精品解析：湖南省长沙市明德教育集团联考2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

明德教育集团七年级期末考试 七年级数学试卷24-25学年第二学期 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数，先化简实数，再根据无理数的定义判断即可，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴实数、、、、、中，无理数有和，共个， 故选：． 2. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 B. 审查某篇文章中的错别字数，采用抽样调查方式 C. 了解一批手机电池的使用寿命，采用全面调查方式 D. 了解福州市一中学某班学生对研学活动的满意度，采用全面调查方式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可． 【详解】解：A、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，本选项说法不合适； B、审查某篇文章中的错别字数，采用全面调查方式，本选项说法不合适； C、了解一批手机电池的使用寿命，采用抽样调查方式，本选项说法不合适； D、了解福州市一中学某班学生对研学活动的满意度，采用全面调查方式，本选项说法合适； 故选：D． 3. 如果a＜b，那么下列结论一定正确的是(    ) A. a-3＞b-3 B. 3-a＞3-b C. ac2＜bc2 D. 2a2＜2b2 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质得出，不等式的两边同时加上或减去一个数不等式仍然成立，不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，分别分析即可得出答案． 【详解】∵a＜b， A．根据不等式的两边同时加上或减去一个数不等式仍然成立，∴a-3＜b-3，故此选项错误； B．根据不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变， ∴-a＞-b，再利用不等式的两边同时加上或减去一个数不等式仍然成立， ∴3-a＞3-b，故此选项正确； C．根据不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不改变，∵c 2可能等于0，∴ac2＜bc2，不一定成立，故此选项错误； D．根据不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，当a，b都小于0时，2a2＞2b2，故此选项错误． 故选B． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，熟练应用不等式的性质特别是不等式两边乘以一个负数时不等号的方向改变是解决问题的关键，此知识点是易错点． 4. 小明家位于公园的正东方向处，从小明家出发向北走就到小华家，若选取公园所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则小华家的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了坐标确定位置，根据已知建立平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系如下： ∴小华家的坐标是， 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 三角形的一个外角等于两个内角的和 D. 同一平面内则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定、平行公理、三角形外角性质及角的计算，需逐一分析各选项的正确性. 【详解】解：同位角相等，两直线平行， 根据平行线判定定理，同位角相等时，两直线必定平行，故选A正确； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行， 平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；若该点在已知直线上，则不存在平行线，选项未限定“直线外一点”，故选项 B错误； 三角形的一个外角等于两个内角的和， 三角形外角性质为一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，选项未强调“不相邻”，表述不完整，故选项C错误； 同一平面内则， 若在外部，；若在内部，则，因位置未明确，结论不唯一，故选项 D错误。 综上，故选项为：A. 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．根据，即可求出点C的坐标． 【详解】解：将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ，， 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ， 故点C的坐标为． 故选C． 7. 超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如下频数分布直方图和折线图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车有（ ） A. 20辆 B. 30辆 C. 50辆 D. 10辆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查读频数分布折线图的能力和利用统计图获取信息的能力，根据图中的信息，找到符合条件的数据，再进一步计算即可． 【详解】解：根据所给出的折线统计图可得： 超过限速的有：（辆）． 故选：C． 8. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设1头牛两银子，1只羊两银子， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 9. 数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 10. 如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC； 其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【详解】(1)∵AD平分△ABC的外角∠EAC ∴∠EAD=∠DAC， ∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC， 故①正确． (2)由(1)可知AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABC=2∠ADB， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=2∠ADB， 故②正确． (3)在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180° ∴∠ADC+∠ABD=90° ∴∠ADC=90°-∠ABD， 故③正确， (4)如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC 故④错误． (5)∵∠BAC+∠ABC=∠ACF， ∴∠BAC+∠ABC=∠ACF， ∵∠BDC+∠DBC=∠ACF， ∴∠BAC+∠ABC=∠BDC+∠DBC， ∵∠DBC=∠ABC， ∴∠BAC=∠BDC，即∠BDC=∠BAC. 故⑤正确． 故答案为①②③⑤． 点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟记各个性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “x与y的差是正数”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据题中叙述以及正数大于0列出不等式即可． 【详解】解：“x与y的差是正数”用不等式表示为， 故答案为：． 12. 如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 13. 已知，是二元一次方程组的解，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】将代入方程组中，转化为解二元一次方程组，利用加减消元法解答． 详解】解：将代入方程组中，得 由①+②得 故答案为：9． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，涉及整体思想，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14. 如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；根据三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：其蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 15. 一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形最大内角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设三角形的三个内角的度数分别为，根据三角形内角和定理列出方程求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的三个内角的度数分别为， 由题意得，， 解得， ∴最大内角的度数为， 故答案为：． 16. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 解得：， 的取值范围为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，绝对值．首先计算算术平方根和立方根，绝对值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，小大大小找不到的规律即可求得不等式组的解集，把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①， 去括号得， 移项合并得， 解不等式②， 去分母得， 移项合并得， 解得 ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示解集如下： 【点睛】本题考查了解不等式组并把解集在数轴上表示，解题的关键熟练掌握解不等式，并会运用不等式组解集规律找出解集． 19. 如图，中，，是的角平分线． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，的面积为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和．熟练掌握角平分线的性质和三角形内角和是解题的关键． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线的性质得到； （2）由点是中点，得到，结合面积为，根据三角形面积公式求出即可． 【小问1详解】 解：， ， 是的角平分线． ∴； 【小问2详解】 解：是中点， ， ∵， ∴， ． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 【答案】（1）200， （2）见解析 （3）336人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体， （1）根据喜爱哪吒的有72人，占36%，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有30人除以此次调查的学生数乘以360度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数； （2）用此次调查的学生总人数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数； （3）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有56人除以此次调查的学生人数乘以1200即可． 【小问1详解】 解：此次调查的学生人数为：（人）， 扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为：， 故答案为：200，． 【小问2详解】 解：喜欢殷夫人的人数为：， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为336人． 21. 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． （1）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （2）在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】（1）该三角形最短边的最小值4； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； 【小问2详解】 解：设， 由题意可得：， 解得：． 22. 国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专实店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ 【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车． 【解析】 【分析】（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买A型车a辆，且A型号车不少于2辆，则购买B型车辆，依题意列出相应不等式，求出整数解即可． 【详解】（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元， 则根据题意可得：， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）设购买A型车a辆，则购买B型车辆，则依题意得 ，且， 解得：， ∵a是正整数， ∴或， 共有两种方案： 方案一：购买2辆A型车和4辆B型车； 方案二：购买3辆A型车和3辆B型车． 【点睛】题目主要考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题意列出相应的方程是解题关键． 23. 【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 【答案】操作发现：垂直（或）；垂直（或）； C 解决问题：详见解析 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，角平分线的定义，理解题意，熟练掌握折叠的性质，平行线的判定是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质及判定作答即可． 【详解】解：操作发现：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是；第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ∵，， ∴， ∴同位角相等，两直线平行 ∵，， ∴， ∴内错角相等，两直线平行 ∴小明画平行线的依据有同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 故答案为：垂直（或）；垂直（或）；． 解决问题：，理由如下： 由操作发现可得，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ 24. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【小问1详解】 解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）如图1，若正数的立方根等于它本身，，则点坐标为______，线段长度为______，的面积为______； （2）在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； （3）点为线段上一点（不与两点重合），点为线段上一点（不与两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，连接，交于点，记的面积为的面积为的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1），5，10； （2）或 （3）①；②是定值，定值为1， 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，立方根的性质，非负数的性质，平行线的性质与三角形面积： （1）根据立方根的意义求出，由非负数的性质得出进一步求出，得到，由三角形面积公式可得； （2）根据列出方程求解即可； （3）①过点Q作，交于点F，求出，由可得，；②设，求出代入可得结论 【小问1详解】 解：∵正数的立方根等于它本身， ∴ ∵，且， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5；10； 【小问2详解】 解：，， ∴， 解得，或， ∴或 【小问3详解】 解：①过点Q作，交于点F，如图， 设， ∵ ∴ ∴ ∴① 在中，② 由①②可得：； ②设， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 所以，是定值，为1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德教育集团七年级期末考试 七年级数学试卷24-25学年第二学期 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 B. 审查某篇文章中的错别字数，采用抽样调查方式 C. 了解一批手机电池的使用寿命，采用全面调查方式 D. 了解福州市一中学某班学生对研学活动的满意度，采用全面调查方式 3. 如果a＜b，那么下列结论一定正确的是(    ) A. a-3＞b-3 B. 3-a＞3-b C. ac2＜bc2 D. 2a2＜2b2 4. 小明家位于公园的正东方向处，从小明家出发向北走就到小华家，若选取公园所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则小华家的坐标是（ ） A B. C. D. 5. 下列说法正确是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 三角形的一个外角等于两个内角的和 D 同一平面内则 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如下频数分布直方图和折线图，若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车有（ ） A. 20辆 B. 30辆 C. 50辆 D. 10辆 8. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC； 其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “x与y的差是正数”用不等式表示为________． 12. 如图，面积为2正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______． 13. 已知，是二元一次方程组的解，则的值为_________． 14. 如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是________． 15. 一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形最大内角的度数是______． 16. 已知，，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，中，，是的角平分线． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，的面积为，，求的长． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 21. 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． （1）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （2）在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 22. 国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专实店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ 23. 【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 24. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中_______（填序号）“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）如图1，若正数的立方根等于它本身，，则点坐标为______，线段长度为______，的面积为______； （2）在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； （3）点为线段上一点（不与两点重合），点为线段上一点（不与两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，连接，交于点，记的面积为的面积为的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $