精品解析：2025年内蒙古包头市青山一中中考三模数学试题

初三年级数学学科适应性训练（七） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置． 请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫U形磁铁．下图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中，设小明出发第时的速度为，离家的距离为，与之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小明出发第分钟时离家 B. 跑步过程中，小明离家的最远距离为 C. 当时，与之间的函数表达式为 D. 小明出发第分钟时，开始按原路返回 7. 如图，矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点三点共线时，交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ） （1）当时，此抛物线图象关于轴对称； （2）若点，点在此函数图象上，则； （3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则； （4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 在x2+（ ）+4=0的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根． 10. 如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原自动扶梯的坡角，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了的长度且的长度为米，则自动扶梯的高度为______．（结果精确到米，参考数据：） 11. 如图，在扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为_______________． 12. 如图，在中，对角线和相交于点O， ．延长至点E，连接交于点F，其反向延长线交于点H，若，则的值为______． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. （1）计算：． （2）化简求值：，其中． 14. 尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任．为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查．将调查结果绘制成如下统计图表．请阅读相关信息，解答下列问题： 健康统计表 岁 岁 岁 80岁及以上 良好 一般 较差 （1）参与本次调查的老年人共有多少人？有“医疗服务”需求的老年人有多少人？ （2）已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数； （3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议？（写出一条即可） 15. 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 时间 5 10 15 20 25 … 水量 18 33 48 a 78 … 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． （1）探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间x的函数关系？请求出该解析式并写出漏记的a值； （2）应用：成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数． 16. 如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD （1）试说明点D在⊙O上； （2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE，求证：BE为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长. 17. 如图，已知菱形， E为对角线上一点． [建立模型] （1）如图1，连结．求证：． [模型应用] （2）如图2， F是DE延长线上一点，，交于点G． ①判断的形状，并说明理由． ②若G为的中点，且， 求的长． [模型迁移] （3）F是延长线上一点，，交射线于点G，且，．求的值． 18. 已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． （1）求二次函数的解析式并写出D点坐标； （2）点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科适应性训练（七） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置． 请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：148亿． 故选：B． 2. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫U形磁铁．下图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的意义，画图解答即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】根据题意，得其左视图为， 故选B． 3. 已知不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集求参数，负指数幂的计算，掌握不等式的性质，数轴表示解集，负指数幂的运算是关键，根据不等式的性质运用含的式子表示不等式的解集，结合数轴的特点得到的值，代入计算即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 由数轴特点得到公共部分为不等式的解集，即， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方运算法则、同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、a÷a= a，本选项错误； B、（a）=a，本选项错误； C、，本选项正确； D、，本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、同底数幂的除法法则以及完全平方公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 5. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出最后球在乙手上的的情况，即可得最后球在乙手上的概率． 【详解】解：用甲→乙→丙表示一种传球方法， 所有传球方法共有：甲→乙→甲； 甲→乙→丙； 甲→丙→甲； 甲→丙→乙； 则共有4种传球方法，最后球在乙手上的有1种情况， ∴最后球在乙手上的概率为， 故选：A 6. 小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中，设小明出发第时的速度为，离家的距离为，与之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小明出发第分钟时离家 B. 跑步过程中，小明离家的最远距离为 C. 当时，与之间的函数表达式为 D. 小明出发第分钟时，开始按原路返回 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与行程的数量关系，理解函数图象，行程问题的数量关系是关键． 当时，速度为，由行程数量关系可判定A选项；根据图示，分别算出每段的路程，由于是往返，总路程除以2即可判定B选项；根据行程中的数量关系可判定C选项；根据题意得到第分钟时的路程，结合此次行程最远路程判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：当时，速度为， ∴小明出发第分钟时，，故A选项正确，不符合题意； 当时，速度为，当时，速度为， ∴小明离家的距离依次为：， ∴，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，小明的路程为，此时小明未到达最远处，没有原路返回，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 7. 如图，矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点三点共线时，交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，可证，，，，设，则，在中由勾股定得到，根据正切值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∵点三点共线 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正切值的计算，掌握矩形与折叠的性质，正切值的计算方法是关键． 8. 已知二次函数，下列说法中正确的个数是（ ） （1）当时，此抛物线图象关于轴对称； （2）若点，点在此函数图象上，则； （3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则； （4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得 m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④． 【详解】解：（1）当时，， ∴抛物线的对称轴为y轴， 此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确； （2）∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点，点在此函数图象上，且， ∴，故该项错误； （3）若此抛物线与直线有且只有一个交点， 则令， 整理得， ∴ 解得，故该项错误； （4）∵ ∴顶点为， ∴抛物线的顶点在直线上， ∵直线与直线平行， ∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等． 设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为， 则， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴两直线间的距离为，故该项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 在x2+（ ）+4=0的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根． 【答案】（只写一个即可） 【解析】 【分析】设方程为x2+kx+4=0，根据方程有两个相等的实数根可知∆=0，据此列式求解即可． 【详解】设方程为x2+kx+4=0，由题意得 k2-16=0， ∴k=±4， ∴一次项为（只写一个即可）． 故答案为（只写一个即可）． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 10. 如图，某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，原自动扶梯的坡角，已知改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，改造后的斜坡式自动扶梯的水平距离增加了的长度且的长度为米，则自动扶梯的高度为______．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质用a表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解∶在中，设米， ， (米) 米， (米)． 在中， ， ， 解得∶． 经检验：是原方程的解． 故答案为：米． 11. 如图，在扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到，从而得到，利用弧长公式求得扇形的半径，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵的长为， ∴， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，弧长、扇形的面积，等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形是解题的关键． 12. 如图，在中，对角线和相交于点O， ．延长至点E，连接交于点F，其反向延长线交于点H，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理证明，可得，证明是菱形，设 中点G，连接，可得是的中位线，得到，进一步求出，即得，再由，可得，最后证明，得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， 又， 在中，， ， 即， 是菱形， ， 设 中点G，连接， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. （1）计算：． （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的加减乘除混合运算． （1）根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可； （2）括号内通分并利用同分母分式的减法计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 14. 尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任．为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查．将调查结果绘制成如下统计图表．请阅读相关信息，解答下列问题： 健康统计表 岁 岁 岁 80岁及以上 良好 一般 较差 （1）参与本次调查的老年人共有多少人？有“医疗服务”需求的老年人有多少人？ （2）已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数； （3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议？（写出一条即可） 【答案】（1）1200，660 （2）6120人 （3）根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建议合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，扇形统计图和条形统计图信息关联，样本估计总体，提出决策，熟练掌握样本容量，样本估计总体是解题的关键． （1）根据样本容量等于所有的频数和解答即可，列式解答即可； （2）利用样本估计总体的思想列式解答即可； （3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，选择一条解答即可． 【小问1详解】 解：根据样本容量等于所有的频数和，列式得： （人）， 根据题意，得（人）， 故答案为：1200，660． 【小问2详解】 解：根据题意，得该地区健康状况较差的老年人人口数为：（人）． 故估计该地区健康状况较差的老年人人口数为6120人． 【小问3详解】 解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量． 15. 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 时间 5 10 15 20 25 … 水量 18 33 48 a 78 … 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． （1）探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间x的函数关系？请求出该解析式并写出漏记的a值； （2）应用：成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数． 【答案】（1）能准确的反映水量与时间的函数关系， （2）72天 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据表格中数据特点进行分析，即可得到水量与时间的函数关系，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）先算出时间，再将时间代入（1）中与的函数关系式中求解得到一个月的漏水量，进而求出饮用的天数，即可解题． 【小问1详解】 解：，，， 不能准确的反映水量与时间的函数关系， 能准确的反映水量与时间的函数关系， 根据表中数据有， 解得， ； 【小问2详解】 解：（）， 当时，， 当时，， （天）， 答：可供一位成年人饮用天． 16. 如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD （1）试说明点D在⊙O上； （2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE，求证：BE为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长. 【答案】（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠C=90°， ∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD， ∴△ABC≌△ABD， ∴∠ADB=∠C=90°， ∴点D在以AB为直径的⊙O上； （2）∵△ABC≌△ABD， ∴AC=AD， ∵AB2=AC•AE， ∴AB2=AD•AE，即， ∵∠BAD=∠EAB， ∴△ABD∽△AEB， ∴∠ABE=∠ADB=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴BE是⊙O的切线； （3）EF= 【解析】 【分析】（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得； （2）由AB=AD知AB2=AD•AE，即，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证； （3）由知DE=1、BE=，证△FBE∽△FAB得，据此知FB=2FE，在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°， ∴AB=， ∵， ∴， 解得：DE=1， ∴BE=， ∵四边形ACBD内接于⊙O， ∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC， 又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠DBE=∠BAE， ∴∠FBE=∠BAC， 又∠BAC=∠BAD， ∴∠FBE=∠BAD， ∴△FBE∽△FAB， ∴，即， ∴FB=2FE， 在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2， ∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2， 整理，得：3EF2-2EF-5=0， 解得：EF=-1（舍）或EF=， ∴EF=． 17. 如图，已知菱形， E为对角线上一点． [建立模型] （1）如图1，连结．求证：． [模型应用] （2）如图2， F是DE延长线上一点，，交于点G． ①判断的形状，并说明理由． ②若G为的中点，且， 求的长． [模型迁移] （3）F是延长线上一点，，交射线于点G，且，．求的值． 【答案】 （1）证明：由菱形的性质可知，，， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，进而结论得证； （2）①由，可得，则，由，可得，即，进而可判断的形状；②如图2，过作于，过作的延长线于，，，，，由，可得，求的值，在中，由勾股定理得，求解即可； （3）解：如图3，连接交于，过作于，由题意，设，则，在中，由勾股定理得，则，由菱形的性质得，，，由，，可得，即，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，则，由，求解得的值，由求的值，根据求的值，进而可得的值． 【详解】（1）略； （2）①略． ②如图2，过作于，过作的延长线于， 由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 在中，由勾股定理得， ∴的长为； （3）解：如图3，连接交于，过作于， 由题意，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 由菱形的性质得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得，即， ∵，即，解得， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正切，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18. 已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． （1）求二次函数的解析式并写出D点坐标； （2）点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 【答案】（1），D点坐标为； （2）点Q的坐标为； （3），四边形的最短周长为． 【解析】 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $