错误． 答案:②③ 考点２　函数的奇偶性 １．ABD　由奇函数的性质可知,因为f(x)的定义域为 R, f(０)＝０,所以 A正确; 当x＜０时,－x＞０,f(－x)＝(x２－３)e－x＋２,又因为 f(－x)＝－f(x),所以f(x)＝－(x２－３)e－x－２,所以B 正确; 当x＞０时,f′(x)＝(x＋３)(x－１)ex,所以f(x)在(０,１) 上单调递减,在(１,＋∞)上单调递增 x→０时,f(x)→－１,f(１)＝－２e＋２＜０,f( ３) ＝２＞ ０,所以f(x)的图象大致为 因为２e－２＞２,所以 C错误,由奇函数图象关于原点对 称可知 D正确． ２．B　对 A,设f(x)＝e x－x２ x２＋１ ,函数定义域为 R,但f(－１) ＝e －１－１ ２ ,f(１)＝e－１２ ,则f(－１)≠f(１),故 A 错误;对 B,f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ ,函 数 定 义 域 为 R,且 f(－x)＝ cos(－x)＋(－x)２ (－x)２＋１ ＝cosx＋x ２ x２＋１ ＝f(x),则f(x)为偶函 数,故B正确;对C,设h(x)＝e x－x x＋１ ,函数定义域为{x|x ≠－１},不关于原点对称,则h(x)不是偶函数,故 C错 误;对 D,设φ(x)＝ sinx＋４x e|x| ,函数定义域为 R,因为φ (－x)＝sin (－x)＋４(－x) e|－x| ＝－sinx＋４x ex ＝－φ(x),则 φ(x)为奇函数,φ(x)不是偶函数,故 D错误． ３．B　由题意知g(x)＝ln２x－１２x＋１ 是奇函数,而f(x)＝(x＋ a)g(x)为偶函数,有f(－x)＝(－x＋a)g(－x)＝－(－x ＋a)g(x)＝(x＋a)g(x)＝f(x),故x－a＝x＋a,则a＝０． 故选B． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３１ 详解详析 ４．D　因为f(x)＝ xe x eax－１ 为偶函数,则f(x)－ f(－x)＝ xe x eax－１ － (－x)e－x e－ax－１ ＝x [ex－e(a－１)x] eax－１ ＝０,又因 为x不恒为０, 可得ex－e(a－１)x＝０,即ex＝e(a－１)x, 则x＝(a－１)x,即１＝a－１,解得a＝２．故选 D． ５．B ６．解析:由题意可知,F(０)＝０,则a＝０． 答案:０ ７．解析:由y＝(x－１)２＋ax＋sin x＋π２( ) ＝x ２＋(a－２)x ＋１＋cosx为偶函数,所以a＝２． 答案:２ ８．解析:设g(x)＝a􀅰２x－２－x,由已知g(x)＝a􀅰２x－２－x 为奇函数,则g(x)＋g(－x)＝(a－１)(２x＋２－x)＝０,因此a ＝１． 答案:１ 考点３　函数的对称性 B　由函数的解析式考查函数的最小周期性: A选项中T＝２ππ ２ ＝４,B选项中T＝２ππ ２ ＝４, C选项 中 T＝２ππ ４ ＝８,D 选 项 中 T＝２ππ ４ ＝８,排 除 选 项 CD． 对于 A选项,当x＝２时,函数值sin π２×２( ) ＝０,故(２, ０)是函数的一个对称中心,排除选项 A, 对于B选项,当x＝２时,函数值cos π２×２( )＝－１, 故x＝２是函数的一条对称轴．故选B． 考点４　函数性质的综合应用 １．A　f －３４( )＝f ３ ４( ) ＝f ２＋ ３ ４( ) ＝５－２ ２＋ ３ ４( ) ＝ －１２ ,故选 A． ２．B　由题意可知,当x＜３时,f(x)＝x,所以可知f(１)＝ １,f(２)＝２, 又因为∀x∈R,f(x)＞f(x－１)＋f(x－２),所以f(３) ＞f(１)＋f(２)＝３,f(４)＞f(２)＋f(３)＞５,同理可得, f(５)＞８,f(６)＞１３,f(７)＞２１,f(８)＞３４,f(９)＞５５, f(１０)＞８９,f(１５)＞９８７,f(１６)＞１５９７,􀆺􀆺,故 选 择:B． ３．C　当x＜－a时x＋a＜０,当x＞－a时x＋a＞０,当x ＜１－b时ln(x＋b)＜０, 当x＞１－b时ln(x＋b)＞０,所以要f(x)恒非负,必须 －a＝１－b,即b－a＝１, 所以a２＋b２＝ (a－b)２＋(a＋b)２ ２ ≥ １ ２ , 当a＝－１２ ,b＝１２ 时取等． ４．ABC　对于 A,令x＝y＝０,则f(０)＝０×f(０)＋０×f(０),则 f(０)＝０,故 A正确; 对于B,令x＝y＝１,则f(１)＝１×f(１)＋１×f(１), 则f(１)＝０,故B正确; 对于 C,令x＝y＝－１,则f(１)＝(－１)２×f(－１)＋ (－１)２×f(－１),则f(－１)＝０, 再令y＝－１,则f(－x)＝(－１)２f(x)＋x２f(－１), 即f(－x)＝f(x),故 C正确; 对于 D,当x＝０时,f(０)＝y２f(０),无极值．故 D 错误． 故选 ABC． ５．D　若y＝g(x)的图象关于直线x＝２对称, 则g(２－x)＝g(２＋x),因为f(x)＋g(２－x)＝５,所以 f(－x)＋g(２＋x)＝５,故f(－x)＝f(x),f(x)为偶函 数．由g(２)＝４,f(０)＋g(２)＝５,得f(０)＝１．由g(x)－ f(x－４)＝７,得g(２－x)＝f(－x－２)＋７,代入f(x)＋ g(２－x)＝５,得f(x)＋f(－x－２)＝－２,f(x)关于点 (－１,－１)中心对称,所以f(１)＝ f(－１)＝－１．由f(x)＋f(－x－２)＝－２,f(－x)＝ f(x),得f(x)＋f(x＋２)＝－２,所以f(x＋２)＋ f(x＋４)＝－２,故f(x＋４)＝f(x),f(x)周期为４．由 f(０)＋f(２)＝－２,得f(２)＝－３, 又f(３)＝f(－１)＝f(１)＝－１,所以 ∑ ２２ k＝１ f(k)＝６f(１)＋６f(２)＋５f(３)＋５f(４)＝１１× (－１)＋５×１＋６×(－３)＝－２４． ６．BC　由f ３２－２x( ) 为偶函数可知f(x)关于直线x＝ ３ ２ 对称, 由g(２＋x)为偶函数可知:g(x)关于直线x＝２对称, 结合g(x)＝f′(x),根据g(x)关于直线x＝２对称可知 f(x)关于点(２,t)对称, 根据f(x)关 于 直 线 x＝ ３２ 对 称 可 知:g(x)关 于 点 ３ ２ ,０( ) 对称, 综上,函数f(x)与g(x)均是周期为２的周期函数,所以 f(０)＝f(２)＝t,所以 A不正确; f(－１)＝f(１),f(４)＝f(２),f(１)＝f(２),故f(－１)＝ f(４),所以 C正确; g －１２( )＝g ３ ２( )＝０,g(－１)＝g(１),所以B正确; 又g(１)＋g(２)＝０,所以g(－１)＋g(２)＝０,所以 D不正 确．故选BC ７．A　令y＝１得f(x＋１)＋f(x－１)＝f(x)􀅰f(１)＝ f(x)⇒f(x＋１)＝f(x)－f(x－１) 故f(x＋２)＝f(x＋１)－f(x),f(x＋３)＝f(x＋２)－ f(x＋１), 消去f(x＋２)和f(x＋１)得到f(x＋３)＝－f(x), 故f(x)周期为６; 令x＝１,y＝０得f(１)＋f(１)＝f(１)􀅰f(０)⇒f(０)＝２, f(２)＝f(１)－f(０)＝１－２＝－１,f(３)＝f(２)－f(１)＝ －１－１＝－２, f(４)＝f(３)－f(２)＝－２－(－１)＝－１, f(５)＝f(４)－f(３)＝－１－(－２)＝１, f(６)＝f(５)－f(４)＝１－(－１)＝２ 故􀰑 ２２ k＝１ f(k)＝３[f(１)＋f(２)＋􀆺＋f(６)]＋f(１９)＋ f(２０)＋f(２１)＋f(２２)＝f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４) ＝１＋(－１)＋(－２)＋(－１)＝－３, 即􀰑 ２２ k＝１ f(k)＝－３．故选 A． ８．D　因为f(x＋１)为奇函数,所以f(１)＝０,即a＋b＝０, 所以b＝－a, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３１ 最新真题分类特训􀅰数学 又f(０)＝f(－１＋１)＝－f(１＋１)＝－f(２)＝－４a－b＝ －３a, f(３)＝f(１＋２)＝f(－１＋２)＝f(１)＝０,由f(０)＋f(３) ＝６,得a＝－２, 所以f ９２( ) ＝f ２＋ ５ ２( ) ＝f ２－ ５ ２( ) ＝f － １ ２( ) ＝ f －３２＋１( ) , ＝－f ３２＋１( )＝－f １ ２＋２( )＝－f － １ ２＋２( )＝ －f ３２( ) , ＝－９４a－b＝－ ５ ４a＝ ５ ２ ,故选 D． ９．C　因为f(１＋x)＝f(－x),所以f(x)关于轴x＝ １２ 对称, 又因为f(x)是奇函数,∴f(１＋x)＝－f(x),f(２＋x)＝ －f(１＋x), ∴f(２＋x)＝f(x), ∴f(x)是周期为２的函数, 所以f ５３( )＝f ５ ３－２( )＝f － １ ３( )＝ １ ３ , 故选 C． １０．B　考查函数的对称性,属于偏难的题目．f(x＋２)是偶 函数,即f(x＋２)＝f(２－x),可得f(x)的对称轴为x ＝２,f(２x＋１)为奇函数,即f(１＋２x)＝－f(１－２x), 可得f(x)的对称中心为(１,０)．此时,x＝０和x＝２关 于(１,０)对称,∴f(x)是偶函数,此时有f(－１)＝f(１) ＝０．其他选项不一定成立． １１．解析:因为函数f(x)＝ln a＋ １１－x ＋b 为奇函数,所 以其定义域关于原点对称． 由a＋ １１－x≠０ 可得,(１－x)(a＋１－ax)≠０,所以x＝ a＋１ a ＝ －１ ,解 得:a＝ － １２ ,即 函 数 的 定 义 域 为 (－∞,－１)∪(－１,１)∪(１,＋∞),再由f(０)＝０可得, b＝ln２．即 f (x)＝ln －１２＋ １ １－x ＋ln ２＝ ln １＋x１－x ,在定 义 域 内 满 足f(－x)＝－f(x),符 合 题意． 答案:－１２ ,ln２． １２．解:(１)由y＝f(x)过(４,２)可得loga４＝２,则４＝a２⇒a ＝±２,又a＞０,故a＝２,因为f(x)＝log２x在(０,＋∞) 上是严格增函数,f(２x－２)＜f(x)⇒０＜２x－２＜x⇒１ ＜x＜２,所以解集为(１,２)． (２)因为f(x＋１)、f(ax)、f(x＋２)成等差数列,所以f (x＋１)＋f(x＋２)＝２f(ax), 即loga(x＋１)＋loga(x＋２)＝２loga(ax)有解,化简可得 loga(x＋１)(x＋２)＝loga(ax)２, 得(x＋１)(x＋２)＝(ax)２ 且 x＋１＞０ x＋２＞０ ax＞０ a＞０,a≠１ ì î í ï ï ïï ⇒x＞０,则a２＝ (x＋１)(x＋２) x２ 在(０,＋∞)上有解,又 (x＋１)(x＋２) x２ ＝ ２ x２ ＋３x ＋１＝２ １ x＋ ３ ４( ) ２ － １８ ,故 在 (０,＋∞)上, (x＋１)(x＋２) x２ ＞２ ０＋３４( ) ２ －１８＝１ ,即a２＞１⇒a＜－１ 或a＞１,又a＞０,所以a＞１． １３．解:(１)当a＝０时,f(x)＝x ２＋x＋c x ＝x＋ c x ＋１ ,定义 域x≠０,∵y＝x＋cx 为奇函数, ∴f(x)＝x＋cx ＋１ 不为奇函数,故不存在实数c,使得 f(x)为奇函数． (２)f (１)＝ ３a＋２＋c１＋a ＝ ３ ⇒c ＝ １ ,f (x)＝ x２＋(３a＋１)x＋１ x＋a ＝０ ,x２＋(３a＋１)x＋１＝０,∴Δ＝(３a ＋１)２－４＞０且两根之和－(３a＋１)＜０,∴a＞ １３ ,若 x＋a＝０即x＝－a是方程x２＋(３a＋１)x＋１＝０的解,得 a＝１２ 或a＝－１,故实数a的取值范围为a＞１３ 且a≠１２． 第４节　函数的图象 １．A　由y＝９x＝３２x,根据平移法则即可解出． 因为y＝９x＝３２x,所以将函数y＝３x 的图象上所有点的 横坐标变成原来的１ ２ 倍,纵坐标不变,即可得到函数y＝ ９x 的图象,故选:A． ２．D　本题考查了函数的图象,考查函数的性质,奇偶性, 对称性．由图象可知,图象关于y轴对称．A 中,f(x)＝ x １－|x|＝－ x |x|－１＝－f (－x)(x≠±１)为奇函数,其 图象关于原点对称,故排除 A;B中,f(－x)＝ －x|－x|－１ ＝－ x|x|－１＝－f (x)(x≠±１)为奇函数,故排除 B;C 中,f(－x)＝ |－x|１－(－x)２ ＝ |x| １－x２ ＝f(x)为偶函数,当x ＝２时,f(２)＝ ２１－４＝－ ２ ３＜０ ,故排除 C． ３．B　令f(x)＝－x２＋(ex－e－x)sinx, 则f(－x)＝－(－x)２＋(e－x－ex)sin(－x) ＝－x２＋(ex－e－x)sinx＝f(x) ∴y＝f(x)为偶函数,排除 A,C; f π２( )＝－ π２ ４＋e π ２ －e－ π ２ ＝e π ２ －e－ π ２ －π ２ ４＞０ , 故排除 D,B正确． ４．C　∵１≤x≤２,∴x２－x∈[０,２],∴y ＝x＋(x２－x)t,０≤t≤１可看作关于t 的一次函数,则y关于t单调递增或y 是关于t的常数函数． 又∵y＝tx２＋(１－t)x,１≤x≤２,∴函 数y＝tx２＋(１－t)x 图象的对称轴为 直线x＝１２－ １ ２t≤０ ,∴y关于x 的函 数在[１,２]上单调递增,又t,x均为非负数． ∴当t,x 均取最小值与t,x 均取最大值时 M 中两点间 的距离为最大值即d 取最大值,即 M 中点(１,１)和(２,４) 间的距离最大,得d＝ １０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３１ 详解详析 M 表示的图形如图阴影所示,利用大长方形的面积减去 小正方形及两个梯形的面积,可得S＜１． ５．D　由题图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且 f(－２)＝f(２)＜０, 由５sin(－x)(－x)２＋１ ＝－５sinx x２＋１ 且定义域为 R,即选项 B中函数 为奇函数,排除; 当x＞０时,５ (ex－e－x) x２＋２ ＞０、５ (ex＋e－x) x２＋２ ＞０,即选项 A、C 中在(０,＋∞)上的函数值为正,排除．故选 D． ６．A　设f(x)＝x ３－x x２＋１ ,则f(１)＝０,故排除B; 设h(x)＝２xcosx x２＋１ ,当x∈ ０,π２( ) 时,０＜cosx＜１, 所以h(x)＝２xcosx x２＋１ ＜ ２x x２＋１ ≤１,故排除 C; 设g(x)＝２sinxx２＋１ ,则 g(３)＝２sin３１０ ＞０ ,故 排 除 D．故 选:A． ７．A　因为f π４( )＝ ３ π ４ －３ －π４( )cosπ４ ＞０ ,所以排除 C, D;又 因 为 f(－x)＝ (３－x －３－(－x))cos(－x)＝ －(３x－３－x)cosx＝－f(x),所以是奇函数,故选 A． ８．B　设y＝f(x)＝ln|x|x２＋２ ,则函数f(x)的定义域为{x|x ≠０},关于原点对称, 又f(－x)＝ ln|－x|(－x)２＋２ ＝f(x),所以函数f(x)为偶函 数,排除 AC; 当x∈(０,１)时,ln|x|＜０,x２＋１＞０,所以f(x)＜０,排除 D．故选:B． ９．D　f(x)＝x２＋１４ 为偶函数,g(x)＝sinx为奇函数,图 中函数为奇函数, y＝f(x)＋g(x)－１４ 与y＝f(x)－g(x)－１４ 均不是奇 函数,故排除 A,B项; f(x)􀅰g(x)＝ x２＋１４( ) 􀅰sinx,[f(x)􀅰g(x)]′＝ x２＋１４( ) 􀅰cosx＋２x􀅰sinx, 则 f π４( ) 􀅰g π ４( )[ ] ′ ＞０,与图不符,故排除 C 项;故 选择:D． 第５节　函数与方程 １．B　本题考查了函数的零点存在定理,f(x)＝０．３x－ x (x＞０)在(０,＋∞)上单调递减． ∵f(０．３)＝０．３０．３－ ０．３＝０．３０．３－０．３０．５＞０． f(０．５)＝０．３０．５－ ０．５＝０．３０．５－０．５０．５＜０, ∴f(x)的零点在区间(０．３,０．５)上． ２．D　f(x)＝g(x)⇒a＝１＋cosx１＋x２ ,注意右边是偶函数,所 以若只有一个交点就只能是在x＝０处相切,于是直接 代x＝０得a＝２． ３．A　∵x２－２(a＋１)x＋a２＋５＝０最多有２个根,所以 cos(２πx－２πa)＝０至少有４个根, 由２πx－２πa＝π２＋kπ ,k∈ Z, 可得x＝k２＋ １ ４＋a ,k∈ Z, 由０＜k２＋ １ ４＋a＜a 可得－２a－１２＜k＜－ １ ２ , (１)x＜a时,当－５≤－２a－１２≤－４ 时,f(x)有４个零 点,即７ ４＜a≤ ９ ４ ; 当－６≤－２a－ １２ ≤－５ ,f(x)有 ５ 个 零 点,即 ９４ ＜a ≤１１４ ; 当－７≤－２a－ １２ ≤－６ ,f(x)有 ６ 个 零 点,即１１４ ≤a ≤１３４ ; (２)当x≥a时,f(x)＝x２－２(a＋１)x＋a２＋５, Δ＝４(a＋１)２－４(a２＋５)＝８(a－２), 当a＜２时,Δ＜０,f(x)无零点; 当a＝２时,Δ＝０,f(x)有１个零点; 当a＞２时,令f(a)＝a２－２a(a＋１)＋a２＋５＝－２a＋５ ≥０,则２＜a≤５２ ,此时f(x)有２个零点; 所以若a＞５２ 时,f(x)有１个零点． 综上,要使f(x)在区间(０,＋∞)内恰有６个零点,则应 满足 ７ ４＜a≤ ９ ４ ２＜a≤５２ ì î í ïï ï 或 ９ ４＜a≤ １１ ４ a＝２或a＞５２ ì î í ïï ï 或 １１ ４≤a≤ １３ ４ a＜２{ , 则可解得a的取值范围是 ２,９４( ] ∪ ５ ２ ,１１ ４( ]． ４．解析:(１)当x２－ax＋１≥０时,f(x)＝０⇔(a－１)x２＋(a －２)x－１＝０, 即[(a－１)x－１](x＋１)＝０, 若a＝１时,x＝－１,此时x２－ax＋１≥０成立; 若a≠１时,x＝ １a－１ 或x＝－１, 若方程有一根为x＝－１,则１＋a＋１≥０,即a≥－２且a ≠１; 若方程有一根为x＝ １a－１ ,则 １ a－１( ) ２ －a× １a－１＋１≥ ０,解得a≤２且a≠１; 若x＝ １a－１＝－１ 时,a＝０,此时１＋a＋１≥０成立． (２)当x２－ax＋１＜０时,f(x)＝０⇔(a＋１)x２－(a＋２)x ＋１＝０, 即[(a＋１)x－１](x－１)＝０, 若a＝－１时,x＝１,显然x２－ax＋１＜０不成立; 若a≠－１时,x＝１或x＝ １a＋１ , 若方程有一根为x＝１,则１－a＋１＜０,即a＞２; 若方程有一根为x＝ １a＋１ ,则 １ a＋１( ) ２ －a× １a＋１＋１＜ ０,解得a＜－２; 若x＝ １a＋１＝１ 时,a＝０,显然x２－ax＋１＜０不成立; 综上可知,当a＜－２时,零点为 １a＋１ ,１ a－１ ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３１ 最新真题分类特训􀅰数学 当－２≤a＜０时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝０时,只有一个零点－１; 当０＜a＜１时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝１时,只有一个零点－１; 当１＜a≤２时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＞２时,零点为１,－１． 所以当函数有两个零点时,a≠０且a≠１． 点睛:本题的解题关键是根据定义去掉绝对值,求出方 程的根,再根据根存在的条件求出对应的范围,然后根 据范围讨论根(或零点)的个数,从而得解． 答案:(－∞,０)∪(０,１)∪(１,＋∞) ５．解析:零点问题,转化成两个函数的交点来分析． 令f(x)＝|lgx|－kx－２＝０,可 转 化 成 两 个 函 数 y１＝|lgx|,y２＝kx＋２的交点问题． 对于①,当k＝０时,|lgx|＝２,两个交点,①正确; 对于②,存在k＜０,使y１＝|lgx|与y２＝kx＋２相切,② 正确; 对于③,若k＜０,y１＝|lgx|与y２＝kx＋２最多有２个交 点,③错误; 对于④,当k＞０时,过点(０,２)存在函数g(x)＝lgx(x ＞１)的切线,此时共有两个交点,当直线斜率稍微小于 相切时的斜率时,就会有３个交点,故④正确．填①②④． 答案:①②④ 第６节　函数模型 １．D 　 A 选 项:lg p ＝ lg１０２６＞３,T＝２２０,由 图 易 知 处 于 固 态;B 选 项:lgp＝lg１２８＞２,T＝ ２７０,由图易知处于液态; C选项:lgp＝lg９９８７≈ ３．９９９,T＝３００,由 图 易 知处于固态;D选项:lgp ＝lg７２９＞２,T＝３６０,由 图易知处于超临界状态;所以选 D． ２．C　将L＝４．９代入L＝５＋lgV 得lgV＝－０．１＝－１１０ , 所以V＝１０－ １ １０＝ １１０ １０ ≈ １１．２５９≈０．８ ,故选 C． ３．解 析:所 消 耗 的 总 体 能 y ＝ ４ (１．０２５－cosθ) sinθ ＝４．１－４cosθsinθ , y′＝４sin ２θ－(４．１－４cosθ)cosθ sin２θ ＝４－４．１cosθ sin２θ ＝０⇒ cosθ＝４０４１⇒θ＝arccos ４０ ４１． 答案:arccos４０４１ 专题四　导数及其应用 第１节　导数的运算与导数的几何意义 考点１　导数的运算 B　f′(x)＝ax － b x２ ,由条件,得 f (１)＝b＝－２ f′(１)＝a－b＝０{ ,所以 a＝b＝－２,即f′(x)＝－２x＋ ２ x２ , 所以f′(２)＝－２２＋ ２ ２２ ＝－１２． 故选B． 考点２　导数的几何意义 １．A　∵f(x)＝e x＋２sinx １＋x２ , ∴f′(x) ＝ (ex＋２cosx)(１＋x２)－(ex＋２sinx)􀅰２x (１＋x２)２ ＝ (x－１)２ex＋２(１＋x２)cosx－４xsinx (１＋x２)２ 则f′(０)＝３ ∴y＝f(x)在点(０,１)处的切线方程为y－１＝３(x－０), 即３x－y＋１＝０ 令x＝０,得y＝１, 令y＝０,得x＝－１３ , ∴y＝f(x)在点(０,１)处的切线与两坐标轴所围成的三 角形的面积为S＝１２× － １ ３ ×１＝ １ ６． ２．C　设曲线y＝ e x x＋１ 在点 １,e２( ) 处的切线方程为y－ e ２＝k (x－１), 因为y＝ e x x＋１ , 所以y′＝e x(x＋１)－ex (x＋１)２ ＝ xe x (x＋１)２ , 所以k＝y′|x＝１＝ e ４ , 所以切线方程为y－e２＝ e ４ (x－１), 所以曲线y＝ e x x＋１ 在点 １,e２( ) 处的切线方程为y＝ e ４x ＋e４． 故选 C． ３．D　用取极限的方法快速得到答案,注意到x→－∞时 切线为y＝０,x→＋∞时切线为y＝＋∞,因此切线的交 点位于第一象限,且在曲线y＝ex 的下方,故选 D． ４．解析:由２x＋５＝ex＋x＋a得ex＝x＋５－a,故可知y＝ x＋５－a与y＝ex 相切,所以５－a＝１,故a＝４． 答案:４ ５．解析:由题知y′＝(ex＋x)′＝ex＋１,当x＝０时,切线斜 率k＝２, 则切线方程为y＝２x＋１,y′＝[ln(x＋１)＋a]′＝ １x＋１＝ ２,得x＝－１２ ,y＝２× －１２( ) ＋１＝０,y＝ln(x＋１)＋a 的切点 －１２ ,０( ) , 即０＝ln －１２＋１( )＋a,故a＝ln２． 答案:ln２ ６．解析:易得曲线不过原点,设切点为(x０,(x０＋a)ex０),则 切线斜率为f′(x０)＝(x０＋a＋１)ex０,可得切线方程为y －(x０＋a)ex０＝(x０＋a＋１)ex０(x－x０),又切线过原点, 可得－(x０＋a)ex０ ＝－x０(x０＋a＋１)ex０,化简得x２０＋ ax０－a＝０(∗),又切线有两条,即∗方程有两不 等 实 根,由判别式Δ＝a２＋４a＞０,得a＜－４,或a＞０． 答案:(－∞,－４)∪(０,＋∞) ７．解析:当x＞０时,点(x１,lnx１)(x１＞０)上的切线为y－ lnx１＝ １ x１ (x－x１),若该切线经过原点,则lnx１－１＝０, 解得x＝e,此时切线方程为y＝xe． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３１ 详解详析