专题 1-6 全称量词与存在量词 【10类题型】-【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版2019）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-6 全称量词与存在量词 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型2】 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【题型3】全称量词命题的否定 【题型4】存在量词命题的否定 模块二 中档题突破：恒（能）成立问题初步（不涉及基本不等式与对钩） 【题型5】判别式法 【题型6】参变分离思想 【题型7】恒成立问题与充分必要条件结合 【题型8】集合与全称命题结合求参数范围 【题型9】恒成立问题之分类讨论法 【题型10】变更主元法（选讲，涉及一元二次不等式） 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】全称量词命题、存在量词命题的理解与辨析 基础知识 1、全称量词与全称命题 （1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （3）全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 2、特称量词与特称命题 （1）全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． （3）存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【巩固练习2】（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【巩固练习3】（多选）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．能被5整除的整数都是偶数 B．有的偶数是质数 C．梯形的对角线相等 D．某些平行四边形不是菱形 【题型2】 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 基础知识 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 3、一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 【例题1】下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 【巩固练习1】下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【巩固练习2】（多选）下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【题型3】全称量词命题的否定 基础知识 全称命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 【例题1】命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【巩固练习3】（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【题型4】存在量词命题的否定 基础知识 存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 2、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 【例题1】命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（    ） A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相等 C．锐角三角形的三个内角都不相等 D．锐角三角形的三个内角不都相等 【巩固练习1】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习3】关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 模块二 中档题突破：恒（能）成立问题初步（不涉及基本不等式与对钩） 【题型5】判别式法 解题技巧 一元二次不等式在R上的恒（能）成立问题 1、 方法是通过二次函数的图像来理解. 2、 若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 3、 若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 4、 若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 思考：若存在x，使得ax2+bx+c>0成立，则应该满足什么条件？（求对立，再取补集） 【例题1】已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例题2】若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【巩固练习2】若命题p：“，”是假命题，则实数a的取值集合为________． 【巩固练习3】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【巩固练习4】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是__________． 【题型6】参变分离思想 解题技巧 不等式在某区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【例题2】（多选）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习1】已知“，”为真命题，则实数的取值范围为________ 【巩固练习2】对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【巩固练习3】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【题型7】恒成立问题与充分必要条件结合 【例题1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【题型8】集合与全称命题结合求参数范围 解题技巧 命题 集合 是真命题，则 （即集合A是集合B的子集） 是真命题，则 【例题1】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数m的取值范围;(2)若命题“，”是真命题，求实数m的取值范围. 【例题2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题；命题. (1)若，试判断命题的真假；(2)若中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【巩固练习1】已知集合，，且，若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【巩固练习2】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【巩固练习4】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围;(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【题型9】恒成立问题之分类讨论法 【例题1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·华中师范大学第一附属中·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型10】变更主元法（选讲，涉及一元二次不等式） 解题技巧 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 一般来说，这类问题的特点是给出参数范围求x的范围 【例题1】对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【巩固练习1】已知，不等式恒成立，求的取值范围。 【巩固练习2】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【巩固练习3】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 模块三 【课后训练】 1． 命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，使，则命题p的否定为 ；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为 ． 2． 已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3． 已知命题，.若为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4． （多选）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 5． 已知“，”为真命题，则实数的取值范围为________ 6． 已知命题p：“，”是假命题，则实数的取值范围是________． 7． 已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 8． 已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 9． 已知集合，. (1)若，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 10． 已知集合，，且 (1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． (2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围． 11． （24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 12． （24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 13 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-6 全称量词与存在量词 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型2】 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【题型3】全称量词命题的否定 【题型4】存在量词命题的否定 模块二 中档题突破：恒（能）成立问题初步（不涉及基本不等式与对钩） 【题型5】判别式法 【题型6】参变分离思想 【题型7】恒成立问题与充分必要条件结合 【题型8】集合与全称命题结合求参数范围 【题型9】恒成立问题之分类讨论法 【题型10】变更主元法（选讲，涉及一元二次不等式） 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】全称量词命题、存在量词命题的理解与辨析 基础知识 1、全称量词与全称命题 （1）全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （3）全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对． 2、特称量词与特称命题 （1）全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． （3）存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对． 下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质， 故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题， 故选：D． 【巩固练习1】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【解析】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 【巩固练习2】（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【答案】ACD 【解析】根据全称量词命题的概念，选项ACD都是全称量词命题，选项B是存在量词命题.故选：ACD 【巩固练习3】（多选）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．能被5整除的整数都是偶数 B．有的偶数是质数 C．梯形的对角线相等 D．某些平行四边形不是菱形 【答案】BD 【解析】AC是全称量词命题，BD是存在量词命题．故选：BD. 【题型2】 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 基础知识 1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 3、一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 【例题1】下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 【答案】C 【解析】对于A，显然，使成立，故A为真命题； 对于B，显然，使得成立，故B为真命题； 对于C，显然时，，故C为假命题； 对于D，显然所有菱形均是平行四边形，故D为真命题.故选：C 【巩固练习1】下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【解析】A.所有正方形都是矩形为全称量词命题，故A错误； B.，使为存在量词命题，，方程无解，该命题为假命题，故B错误； C.至少有一个实数，使为存在量词命题，当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D. ，使为存在量词命题，无解，故D错误； 故选：C 【巩固练习2】（多选）下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，所以，选项A是假命题； 对于B，时，，所以选项B是真命题； 对于C，由，得，所以选项C是真命题； 对于D，时，，所以选项D是假命题．故选：BC． 【巩固练习3】（多选）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【答案】ABC 【解析】对于A，，，如，A正确； 对于B，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B正确； 对于C，是无理数，是无理数，如，C正确； 对于D，恒成立，即不存在，使得成立，D错误.故选：ABC 【题型3】全称量词命题的否定 基础知识 全称命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ． 正面词语 等于 大于（>） 小于（<） 是 都是 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 常见正面词语的否定举例如下： 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 【例题1】命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题的否定为：.故选：A. 【巩固练习1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：C. 【巩固练习2】若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项， 其中可解得，的否定应是， A选项中，可解得，故A选项错误，C选项正确. 故选：C 【巩固练习3】（多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【解析】对A：该命题的否定为，是全称量词命题， 又，故为真命题，故A符合要求； 对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求； 对C：该命题的否定为，是全称量词命题， 又，故为真命题，故C符合要求； 对D：存在实数，使，故该命题为真命题，则其否定为假命题， 故D不符合要求. 故选：AC. 【题型4】存在量词命题的否定 基础知识 存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 2、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 【例题1】命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（    ） A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相等 C．锐角三角形的三个内角都不相等 D．锐角三角形的三个内角不都相等 【答案】D 【解析】命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”． 故选：D 【巩固练习1】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在命题的否定为全称命题分析即可. 【详解】命题“”的否定为“”. 【巩固练习2】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】特称量词命题的否定为全称量词命题. 【详解】命题“，”的否定为，. 【巩固练习3】关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（    ） A．：，为假命题 B．：，为真命题 C．：，为真命题 D．：，为真命题 【分析】判断命题的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可. 【详解】因为，故命题为假命题，则为真命题； 又“，”的否定为：“” 模块二 中档题突破：恒（能）成立问题初步（不涉及基本不等式与对钩） 【题型5】判别式法 解题技巧 一元二次不等式在R上的恒（能）成立问题 1、 方法是通过二次函数的图像来理解. 2、 若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 3、 若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 4、 若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 思考：若存在x，使得ax2+bx+c>0成立，则应该满足什么条件？（求对立，再取补集） 【例题1】已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题，使为真命题，则， 解得或， 而命题“，使”是假命题，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 【例题2】若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为.故选：D. 【巩固练习1】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是 【巩固练习2】若命题p：“，”是假命题，则实数a的取值集合为________． 【答案】 【分析】命题与命题的否定真假性相反，分类讨论即可. 【详解】由题知，命题：“，”是假命题 所以，是真命题， 当时，恒成立，满足题意， 当时，由题意知， 解得，综上可得 【巩固练习3】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得，则 【巩固练习4】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下， 此时不等式总是有解，所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 【题型6】参变分离思想 解题技巧 不等式在某区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为 所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【例题2】（多选）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】计算出的范围后，再找其真子集即可得到. 【详解】因为命题“，使”是真命题， 所以大于等于在上的最小值，即， 选项中及都是的充分不必要条件，故BD正确. 【例题3】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离参数法得，只需求出不等式右边的最大值即可． 【详解】，， 设，对称轴为，在上单调递增， 故，即， ，，使得成立， ，，，故 【巩固练习1】已知“，”为真命题，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由题意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得. 【详解】由题意得，又，此时，故. 【巩固练习2】对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【巩固练习3】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以，所以实数的取值范围是 【巩固练习4】已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【分析】根据为假命题，可判断为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可； 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 命题，都有， 为真命题，则，即 命题，使，为真命题，则，即 因为命题、同时为真命题，所以，解得， 故实数m的取值范围是． 【题型7】恒成立问题与充分必要条件结合 【例题1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 所以，故 “”是“”的必要不充分条件. 【例题2】命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，，因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 【巩固练习1】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意命题“，”为真命题，则对恒成立，即可求出的取范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题， 即对恒成立，所以，因为， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 【巩固练习2】（多选）命题“，使”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】计算出的范围后，再找其真子集即可得到. 【详解】因为命题“，使”是真命题， 所以大于等于在上的最小值，即， 选项中及都是的充分不必要条件，故BD正确. 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题的真假，求实数的取值，再根据充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】由题意可知，，为真命题， 当时，，得不成立， 当时，，得， 所以，， 若“”是“”的充分条件， 当时，，得， 当时，，得，综上可知， 【题型8】集合与全称命题结合求参数范围 解题技巧 命题 集合 是真命题，则 （即集合A是集合B的子集） 是真命题，则 【例题1】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若命题“，”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集关系，比较端点值，即可求解； （2）转化为，根据端点值的大小关系列式，即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以 ，解得； （2）因为，所以，得. 因为命题“，”是真命题，所以， 所以，或，得. 综上，. 【例题2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题；命题. (1)若，试判断命题的真假； (2)若中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)都是真命题 (2)或 【分析】（1）代入，即可直接判断； （2）分真假，和假真，两类情况讨论即可. 【详解】（1）当，可得：，真命题； ，满足，真命题， （2）当为真时， 可得：时，满足， 或解得：， 综上：， 若为真， 可得：在上有解，因为， 所以. 因为中恰有一个为真命题， 若真，则，假，则或，取交集可得：， 若假，则则或，真，则，取交集可得：， 综上所述：中恰有一个为真命题，实数的取值范围或. 【巩固练习1】已知集合，，且，若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】若命题：“，”是真命题，则， ，解得 【巩固练习2】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）设全集，集合，集合. (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由充分条件的定义可得，进而建立不等式组，解之即可求解； （2）由题意可得，易知当时符合题意；当时，根据集合的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）∵是的充分条件，∴， 又∵，， ∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为； （2）∵命题“，则”是真命题，∴. ①当时，∴，∴，∴，符合题意； ②当时，∵，，且B是A的子集， ∴，∴，a无解； 综上所述：实数a的取值范围. 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由真包含于构造不等式即可求解； （2）通过与同时为真命题，求范围，再求补集即可. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于 而，显然 于是，解得， 所以的取值范围为； （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 【巩固练习4】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或，故实数m的取值范围为 【题型9】恒成立问题之分类讨论法 【例题1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 【巩固练习1】（24-25高一上·华中师范大学第一附属中·月考）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【题型10】变更主元法（选讲，涉及一元二次不等式） 解题技巧 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 一般来说，这类问题的特点是给出参数范围求x的范围 【例题1】对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：参变分离+分类讨论 由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：变更主元 由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 【巩固练习1】已知，不等式恒成立，求的取值范围。 【答案】或 【详解】解因为时，不等式恒成立，即恒成立。当时，不等式不成立，所以。令(其中为自变量)，，问题转化为在时恒大于0，则解得或。所以的取值范围为或 【巩固练习2】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围． 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立，则满足， 解得，即x的取值范围为 【巩固练习3】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围. 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得，即x的取值范围为． 模块三 【课后训练】 1． 命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可. 【详解】根据全称命题的否定可得，命题“，”的否定为“，”. （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，使，则命题p的否定为 ；若命题p为真命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 ，使 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果；分析可知，结合二次函数性质分析求解. 【详解】因为命题，使，且全称命题的否定是特称命题， 所以命题p的否定为，使； 若命题p为真命题，等价于， 且函数的开口向上，对称轴为， 因为，可知当时，函数取得最小值， 可得，即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：，使；. 2． 已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】【法一：参变分离】由题意得，又，此时，故. 【法二：判别式法】由题意得，0，则△=0+4（1+a）＞0，故 故选：A. 3． 已知命题，.若为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得命题为真时参数的取值范围，再求其补集即可. 【详解】若命题为真，则，解得， 则当命题为假命题时，，故的取值范围是. 4． （多选）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 【答案】AB 【解析】对于A，方程的判别式，故A正确； 对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.故选：AB. 5． 已知“，”为真命题，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由题意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得. 【详解】由题意得，又，此时，故. 6． 已知命题p：“，”是假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，再由不等式恒成立讨论的取值即可求解. 【详解】由题可得“，恒成立”是真命题 当时，则有恒成立，符合题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 7． 已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和命题都是真命题时，实数的取值范围，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题“，”，可得， 因为命题为真命题，所以； 又由命题“，”，可得，解得或， 因为命题和命题都是真命题，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 8． 已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 9． 已知集合，. (1)若，求的取值范围. (2)“命题：，”是假命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，再根据集合关系求解即可； （2）由命题是假命题得，再分和两种情况讨论，从而可得答案. 【详解】（1）解：因为，所以， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上m的取值范围为； （2）解：因为“命题：，”是假命题，所以， 当时，，解得， 当时，则或，解得， 综上的取值范围为. 10． 已知集合，，且 (1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． (2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：是A的真子集，且不是空集，所以，解得； （2）解：，使得，为非空集合且， 所以，即，当时或， 所以或，的取值范围为． 11． （24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可； （2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可. 【详解】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 12． （24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，或． (1)求，； (2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）求出集合然后求其补集即可，求出集合的补集，再求与集合的交集即可. （2）由题意可得，讨论集合是否为空集即可. 【详解】（1）集合，或， 则或，，则 （2），为真命题，即， 又，， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，由可得或，解得， 综上，m的取值范围为：或． 13 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$