第二章 第8节 指、对、幂的大小比较方法（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第二章 函数 第8节　指、对、幂的大小比较方法 题型一　求同存异 【典例】1.设a=0.60.3,b=0.30.3,c=0.30.6,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 【典例】2.若a=log37,b=log940,c=,则(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 【变式训练】1.(2025·广州模拟)已知a=,b=40.6,c=log38,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 【变式训练】2.(2025·北京延庆模拟)设a=log32,b=log96,c=,则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 【知识拓展】糖水不等式 1.教材母题 (人教A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设b>a>0,m>0,则有<. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. 2.对数型糖水不等式 (1)设n∈N+,且n>1,则有logn+1n<logn+2(n+1); (2)设a>b>1,m>0,则有logab<loga+m(b+m); (3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m). 【典例】已知a=3log83,b=-lo16,c=log45,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 题型二　利用特殊值作中间变量 【典例】1.设a=20.7,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 【典例】2.已知a=log32,b=log52,c=3a-1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 【变式训练】1.(2025·南昌模拟)已知a=log25,b=log52,c=,则(　　) A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a 【变式训练】2.已知a=log2,b=log2,c=,则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>c>a 题型三　构造函数比较大小 【典例】1.(2025·青岛模拟)已知正数a,b,c满足aea=bln b=ecln c=1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 【变式训练】1.已知实数a,b满足2a+2a<2b+2b,则a,b的大小关系为(　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.不能确定 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·金华调研)已知a=log42,b=,c=,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 2.(2025·兰州质检)若a=,b=lo,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a<b<c 3.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 4.若实数a,b,c满足a=2sin ,b3=7,3c=10,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 5.(2025·西安调研)设a=log49,b=log25,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>b>a 6.已知实数a>0,且满足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1),若ax-ay<x-y,则下列关系式一定成立的是(　　) A.x+y>0 B.x+y>1 C.x-y>0 D.x-y>1 7.已知a>0,b>0,若ln +ln =-,则(　　) A.2a-b>0 B.2a-b<0 C.a2>b D.a2<b 8.若2a+log2a<22b+log2b+1,则(　　) A.ln(2b-a+1)<0 B.ln(2b-a+1)>0 C.ln|a-2b|>0 D.ln|a-2b|<0 二、多选题 9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是(　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 10.(2025·武汉模拟)若3x+5-y<3y+5-x,则下列关系正确的是(　　) A.x<y B.x3<y3 C.ln x>ln y D.2-x > 11.已知3a=5b=15,则下列结论正确的是(　　) A.lg a>lg b B.a+b=ab C.> D.a+b>4 三、填空题 12.(2025·北京通州区模拟)已知a=2-1.1,b=lo,c=log23,则三者大小关系为　　　　(按从小到大顺序).  13.(2025·石家庄调研)已知a=log34,b=log45,c=log56,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”连接).  14.已知a=log45,b=log34,c=,则三个数a,b,c的大小关系为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数 第8节　指、对、幂的大小比较方法 题型一　求同存异 【典例】1.设a=0.60.3,b=0.30.3,c=0.30.6,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 【答案】D 【解析】因为指数函数y=0.3x在R上为单调递减函数, 所以0.30.3>0.30.6,即b>c, 又幂函数y=x0.3在[0,+∞)上为增函数, 所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c. 【典例】2.若a=log37,b=log940,c=,则(　　) A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 【答案】D 【解析】依题意,a=log37=log949,故a>b; 而a<log39=2<c, 故b<a<c,故选D. 【思维建模】求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 【变式训练】1.(2025·广州模拟)已知a=,b=40.6,c=log38,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 【答案】C 【解析】由于a==21.1>2, b=40.6=21.2>21.1=a>2, c=log38<log39=2, 所以c<a<b. 【变式训练】2.(2025·北京延庆模拟)设a=log32,b=log96,c=,则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 【答案】D 【解析】因为b=log96=lo()2=log3, 且c==log3, 又<2<,函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增, 则log3<log32<log3,所以c<a<b. 【知识拓展】糖水不等式 1.教材母题 (人教A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设b>a>0,m>0,则有<. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. 2.对数型糖水不等式 (1)设n∈N+,且n>1,则有logn+1n<logn+2(n+1); (2)设a>b>1,m>0,则有logab<loga+m(b+m); (3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m). 【典例】已知a=3log83,b=-lo16,c=log45,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 【答案】A 【解析】法一　a=3log83=log827=lo33=log23, b=-lo16=log316=log34. 对任意x>y>0,m>0, -= =>0,即>. 所以a=log23=>= =log3>log34, 即a>b,b=log34=>==log4>log45, 即b>c,所以a>b>c. 法二　a=3log83=log827=lo33=log23, b=-lo16=log316=log34,c=log45, 利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c. 题型二　利用特殊值作中间变量 【典例】1.设a=20.7,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 【答案】D 【解析】由题意知,a=20.7>20=1, b==3-0.7<30=1, 又b>0,所以0<b<1,c=log2<0, 所以c<b<a. 【典例】2.已知a=log32,b=log52,c=3a-1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 【答案】B 【解析】由题意知,c=3 a-1=×=, b=log52<log5=, a=log32>log3=, 又23<32,则2<,a=log32<log3=, 所以b<a<c. 【思维建模】利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,【典例】如log23,可知1=log22<log23<log24=2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,从而便于比较. 【变式训练】1.(2025·南昌模拟)已知a=log25,b=log52,c=,则(　　) A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a 【答案】D 【解析】因为a=log25>log24=2, b=log52<log55=1, 1<c==<=2, 所以b<c<a. 【变式训练】2.已知a=log2,b=log2,c=,则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>c>a 【答案】C 【解析】因为a=log2=>=1, b=log2=log2=-, 0<c=<=1,故a>c>b. 题型三　构造函数比较大小 【典例】1.(2025·青岛模拟)已知正数a,b,c满足aea=bln b=ecln c=1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 【答案】D 【解析】由aea=bln b=ecln c=1, 得ea-=ln b-=ln c-=0, 令函数f(x)=ex-,x>0, 显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 而f=-2<0,f(1)=e-1>0,f(a)=0,则<a<1; 令函数g(x)=ln x-,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, g(2)=ln 2->0, 而g=ln-<ln-=-<0, g(b)=0,则<b<2; 令h(x)=ln x-,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=-<0, h=ln ->ln - =ln->ln e-=0, h(c)=0,则1<c<, 所以a<c<b. 【思维建模】如果要比较大小的数或式子,或题目中所给的条件具有相同的结构特征,则可根据这种结构特征构造函数,然后利用该函数的单调性或其它性质比较大小. 【变式训练】1.已知实数a,b满足2a+2a<2b+2b,则a,b的大小关系为(　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.不能确定 【答案】C 【解析】设f(x)=2x+2x,x∈R, 则f(a)<f(b),因为函数y=2x和y=2x在R上都为增函数, 所以函数f(x)在R上为增函数,所以a<b. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·金华调研)已知a=log42,b=,c=,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 【答案】D 【解析】因为a=log42==, b=<=,c=>π0=1,所以c>a>b. 2.(2025·兰州质检)若a=,b=lo,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a<b<c 【答案】C 【解析】b=lo>lo=1, a== =>==c, 而a=<1,所以b>a>c. 3.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 【答案】C 【解析】因为函数y=为增函数, 所以<,即a<b, 又因为函数y=为增函数, 所以<,即b<c,故c>b>a. 4.若实数a,b,c满足a=2sin ,b3=7,3c=10,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 【答案】A 【解析】因为a=2sin <2sin =1, 又b3=7,则b=,且1<<=2, 即1<b<2, 因为3c=10,所以c=log310>log39=2, 所以c>b>a. 5.(2025·西安调研)设a=log49,b=log25,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>b>a 【答案】A 【解析】因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增, 故b=log25>log23=log49=a>log22=1, 又c====<1, 所以b>a>1>c. 6.已知实数a>0,且满足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1),若ax-ay<x-y,则下列关系式一定成立的是(　　) A.x+y>0 B.x+y>1 C.x-y>0 D.x-y>1 【答案】C 【解析】因为a>0,又函数y=log3x单调递增, 所以3a+2>4a+1,即0<a<1, 对于不等式ax-ay<x-y, 移项整理得ax-x<ay-y, 构造函数h(x)=ax-x,由于h(x)单调递减, 所以x>y,即x-y>0. 7.已知a>0,b>0,若ln +ln =-,则(　　) A.2a-b>0 B.2a-b<0 C.a2>b D.a2<b 【答案】A 【解析】ln+ln =ln =ln a-ln(2b), 则有ln a-ln(2b)=-, 即ln a-=ln(2b)-. 因为ln(2a)->ln a-, ln(2b)->ln b-, 所以ln(2a)->ln b-, 设f(x)=ln x-,其中x>0, 因为函数y=ln x,y=-在(0,+∞)上均为增函数,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则2a>b,即2a-b>0,A正确,B错误,其它选项无法判断. 8.若2a+log2a<22b+log2b+1,则(　　) A.ln(2b-a+1)<0 B.ln(2b-a+1)>0 C.ln|a-2b|>0 D.ln|a-2b|<0 【答案】B 【解析】因为2a+log2a<22b+log2b+1=22b+log2(2b), 令f(x)=2x+log2x,其中x>0, 因为函数y=2x,y=log2 x在(0,+∞)上均为增函数,所以函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数, 因为2a+log2a<22b+log2(2b), 即f(a)<f(2b), 故2b>a>0,则2b-a>0, 所以2b-a+1>1,则ln(2b-a+1)>ln 1=0,A错误,B正确; 无法确定|a-2b|与1的大小,故ln|a-2b|与0的大小无法确定,C,D错误. 二、多选题 9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是(　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 【答案】BC 【解析】对于A,∵0<a<1,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,且b>c>1,∴ba>ca,故A错误; 对于B,∵0<a<1,∴函数y=logax在(0,+∞)上单调递减, 又∵b>c>1,∴logab<logac<loga1=0, ∴0>>, 即0>logba>logca,故B正确; 对于C,∵0<a<1,则a-1<0, ∵幂函数y=xa-1在(0,+∞)上单调递减, 且b>c>1,∴ba-1<ca-1,∴cba<bca,故C正确; 对于D,由选项B可知0>logba>logca, ∴0<-logba<-logca, ∵b>c>1,∴c(-logba)<b(-logca), ∴blogca<clogba,故D错误. 10.(2025·武汉模拟)若3x+5-y<3y+5-x,则下列关系正确的是(　　) A.x<y B.x3<y3 C.ln x>ln y D.2-x > 【答案】ABD 【解析】对于A,因为3x+5-y <3y+5-x, 所以3x-5-x <3y-5-y, 令f(x)=3x-5-x,易得f(x)为增函数, 又f(x)<f(y),故x<y,故A正确; 对于B,因为x<y,函数y=x3在定义域R上单调递增,则x3<y3,故B正确; 对于C,令x=-2,y=-1,则满足x<y, 但ln x,ln y无意义,故C错误; 对于D,因为x<y,故2-x =>,故D正确. 11.已知3a=5b=15,则下列结论正确的是(　　) A.lg a>lg b B.a+b=ab C.> D.a+b>4 【答案】ABD 【解析】由题意得a=log315>log31>0, b=log515>log51=0, 0<=log153,0<=log155, 则0<<,则a>b>0, 对于A,根据对数函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增,则lg a>lg b,故A正确; 对于B,因为+=log153+log155=1, 即=1,则a+b=ab,故B正确; 对于C,因为a>b>0,根据指数函数y=在R上单调递减, 则<,故C错误; 对于D,因为a>b>0,+=1, a+b=(a+b)=2++≥2+2=4, 当且仅当a=b时等号成立,而显然a≠b, 则a+b>4,故D正确. 三、填空题 12.(2025·北京通州区模拟)已知a=2-1.1,b=lo,c=log23,则三者大小关系为　　　　(按从小到大顺序).  【答案】a<b<c 【解析】因为a=2-1.1<2-1=, b=lo=log43>log42=, 且b=lo=log43<1,c=log23>log22=1,故a<b<c. 13.(2025·石家庄调研)已知a=log34,b=log45,c=log56,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”连接).  【答案】a>b>c 【解析】由a=log34=, b=log45=,c=log56=, 所以a-b=, 而ln3 ln 5<=<=ln24, 故a-b>0,故a>b, 同理可得b>c,则a>b>c. 14.已知a=log45,b=log34,c=,则三个数a,b,c的大小关系为　　　　.  【答案】c<a<b 【解析】<=1,而log45>log44=1, 由2lg 4>lg 3+lg 5>2, 故lg24>lg 3lg 5,即>, 故log34>log45,故c<a<b. 学科网（北京）股份有限公司 $$