21.2.1配方法（第2课时）（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 21.2.1 配方法 （第2课时） 第二十一章 一元二次方程 1.理解配方法的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 学 习 目 标 用直接开平方法解下列方程： (1)2x2-29=21 (2)(x+2)2+3=52 解：(1)2x2=50 x2=25 x=±5 x1=5，x2=-5. (2)(x+2)2=49 x+2=±7 x1=5,x2=-9. 分析：将方程化为形如x2=p或(x+n)2=p是解题的关键. 复习引入 a2+2ab+b2=_________； a2-2ab+b2=_________. 完全平方公式： (a+b)2 (a-b)2 填上适当的数或式,使下列各等式成立. (1)x2+8x+___=(x+4)2 (2)x2+12x+___=(x+6)2 (3)x2-16x+___=(x____)2 42 62 82 -8 复习引入 探究 怎样解方程 x2+6x+4=0 ? 分析：能否将方程x2+6x+4=0转化为形如x2=p的方程，用直接开平方法(降次)求解呢？ x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+32=-4+32 两边都加上32（即()2） (x+3)2=5 为什么在方程x2+6x=-4的两边加32？加其他数行吗？ 左边写成完全平方形式 利用直接开平方法（降次）即可求解 互动新授 可以验证，-3±是方程x2+6x+4=0的两个根. (x+3)2=5 降次 解一次方程 x+3=,或x+3=- (x+3)2=± x1=-3+,x2=-3-. 互动新授 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法： 配方法的基本思路 把方程通过配方化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的. 方程配方的方法 总结归纳 例1 解下列一元二次方程: （1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0 分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法化为（x+n)2=p的形式. 解：（1）移项，得: x2﹣8x=﹣1 配方，得： x2﹣8x+（ ）=﹣1+（ ） （x﹣4)2=15 x﹣4=± ∴ x1=4+，x2=4-. 42 42 怎样配方？ 一次项系数一半的平方 典例精析 (2) 2x2+1=3x 分析：(2)方程的二次项系数为2，要先将二次项系数化为1，再用配方法化为（x+n)2=p的形式. （2）移项，得: 2x2﹣3x=﹣1 系数化为1，得: x2﹣x=- 配方，得: x2﹣x+=- （x﹣)2= 由此可得: x﹣=± x1=1，x2=. 一次项系数一半的平方 典例精析 （3）3x2-6x+4=0 分析：(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方. （3）移项，得:3x2﹣6x=﹣4 系数化为1，得:x2﹣2x=- 配方，得:x2﹣2x+=- 整理，得: （x﹣1)2 =- 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x﹣1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根. 一次项系数一半的平方 典例精析 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p (Ⅱ) 的形式，那么就有： (1) 当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根 x1=-n-,x2=-n+. (2) 当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根 x1=x2=-n； (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根. 总结归纳 例2 应用配方法求最值. (1)x2-8x+4的最小值； (2)-x2-4x+6的最大值. 解:(1)原式=x2-8x+42+4-42 =(x-4)2-12 ∵(x-4)2≥0 ∴(x-4)2-12≥-12 即，当x=4时有最小值-12. (2)原式=-(x2+4x)+6 =-(x2+4x+22)+6 +22 =-(x+2)2+10 ∵(x+2)2≥0 ∴ -(x+2)2≤0 ∴-(x+2)2+10≤10 即，当x=-2时有最大值10. 配方 为什么要减42呢？ 典例精析 1.填空： (1)x2+8x+_____=(x+___)2 (2)x2-16x+_____=(x-___)2 (3)x2+7x+_____ =(x+____)2 (4)x2–x+_____ =(x-___)2 42 4 82 8 ()2 ()2 小试牛刀 1.已知方程可以配方成，则（     ） A．1 B．－1 C．0 D．4 分析：由（x+m）2＝3，得： x2+2mx+m2﹣3＝0， ∴2m＝4，m2﹣3＝n， ∴m＝2，n＝1， ∴（m﹣n）2015＝1. A 课堂检测 2.解下列方程： (1)x2+8x+7=0 (2)x2+4x-7=2x-11 解：(1)x2+8x=-7 x2+8x+42=-7+42 (x+4)2=9 x+4=±3 x1=-1，x2=-7 (2)x2+2x+4=0 x2+2x=-4 x2+2x+12=-4+12 (x+1)2=-3 因为(x+1)2 ≥0，而–1＜0，即方程无实数根. 课堂检测 分析：(1)直接用配方法解方程. (2)先移项化简方程，再用配方法. 3.已知代数式x2+1的值与代数式 2x+4的值相等，求x的值. 解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4. 整理，得 x2 − 2x = 3. 配方，得 (x − 1)2 = 4. 解得 x1 = −1，x2 = 3. 课堂检测 1.已知m2+n2-6m+10n+34=0,求2m-3n的值． 分析：将左边化为2个完全平方式，再利用其非负性解题. 解：m2-6m+9+n2+10n+25=0, (m-3)2+(n+5)2=0, m-3=0,n+5=0, m=3,n=-5, ∴2m-3n=21. 拓展训练 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)把常数项移到方程的右边； (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1； (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数； (5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根. 课堂小结 1.用配方法将方程变形为，则m的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 分析：， 配方得：， 即，则m=6. C 课后作业 分析：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 2.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． B 课后作业 3.一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(　　) A.(x＋4)2＝17 B.(x＋4)2＝15 C.(x－4)2＝17 D.(x－4)2＝15 4.将方程x2－2x＝2配方成(x＋a)2＝k的形式，则方程的两边需加上_____. 5.在横线上填上适当的数，使等式成立. (1)x2＋ x＋81＝(x＋______)2； (2))4x2＋4x＋____＝(2x＋____)2. C 1 18 9 1 1 课后作业 1.已知：是不等式5(a-2)+86(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关于的方程． 分析：先解不等式求出a的值，再解方程. 解：∵5(a-2)+86(a-1)+7；∴； ∴；∴； ∵是不等式5(a-2)+86(a-1)+7的最小整数解，∴； ∴关于的方程；∴； ∴；∴； ∴，． 培优作业 2.用配方法求最值. (1)2x2 − 4x + 5 的最小值；(2)−3x2 + 6x − 7 的最大值. 解：(1)原式 = 2(x −1)2 + 3 当 x = 1 时，有最小值 3. (2)原式= −3(x − 1)2 －4 当 x = 1 时，有最大值− 4. 培优作业 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$