21.3 实际问题与一元二次方程（分层作业）数学人教版九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 题型一 传播问题 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 题型二 增长率问题 1．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）甲商品的原价为每件40元，现行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 3．（22-23九年级上·福建厦门·期中）学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，这两年人均阅读量年平均增长率是多少？ 4．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 题型三 与图形有关的问题 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为平方米，求和减少的长度是多少？ 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）用一条长的绳子围成一个矩形． (1)若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽． (2)能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽，若不能，将说明理由． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 题型四 数字问题 1．（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 3．（24-25九年级上·河南·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 4．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 题型五 销售利润问题 1．（24-25九年级上·广东湛江·期中）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： (1)若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． (2)若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） (1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； (2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 题型六 工程问题 1．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 2．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 3．（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 4．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 题型七 行程问题 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 2．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 4．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 题型八 循环问题 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 1．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“连根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1：中国食品标签营养素参考值（）是指导正常成年人保持健康体重和正常活动的标准．在国家标准中，能量和主要营养素的日推荐摄入量如表1所示： 表1：营养素参考值（） 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 表2： A品牌纯牛奶营养成分表 项目 每 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 素材2：《中华人民共和国食品安全法》规定：预包装食品的包装上应当标示主要营养成分及其含量．根据《预包装食品营养标签通则》规定，营养成分表上必须标示能量和核心营养素的名称、含量及．其中，的含义为每份（如）食品中营养素的含量占该营养素每日摄入量的比例（通常精确到），计算公式为：每份食品中营养素的含量该营养素的营养素参考值． 表2是A品牌纯牛奶（净含量：）的营养成分表． 素材3：超滤牛奶是采用超滤膜过滤掉牛奶中的水和脂肪等成分，保留蛋白质、钙等成分，将牛奶纯化、浓缩，达到高蛋白条件的牛奶品类． 任务一：请写出表2中a与b的关系式： ； 任务二：营养师建议：早餐的营养至少占全天营养的．某天早晨，小颖食用了一瓶A品牌牛奶和面包．妈妈说：“孩子，再吃个鸡蛋．”小颖答：“不吃了，早上营养够了．”已知每面包中蛋白质的为，请从蛋白质的角度分析，小颖的说法是否正确． 任务三：某实验室利用超滤工艺对A品牌纯牛奶进行过滤．经过两次过滤后牛奶还剩，且第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率是第一次的倍（过滤过程不考虑蛋白质流失）．某工厂应用该实验室的超滤工艺对A品牌纯牛奶进行一次过滤后生产出高蛋白牛奶，请问这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示多少？ 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 2．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 3．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗㙳的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是__________．（从序号中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x__________； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程____________________，解得原方程的一个根为____________________； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数__________，__________，求得方程的正根为__________． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： (1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】： (2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 实际问题与一元二次方程 题型一 传播问题 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】(1)8个人 (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 题型二 增长率问题 1．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）甲商品的原价为每件40元，现行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． 【详解】解：设这种商品平均降价率是x，依题意得： ， 解得：，(舍去)； 故这个降价率为， 答：这个降价率为． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）仙毫茶为一芽一叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【答案】小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为，根据“第一天签了100单，第三天签了169单，连续三天签单数量的增长率相同，”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为， 由题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 故小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 3．（22-23九年级上·福建厦门·期中）学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，这两年人均阅读量年平均增长率是多少？ 【答案】这两年人均阅读量年平均增长率是 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出方程是解题关键．设这两年人均阅读量年平均增长率是x，根据从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这两年人均阅读量年平均增长率是x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：这两年人均阅读量年平均增长率是． 4．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】(1)2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为 (2)估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 题型三 与图形有关的问题 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为140米，宽为90米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为平方米，求和减少的长度是多少？ 【答案】边和边减少的长度是20米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设边和边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：边和减少的长度是20米． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）用一条长的绳子围成一个矩形． (1)若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽． (2)能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽，若不能，将说明理由． 【答案】(1)矩形的长为，宽为； (2)不能围成一个面积为的矩形 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设矩形的长为，则宽为，根据面积列出方程，解方程即可； （2）根据题意，列出方程，判断一元二次方程有无实数根即可． 【详解】（1）解：设矩形的长为，则宽为， 则， 整理得， 解得：，， 当时，， 当时，， 矩形的长为，宽为； （2）解：不能围成一个面积为的矩形，理由如下： 设矩形的长为，则宽为， 则， 整理得：， ， 没有实数根， 不能围成一个面积为的矩形． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设道路的宽为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为， 根据题意列方程得：， 解得：或（舍去）， 答：道路的宽为． 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 【答案】边的长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设边的长为，则边的长为，根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并结合墙的长度为，即可得出结果． 【详解】解：设边的长为，则边的长为． 由题意，得 整理，得， 解得，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为． 题型四 数字问题 1．（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 2．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 3．（24-25九年级上·河南·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】81 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 设个位上的数为，则十位上的数为，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为， 依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 所以，，． 答：这个两位数是81． 4．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 题型五 销售利润问题 1．（24-25九年级上·广东湛江·期中）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元 【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．本题考查一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． 【详解】解：设每件应降价x元． 根据题意列方程，， 解得，，， ∵尽快减少库存， ∴舍去， 故， 答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 【答案】(1)， (2)每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用提价后每间客房的价格=提价前每间客房的价格+每间客房的定价提高的价格，可用含x的代数式表示出提价后每间客房的价格；利用提价后入住的房间数量=提价前入住的房间数量，可用含x的代数式表示出提价后入住的房间数量；利用提价后总维护费用提价后入住的房间数量，即可用含x的代数式表示出提价后总维护费用； （2）利用纯收入=总收入-维护费用，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要吸引更多的游客，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当每间客房的定价提高了x元时， 房间价格为元， 入住了间房， 总维护费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，， 又∵要吸引更多的游客， ， ∴（元）， 此时租出的房间数为（间）． 答：每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： (1)若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． (2)若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)每个“弗里热”纪念品的售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为元，由题意得：商场计划一周的利润达到8000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该商场平均每周可以获得销售利润为元 故答案为：． （2）解：设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支元，由题意得， 解得：或 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为元． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） (1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； (2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 【答案】(1)购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 (2)种苹果售价为每件24元时，每天销售利润为96元 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程 的应用，根据题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件，列方程组得，解方程组即可得到答案； （2）设B种苹果每件降价元，得到，求出或， 根据题意舍去，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件， 根据题意得：   ，                        解得， 答：商店购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 （2）解：设B种苹果每件降价元， ，            解得：或 ∵尽快减少库存，舍去， （元） 答：销售价定为每件元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元． 题型六 工程问题 1．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 2．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 3．（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 4．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 题型七 行程问题 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 2．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 4．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 题型八 循环问题 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 【答案】有12个队参加了报名 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有个队参加了报名，由单循环制的特点可得，再解方程并检验即可． 【详解】解：设有个队参加了报名，则 ， ∴， ∴， 解得，（经检验不符合题意）， 所以有12个队参加了报名． 2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 1．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 【答案】(1)40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8 (2)①48②作业时间的合理范围是60至100分钟 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设40分钟到60分钟的增长率为x，利用60分钟时学习效率=40分钟时学习效率分钟的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将符合题意的值代入中，即可求出m的值； （2）①根据学习效能的定义求解即可； ②设每晚作业时间为分钟，根据学习效能低于20的时候为无效学习，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将符合题意的值代入中，可求出最长学习时间，结合规定作业时间不少于1个小时，即可确定每晚作业时间的合理范围． 【详解】（1）解：设40分钟到60分钟的增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴40分钟到60分钟的增长率为， ∴． 答：40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8； （2）解：①学习时间为80分钟的学习效能为： ②设每晚作业时间为分钟， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴超过100分钟为无效学习， ∴作业时间的合理范围是60至100分钟． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“连根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 【答案】(1)是，计算见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义方程，涉及一元二次方程的解法，读懂题意，理解“连根方程”定义，准确列方程求解是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程，得到，结合题中“连根方程”的定义验证即可得到答案； （2）由因式分解法解一元二次方程，得到，结合题中“连根方程”的定义得到或，代值求出或，验证即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，解得． 由，符合“连根方程”的定义， 故方程是“连根方程”； （2）解：， ，解得． ，是“连根方程”， 或， 即或． 或． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意． 或． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）根据以下素材，探索完成任务： 素材1：中国食品标签营养素参考值（）是指导正常成年人保持健康体重和正常活动的标准．在国家标准中，能量和主要营养素的日推荐摄入量如表1所示： 表1：营养素参考值（） 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 表2： A品牌纯牛奶营养成分表 项目 每 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 素材2：《中华人民共和国食品安全法》规定：预包装食品的包装上应当标示主要营养成分及其含量．根据《预包装食品营养标签通则》规定，营养成分表上必须标示能量和核心营养素的名称、含量及．其中，的含义为每份（如）食品中营养素的含量占该营养素每日摄入量的比例（通常精确到），计算公式为：每份食品中营养素的含量该营养素的营养素参考值． 表2是A品牌纯牛奶（净含量：）的营养成分表． 素材3：超滤牛奶是采用超滤膜过滤掉牛奶中的水和脂肪等成分，保留蛋白质、钙等成分，将牛奶纯化、浓缩，达到高蛋白条件的牛奶品类． 任务一：请写出表2中a与b的关系式： ； 任务二：营养师建议：早餐的营养至少占全天营养的．某天早晨，小颖食用了一瓶A品牌牛奶和面包．妈妈说：“孩子，再吃个鸡蛋．”小颖答：“不吃了，早上营养够了．”已知每面包中蛋白质的为，请从蛋白质的角度分析，小颖的说法是否正确． 任务三：某实验室利用超滤工艺对A品牌纯牛奶进行过滤．经过两次过滤后牛奶还剩，且第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率是第一次的倍（过滤过程不考虑蛋白质流失）．某工厂应用该实验室的超滤工艺对A品牌纯牛奶进行一次过滤后生产出高蛋白牛奶，请问这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示多少？ 【答案】任务二：（或或等）；任务二：小颖的说法不正确，理由见解析；任务三：这款高蛋白牛奶的应标示 【分析】本题考查一元二次方程的应用，列关系式，有理数的混合运算，找准等量关系列方程是解题的关键． 任务一：根据每份食品中营养素的含量该营养素的营养素参考值列关系式即可； 任务二：求出小颖摄入的蛋白质量，和早晨需要摄入蛋白质的量比较即可； 任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为，根据题意列一元二次方程解题即可． 【详解】解：任务一：表2中a与b的关系式为：， 故答案为：； 任务二：小颖食物摄入的蛋白质为， 而早晨需摄入蛋白质为， ∵， ∴小颖的说法不正确； 任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为，那么第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率为， 因为牛奶总量从经过两次过滤后变成，相当于牛奶总量变为原来的，但蛋白质的量不变， 可以把最初牛奶中蛋白质的含量看作单位，第一次过滤后蛋白质含量为， 第二次过滤后蛋白质含量为， 而经过两次过滤后牛奶总量变为原来的，即蛋白质的含量也变为了原来的倍，因此可以列出一元二次方程：， 解得：（舍去）； 故第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为； 原来品牌纯牛奶每中蛋白质的为，经过一次过滤后，蛋白质占比上升，则高蛋白牛奶中蛋白质的为：， 即这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质的应标示为． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 2．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1)①见解析；②2或 (2) 【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【详解】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗㙳的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是__________．（从序号中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x__________； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程____________________，解得原方程的一个根为____________________； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数__________，__________，求得方程的正根为__________． 【答案】理解应用：；类比迁移：，， 拓展应用：，，或 【分析】理解应用：依据题干方法得到，再根据图形很容易判断出答案； 类比迁移：与题干思路一致即可得出答案，需要注意的是，画出图形更容易得解； 拓展应用：先因式分解变形得，再根据题干条件分析得，，进而分类讨论求解即可． 【详解】解：理解应用： ， ， 很容易观察出构图是， 故答案为：； 类比迁移： ， 第一步：将原方程变形为，即， 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为， 故答案为：，，； 拓展应用： ， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ，， 解得：，， 当时，，即：， ， 解得：，即方程的一个正根为； 当时，，即：， ， 解得：，即方程的一个正根为； 综上，方程的一个正根为或， 故答案为：，，或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），直接开平方法解一元二次方程，矩形的性质，解一元一次方程等知识点，能知道系数、与各图形面积的关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐． 【提出问题】：前多少行的点数和是？ 【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： (1)根据以上材料，解决前面所提出的问题； 【应用延伸】： (2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由． 【答案】(1)前行的点数和是； (2)能；理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据题目的探究过程列出一元二次方程是解题的关键． （1）理解题意，并按照探究的方法得到，再列出方程，即可求解； （2）设，，依据（1）中的方法可求得：，进而得到，再列出方程并判断是否有符合题意的解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 ①， 由①式倒序： ②， ①②：， 所以，即前行点数为个． 当时，解得或（舍）， 即前行的点数和是； （2）这个点阵的点数和能是，理由如下： 设，， 则， 依据（1）中的方法同理可求得：， 所以， 当时，解得或（不合题意，舍去）， 所以当时，这个点阵的点数和能是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$