第一单元 圆（易错专项讲义）数学北师大版六年级上册

第一单元 圆 易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：混淆圆的直径和半径 2 易错点2：圆周长的公式应用错误 4 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 5 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 6 易错点5：环形面积计算错误 8 易错点6：圆周率π的取值不准确 9 模块一 易错知识点梳理 1．直径必须过圆心。 2．圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。 3．在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。 4．圆周率是任意一个圆的周长除以它的直径的商，这个比值是一个固定的数，与圆的大小无关。 5．圆周率是一个无限不循环小数，在实际应用中取它的近似值。 6．半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。 7．计算时如果单位不统一，一定要先统一单位，然后再计算。 8．在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。 9．圆环必须是由两个同心圆形成的。 10．求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。 11．在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：混淆圆的直径和半径 【典例1】画一个半径为3cm的圆，它的直径是多少？ 【错误答案】直径是3cm。 【错解分析】学生将半径和直径的概念混淆，误以为半径就是直径。 【正确答案】直径=半径×2 = 3cm × 2 = 6cm。 【易错专练1】看图填一填。 每个圆的直径是（ ）cm，半径是（ ）cm。 【易错专练2】如图，圆的半径是（ ）厘米，长方形的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是（ ）cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是（ ）cm。 【易错专练4】笑笑用下面的一张硬纸板，可以剪（ ）个直径是2dm的圆形纸片。 【易错专练5】求下面各圆的半径或直径。 圆的半径是（ ）厘米             圆的直径是（ ）厘米 圆的直径是（ ）厘米             长方形的长是（ ）厘米 易错点2：圆周长的公式应用错误 【典例2】一个圆的直径是10cm，求它的周长。（π取3.14） 【错误答案】C=πr=3.14×10=31.4cm。 【错解分析】错误使用了半径的公式（C=2πr），但代入时却用了直径的值。 【正确答案】 方法1：C= πd =3.14×10=31.4cm； 方法2：先求半径r=5cm，C=2πr =2×3.14×5=31.4cm。 【易错专练1】一根铁丝正好可以围成一个半径是6厘米的圆，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米。 【易错专练2】用圆规画一个直径是8cm的圆，圆规两脚尖的距离应该是（ ）cm。一个时钟的时针长5cm，经过6小时，时针的尖端移动了（ ）cm。 【易错专练3】如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚（ ）圈。 【易错专练4】如图，这个海棠花形的铁艺相框，由四个同样大的半圆围成。相框高度和宽度都是20厘米，共需（ ）厘米长的铁丝。 【易错专练5】我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是（ ）cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 【典例3】半圆的半径是4cm，求它的周长。（π取3.14） 【错误答案】C = πr = 3.14 × 4 = 12.56cm。 【错解分析】半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，学生漏加了直径。 【正确答案】半圆周长 = πr + 2r = 3.14 × 4 + 8 = 12.56 + 8 = 20.56cm。 【易错专练1】在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是（ ）cm，周长是（ ）cm。 【易错专练2】一个圆形纸片的周长是62.8cm，把它平均分成两个半圆，得到的其中一个半圆的周长是（ ）。 【易错专练3】在一张长16厘米，宽12厘米的长方形纸里，最多可以剪（ ）个半径是1厘米的圆。如果在这张长方形纸里剪一个最大的半圆，该半圆的周长应该是（ ）厘米。 【易错专练4】利用圆规，先把下面的圆画完整，再求出半圆的周长。 【易错专练5】爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，需要多长的篱笆？现在为了节约成本，把其中一面靠墙，菜地现在需要多长的篱笆？ 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 【典例4】圆的半径是5cm，求它的面积。（π取3.14） 【错误答案】S = 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm²。 【错解分析】错误使用了周长公式计算面积。 【正确答案】S = πr² = 3.14 × 5² = 78.5cm²。 【易错专练1】用圆规画圆，已知圆规两脚张开的距离是3厘米，则所画圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【易错专练2】在一块长6米，宽4米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。 【易错专练3】冰壶被称作“冰上溜石”或“冰上国际象棋”，是冬奥会比赛项目之一。冰壶底面直径约是30cm，周长约是（ ）cm，面积约是（ ）cm2。 【易错专练4】计算下面各圆的面积。      【易错专练5】根据下面的条件，求各圆的面积。 （1）r＝4cm （2）d＝1.4dm （3）C＝6.28cm 易错点5：环形面积计算错误 【典例5】一个环形，外圆半径6cm，内圆半径4cm，求环形的面积。 【错误答案】S = π(R - r)² = 3.14 × (6-4)² = 12.56cm²。 【错解分析】环形面积公式应为外圆面积减内圆面积，而非半径差的平方。 【正确答案】S = πR² - πr² = 3.14 × 6² - 3.14 × 4² = 113.04 - 50.24 = 62.8cm²。 【易错专练1】一个环形，外圆半径是8厘米，内圆半径是5厘米，这个环形的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练2】两个不同的同心圆，内圆直径为6是米，外圆直径为10厘米，圆环的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】2020年6月21日，在我国境内观测到天文奇观日环食。乐乐把自己看到的日环食画下来（如图），内圆、外圆直径分别是10厘米，12厘米，则图中圆环的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练4】计算下图阴影部分的面积。 【易错专练5】玉壁最早产生于距今约五、六千年前的新石器时代，是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一。有一块环形玉璧，尺寸如图要为这个玉壁做一个同规格的环形保护垫，保护垫一面的面积是多少？ 易错点6：圆周率π的取值不准确 【典例6】圆的半径是7cm，求周长。（题目要求π取3.14） 【错误答案】C = 2πr = 2×3.1416×7≈ 43.9824cm。 【错解分析】题目明确π取3.14，但学生使用了更精确的π值。 【正确答案】C = 2×3.14×7 = 43.96cm。 【易错专练1】中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 【易错专练2】下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小敏沿外圈跑一周，小露沿内圈跑一周，小敏比小露多跑多少米？（π取3.14） 【易错专练3】军军以每分钟62.8米的速度绕一个圆形体育场步行一周，恰好用了5分钟。这个体育场的面积是多少？（取3.14） 【易错专练4】一个圆形花坛半径是20米，将它改造成一个正方形花坛，但不改变花坛的周长。改变后花坛的面积是多少平方米？取 【易错专练5】李叔叔购置了一款可折叠的餐桌（如图）。这款餐桌完全展开后，桌面面积是多少平方米？（π取3） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 圆 易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：混淆圆的直径和半径 2 易错点2：圆周长的公式应用错误 5 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 7 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 10 易错点5：环形面积计算错误 13 易错点6：圆周率π的取值不准确 15 模块一 易错知识点梳理 1．直径必须过圆心。 2．圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。 3．在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。 4．圆周率是任意一个圆的周长除以它的直径的商，这个比值是一个固定的数，与圆的大小无关。 5．圆周率是一个无限不循环小数，在实际应用中取它的近似值。 6．半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。 7．计算时如果单位不统一，一定要先统一单位，然后再计算。 8．在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。 9．圆环必须是由两个同心圆形成的。 10．求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。 11．在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：混淆圆的直径和半径 【典例1】画一个半径为3cm的圆，它的直径是多少？ 【错误答案】直径是3cm。 【错解分析】学生将半径和直径的概念混淆，误以为半径就是直径。 【正确答案】直径=半径×2 = 3cm × 2 = 6cm。 【易错专练1】看图填一填。 每个圆的直径是（ ）cm，半径是（ ）cm。 【答案】9 4.5 【分析】看图，两个圆的直径和是18cm，那么将18cm除以2，即可求出每个圆的直径。将每个圆的直径再除以2，即可求出每个圆的半径。 【解答】18÷2＝9（cm） 9÷2＝4.5（cm） 所以，每个圆的直径是9cm，半径是4.5cm。 【易错专练2】如图，圆的半径是（ ）厘米，长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】4 160 【分析】观察图形可知，长方形的长等于圆的半径的5倍，长方形的宽等于圆的直径；已知圆的直径是8厘米，根据圆的半径＝圆的直径÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 【解答】圆的半径：8÷2＝4（厘米） 长方形的长：4×5＝20（厘米） 长方形的宽：4×2＝8（厘米） 长方形的面积：20×8＝160（平方厘米） 所以，圆的半径是4厘米，长方形的面积是160平方厘米。 【易错专练3】用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是（ ）cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是（ ）cm。 【答案】1 4 【分析】圆规两脚间的距离等于圆的半径，据此求出圆的半径；直径＝半径×2，据此求出圆的直径。 【解答】圆规两脚间的距离是1cm，圆的半径是1cm。 2×2＝4（cm） 用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是1cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是4cm。 【易错专练4】笑笑用下面的一张硬纸板，可以剪（ ）个直径是2dm的圆形纸片。 【答案】12 【分析】长方形的纸片剪成小圆，首先算一行剪几个，长方形的长12dm，小圆的直径是2dm，就是算12dm里有多少个2dm，用除法计算，再算有几行，长方形的宽5dm，同样算5dm里有多少个2dm，用除法计算，得数保留整数部分，小数点后的都舍去，不够的只能舍去。最后用每行的个数去乘行数，据此解答。 【解答】（个） （行） （个） 因此，可以剪12个直径是2dm的圆形纸片。 【易错专练5】求下面各圆的半径或直径。 圆的半径是（ ）厘米             圆的直径是（ ）厘米 圆的直径是（ ）厘米             长方形的长是（ ）厘米 【答案】2.5 9.4 5 23.5 【分析】（1）由图可知，梯形的高为2.5厘米，即圆的半径也为2.5厘米，根据直径＝半径×2，代入数据计算，即可求出直径； （2）由图可知，半径是4.7厘米，根据直径＝半径×2，代入数据计算，即可求出直径；由图可知，长方形的长＝2条直径＋1条半径，代入数据计算，即可求出长方形的长。 【解答】（1）2.5×2＝5（厘米） 圆的半径是2.5厘米，圆的直径是5厘米。 （2）4.7×2＝9.4（厘米） 9.4×2＋4.7 ＝18.8＋4.7 ＝23.5（厘米） 圆的直径是9.4厘米，长方形的长是23.5厘米。 易错点2：圆周长的公式应用错误 【典例2】一个圆的直径是10cm，求它的周长。（π取3.14） 【错误答案】C=πr=3.14×10=31.4cm。 【错解分析】错误使用了半径的公式（C=2πr），但代入时却用了直径的值。 【正确答案】 方法1：C= πd =3.14×10=31.4cm； 方法2：先求半径r=5cm，C=2πr =2×3.14×5=31.4cm。 【易错专练1】一根铁丝正好可以围成一个半径是6厘米的圆，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】根据C＝2πr求出圆周长，它也是铁丝长，也是等边三角形周长，用周长除以3就是三角形的边长，据此解答。 【解答】2×3.14×6÷3 ＝37.68÷3 ＝12.56（厘米） 故这个三角形的边长是12.56厘米。 【易错专练2】用圆规画一个直径是8cm的圆，圆规两脚尖的距离应该是（ ）cm。一个时钟的时针长5cm，经过6小时，时针的尖端移动了（ ）cm。 【答案】4 15.7 【分析】在同一个圆内半径是直径的一半，用圆规画圆时，两脚尖的距离就是圆的半径。根据r＝d÷2，直径是8cm，则半径是（8÷2）cm；时针长度是5cm，这指的是从钟表中心到时针尖端的距离，即半径cm；根据生活经验可知，时针12小时转一圈，经过6小时，也就是时针转了半圈，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式求出该圆周长的一半即可。 【解答】8÷2＝4（cm） 用圆规画一个直径是8cm的圆，圆规两脚尖的距离应该是4cm。 2×3.14×5÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（cm） 时针的尖端移动了15.7cm。 【易错专练3】如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚（ ）圈。 【答案】8 【分析】根据题意可知，油桶滚动的距离＝两墙之间的距离－油桶的底面直径；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出油桶的底面周长，再用两墙之间的距离与油桶底面直径的差÷油桶的底面周长，即可解答。 【解答】（26.12－0.5×2）÷（3.14×0.5×2） ＝（26.12－1）÷（1.57×2） ＝25.12÷3.14 ＝8（圈） 底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚8圈。 【易错专练4】如图，这个海棠花形的铁艺相框，由四个同样大的半圆围成。相框高度和宽度都是20厘米，共需（ ）厘米长的铁丝。 【答案】62.8 【分析】由题意可知，半圆的直径等于20÷2＝10（厘米），需要铁丝的长度等于直径是10厘米的两个圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×直径解答即可。 【解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×10×2 ＝31.4×2 ＝62.8（厘米） 所以共需62.8厘米长的铁丝。 【易错专练5】我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是（ ）cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。 【答案】8 20.56 【分析】根据C＝πd，可以推出d＝C÷π，将数据代入求出该圆的直径； 半圆的周长，等于圆周长的一半加上一条直径的长度，即C半圆＝C÷2＋d，将数据代入求解即可。 【解答】由分析可得： 25.12÷3.14＝8（cm） 25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 综上所述：先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是8cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是20.56cm。 易错点3：计算半圆的周长漏加直径 【典例3】半圆的半径是4cm，求它的周长。（π取3.14） 【错误答案】C = πr = 3.14 × 4 = 12.56cm。 【错解分析】半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，学生漏加了直径。 【正确答案】半圆周长 = πr + 2r = 3.14 × 4 + 8 = 12.56 + 8 = 20.56cm。 【易错专练1】在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是（ ）cm，周长是（ ）cm。 【答案】5 25.7 【分析】在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，则最大的半圆直径是长方形的长10cm，则半径为5cm，根据半圆周长＝计算得出半圆的周长。 【解答】10÷2＝5（cm） 3.14×5＋2×5 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 在一张长10cm、宽6cm的长方形纸片中剪出一个最大的半圆，这个半圆的半径是5cm，周长是25.7cm。 【易错专练2】一个圆形纸片的周长是62.8cm，把它平均分成两个半圆，得到的其中一个半圆的周长是（ ）。 【答案】51.4cm 【分析】用圆的周长公式：C＝πd的逆运算，计算圆的直径；再利用半圆的周长的计算方法：圆的周长的一半加直径，计算半圆的周长。 【解答】62.8÷3.14＝20（cm） 62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 得到的其中一个半圆的周长是51.4cm。 【易错专练3】在一张长16厘米，宽12厘米的长方形纸里，最多可以剪（ ）个半径是1厘米的圆。如果在这张长方形纸里剪一个最大的半圆，该半圆的周长应该是（ ）厘米。 【答案】48 41.12 【分析】如果圆的半径是1厘米，则直径是2厘米，要看长方形纸能剪多少个圆，则用16÷2即可求出长有多少个2厘米，再用12÷2算出宽有多少个2厘米，最后用乘法计算出最多可以剪出多少个半径是1厘米的圆；如果在这张长方形纸里剪一个最大的半圆，则半圆的直径是16厘米，半圆的周长相当于圆周长的一半加上直径，根据圆周长公式，则用3.14×16÷2＋16即可求出半圆的周长；据此解答。 【解答】1×2＝2（厘米） （16÷2）×（12÷2） ＝8×6 ＝48（个） 3.14×16÷2＋16 ＝25.12＋16 ＝41.12（厘米） 最多可以剪48个半径是1厘米的圆。该半圆的周长应该是41.12厘米。 【点评】本题主要考查了长方形和圆的关系以及圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【易错专练4】利用圆规，先把下面的圆画完整，再求出半圆的周长。 【答案】见详解；10.28cm 【分析】半圆所在圆的直径为4cm，根据直径是半径的2倍求出半径，找到圆心，把圆画完整，再根据半圆的周长（C＝πd）是圆周长的一半＋直径，据此解答。 【解答】半径：4÷2＝2（cm） 以此画图，如图： 3.14×4÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 这个半圆的周长是10.28cm。 【易错专练5】爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，需要多长的篱笆？现在为了节约成本，把其中一面靠墙，菜地现在需要多长的篱笆？ 【答案】25.7米；15.7米 【分析】根据题意可知，第一问，求直径是10米的半圆的周长，半圆周长＝πd÷2＋d，第二问中，有一面靠墙，那么篱笆的长度就是直径是10米的圆的周长的一半，即πd÷2，据此解答。 【解答】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（米） 3.14×10÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（米） 答：在空地上需要篱笆25.7米；一面靠墙，菜地现在需要篱笆15.7米。 易错点4：圆的面积公式与周长混淆 【典例4】圆的半径是5cm，求它的面积。（π取3.14） 【错误答案】S = 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm²。 【错解分析】错误使用了周长公式计算面积。 【正确答案】S = πr² = 3.14 × 5² = 78.5cm²。 【易错专练1】用圆规画圆，已知圆规两脚张开的距离是3厘米，则所画圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】6 18.84 28.26 【分析】画圆时，圆规两脚张开的距离就是圆的半径，再根据直径＝半径×2，据此求出直径；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【解答】3×2＝6（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 用圆规画圆，已知圆规两脚张开的距离是3厘米，则所画圆的直径是6厘米，周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。 【易错专练2】在一块长6米，宽4米的长方形铁板上截下一块最大的半圆形铁板，半圆形铁板的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。 【答案】15.42 14.13 【分析】 如图，半圆的直径＝长方形的长，根据半圆的周长＝圆周率×直径÷2＋直径，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。 【解答】3.14×6÷2＋6 ＝18.84÷2＋6 ＝9.42＋6 ＝15.42（米） 3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 半圆形铁板的周长是15.42米，面积是14.13平方米。 【易错专练3】冰壶被称作“冰上溜石”或“冰上国际象棋”，是冬奥会比赛项目之一。冰壶底面直径约是30cm，周长约是（ ）cm，面积约是（ ）cm2。 【答案】94.2 706.5 【分析】已知冰壶底面直径约是30cm，根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出它的周长和面积。 【解答】3.14×30＝94.2（cm） 3.14×（30÷2）2 ＝3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（cm2） 周长约是94.2cm，面积约是706.5cm2。 【易错专练4】计算下面各圆的面积。      【答案】78.5平方分米；314平方厘米 【分析】根据圆的面积＝，第一个圆的半径为5分米，第二个圆的直径为20厘米，则半径为10厘米，据此计算得出答案。 【解答】第一个圆的面积为： （平方分米） 圆的面积是78.5平方分米。 第二个圆面积为： （平方厘米） 圆的面积是314平方厘米。 【易错专练5】根据下面的条件，求各圆的面积。 （1）r＝4cm （2）d＝1.4dm （3）C＝6.28cm 【答案】（1）50.24cm2 （2）1.5386dm2 （3）3.14cm2 【分析】（1）已知圆的半径，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； （2）已知圆的直径，先根据r＝d÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； （3）已知圆的周长，先根据r＝C÷π÷2，求圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 【解答】（1）3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 圆的面积是50.24cm2。 （2）3.14×（1.4÷2）2 ＝3.14×0.72 ＝3.14×0.49 ＝1.5386（dm2） 圆的面积是1.5386dm2。 （3）6.28÷3.14÷2＝1（cm） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（cm2） 圆的面积是3.14cm2。 易错点5：环形面积计算错误 【典例5】一个环形，外圆半径6cm，内圆半径4cm，求环形的面积。 【错误答案】S = π(R - r)² = 3.14 × (6-4)² = 12.56cm²。 【错解分析】环形面积公式应为外圆面积减内圆面积，而非半径差的平方。 【正确答案】S = πR² - πr² = 3.14 × 6² - 3.14 × 4² = 113.04 - 50.24 = 62.8cm²。 【易错专练1】一个环形，外圆半径是8厘米，内圆半径是5厘米，这个环形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】122.46 【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，用字母表示为S＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【解答】3.14×（82－52） ＝3.14×（64－25） ＝3.14×39 ＝122.46（平方厘米） 所以，这个环形的面积是122.46平方厘米。 【易错专练2】两个不同的同心圆，内圆直径为6是米，外圆直径为10厘米，圆环的面积是（ ）平方厘米。 【答案】50.24 【分析】分别用内圆的直径和外圆直径除以2，求出内圆半径和外圆半径，再根据圆环的面积＝×（－）解答。 【解答】6÷2＝3（厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×（－） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 所以圆环的面积是50.24平方厘米。 【易错专练3】2020年6月21日，在我国境内观测到天文奇观日环食。乐乐把自己看到的日环食画下来（如图），内圆、外圆直径分别是10厘米，12厘米，则图中圆环的面积是（ ）平方厘米。 【答案】34.54 【分析】圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积。圆的面积公式为 S＝πr2，其中r是圆的半径，将数据代入公式计算出结果即可。 【解答】外圆的半径＝12÷2＝6（厘米）外圆的面积＝π×62＝36π（平方厘米） 内圆的半径＝10÷2＝5（厘米）；内圆的面积＝π×52＝25π（平方厘米） 圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积＝36π－25π＝11π＝11×3.14＝34.54（平方厘米） 则图中圆环的面积是34.54平方厘米。 【易错专练4】计算下图阴影部分的面积。 【答案】251.2 cm2 【分析】圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此解答即可。 【解答】3.14×（122－82） ＝3.14×（144－64） ＝3.14×80 ＝251.2（cm2） 【易错专练5】玉壁最早产生于距今约五、六千年前的新石器时代，是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一。有一块环形玉璧，尺寸如图要为这个玉壁做一个同规格的环形保护垫，保护垫一面的面积是多少？ 【答案】172.7平方厘米 【分析】圆环的面积可以通过计算外圆的面积减去內圆面积得到。题目中给出了外圆的半径为8厘米，內圆的半径为8－5＝3厘米，圆的面积＝πr2，分别计算出外圆和內圆的面积，然后再将外圆的面积减去內圆的面积得到整个圆环的面积。 【解答】外圆的面积＝π×82＝3.14×64＝200.96（平方厘米） 內圆的面积＝π×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 圆环的面积＝200.96－28.26＝172.7（平方厘米） 答：保护垫一面的面积是172.7平方厘米。 易错点6：圆周率π的取值不准确 【典例6】圆的半径是7cm，求周长。（题目要求π取3.14） 【错误答案】C = 2πr = 2×3.1416×7≈ 43.9824cm。 【错解分析】题目明确π取3.14，但学生使用了更精确的π值。 【正确答案】C = 2×3.14×7 = 43.96cm。 【易错专练1】中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】2.28平方米 【分析】根据圆的面积S＝πr2 可知，r2 ＝S÷π。从图中可知，圆的直径就是大正方形的边长，而大正方形的面积＝边长×边长＝r×r＝r2  ；小正方形的面积可以看出两个等腰直角三角形组成，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个三角形的面积，再乘2即可求出小正方形的面积；最后用圆形的面积减去小正方形的面积即可。 【解答】解：设圆半径为r。 r2＝6.28÷3.14＝2（平方米） 2r×r÷2＝r2＝2（平方米） 2×2＝4（平方米） 6.28－4＝2.28（平方米） 答：整个图形中所有空白部分的面积是2.28平方米。 【易错专练2】下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小敏沿外圈跑一周，小露沿内圈跑一周，小敏比小露多跑多少米？（π取3.14） 【答案】31.4米 【分析】两边弯道可以拼成一个完整的圆，跑一周的长度＝圆的周长＋直道×2，直道长度一样，求出内外两个圆的周长差即可，圆的周长＝2×圆周率×直径，据此列式解答。 【解答】2×3.14×20－2×3.14×15 ＝125.6－94.2 ＝31.4（米） 答：小敏比小露多跑31.4米。 【易错专练3】军军以每分钟62.8米的速度绕一个圆形体育场步行一周，恰好用了5分钟。这个体育场的面积是多少？（取3.14） 【答案】7850平方米 【分析】先根据“路程＝速度×时间”求出圆形体育场的周长，再利用“”求出圆形体育场的半径，最后根据“”求出这个圆形体育场的面积，据此解答。 【解答】62.8×5＝314（米） 314÷3.14÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：这个体育场的面积是7850平方米。 【易错专练4】一个圆形花坛半径是20米，将它改造成一个正方形花坛，但不改变花坛的周长。改变后花坛的面积是多少平方米？取 【答案】900平方米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出圆形花坛的周长；将它改造成一个正方形花坛，但不改变花坛的周长，根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出正方形花坛的边长，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。 【解答】3×20×2÷4 ＝60×2÷4 ＝120÷4 ＝30（米） 30×30＝900（平方米） 答：改变后花坛的面积是900平方米。 【点评】熟练掌握圆的周长公式、正方形周长公式、正方形面积公式是解答本题的关键。 【易错专练5】李叔叔购置了一款可折叠的餐桌（如图）。这款餐桌完全展开后，桌面面积是多少平方米？（π取3） 【答案】0.95平方米 【分析】根据题意可知，桌面是一个长是100cm，宽是20cm的长方形面积＋半径为（100÷2）cm圆的面积，根据长方形面积公式：长×宽；圆的面积公式：π×半径2，代入数据，即可解答。 【解答】100×20＋3×（100÷2）2 ＝2000＋3×502 ＝2000＋3×2500 ＝2000＋7500 ＝9500（cm2） 9500cm2＝0.95m2 答：桌面面积是0.95平方米。 【点评】本题考查长方形面积公式，圆的面积公式的应用，关键是熟记公式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$