第七章相交线与平行线单元培优课题：拐点问题课件2024-2025学年人教版数学七年级下册

平行线中的拐点问题 1.铅笔模型 课堂检测 返回目录 如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 . 解：过点E 向左作EF//AB． ∴∠B+∠BEF＝180°． ∵AB//CD，EF//AB ∴EF//CD． ∴∠D +∠DEF＝180°． ∴∠B＋∠D+∠DEB ＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°， 即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°． F 例1题答图 例1　如图，AB∥CD，∠APC与∠A，∠C有什么关系？并说明理由． 解：∠APC＋∠A＋∠C＝360°.理由如下： 如答图，过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD，PE∥AB ∴PE∥CD. ∴∠1＋∠A＝180°，∠2＋∠C＝180°. ∴∠1＋∠2＋∠A＋∠C＝360°， 即∠APC＋∠A＋∠C＝360°. 2.铅笔模型进阶版 课堂检测 返回目录 如图,AB∥CD,则 : C A B D E A C D B E2 E1 当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360° 当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720° A B C D E1 E2 E3 A B C D E1 E2 En 当有n个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C = 180° 若有n个拐点，你能找到规律吗？ （n+1） 2．如图，AB∥CD，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________． 训练2题图 540° 3.猪蹄模型 课堂检测 返回目录 如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法． B D C E A 解：过点E 作EF//AB． ∴∠B=∠BEF． ∵AB//CD，EF//AB ∴EF//CD． ∴∠D =∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB． F 例2　如图，已知AB∥CD，∠APC与∠A，∠C有什么关系？并说明理由． 例2题答图 解：∠APC＝∠A＋∠C.理由如下： 如答图，过点P作PE∥AB. ∵AB∥CD，PE∥AB ∴PE∥CD. ∴∠A＝∠1，∠2＝∠C. ∵∠APC＝∠1＋∠2， ∴∠APC＝∠A＋∠C. 4.猪蹄模型进阶版 课堂检测 返回目录 如图,若AB∥CD, 则： A B C D E 当左边有两个角，右边有一个角时： ∠A+∠C= ∠E 当左边有两个角，右边有两个角时： ∠A+∠F= ∠E +∠D C A B D E F E1 C A B D E2 F1 当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠ F1 +∠C = ∠ E1 +∠ E2 C A B D E1 F1 E2 Em F2 Fn ∠A+∠F1 +∠ F2 +…+∠Fn=∠E1 +∠E2 +…+∠Em+∠D 当左边有(n+1)个角，右边有(m+1)个角时： 若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？ 训练　 4.如图，AB∥CD，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间满足怎样的数量关系？并证明你的结论． 解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF. 理由如下：如答图，过点O，P分别作OM∥AB，PN∥CD. ∵AB∥CD，OM∥AB，PN∥CD ∴CD∥OM∥PN∥AB. ∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC. ∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4， 即∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF. 训练4题答图 例3　如图，AB∥CD，请判断α，β，γ之间的关系，并说明理由． 解：α＋β－γ＝180°.理由如下： 如答图，过点P作PQ∥AB. ∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD. ∴α＋∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ. ∴∠BPQ＝180°－α. ∵β＝∠BPQ＋∠DPQ， ∴β＝180°－α＋γ，即α＋β－γ＝180°. 例3题答图 例3　如图，AB∥CD，请判断α，β，γ之间的关系，并说明理由． 解：α＋β－γ＝180°.理由如下： 如答图，过点P作PQ∥AB. ∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD. ∴α＋∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ. ∴∠BPQ＝180°－α. ∵β＝∠BPQ＋∠DPQ， ∴β＝180°－α＋γ，即α＋β－γ＝180°. 例3题答图 5.弹勾模型 如图，AB∥CD，猜想∠BAP、∠APC 、∠PCD的数量关系，并说明理由. A B C D P E 解：∠BAP+∠APC =∠PCD. 理由如下：作∠APE =∠BAP， ∴ EP∥AB. ∵AB∥CD， ∴ EP∥CD，∴∠EPC=∠PCD. ∴ ∠APE+∠APC= ∠PCD， 即∠BAP+∠APC =∠PCD. 5.弹勾模型（1） 例4　如图，已知AB∥CD，∠APC与∠A，∠C有什么关系？并说明理由． 解：∠APC＋∠A＝∠C.理由如下： 如答图，过点P作PE∥AB.∴∠EPA＋∠A＝180°. ∵∠EPA＝∠APC＋∠CPE， ∴∠APC＋∠CPE＋∠A＝180°. ∴∠APC＋∠A＝180°－∠CPE. ∵AB∥CD，∴PE∥CD.∴∠CPE＋∠C＝180°. ∴∠C＝180°－∠CPE.∴∠APC＋∠A＝∠C. 例4题答图 5.弹勾模型（2） 例5　(1)如图，已知AB∥CD，则∠APC与∠A，∠C有什么关系？并说明理由． 解：∠A＝∠APC＋∠C.理由如下： 如答图，过点P作PE∥AB. ∴∠1＋∠A＝180°，即∠1＝180°－∠A. ∵AB∥CD，∴PE∥CD. ∴∠EPC＋∠C＝180°，即∠1＋∠APC＋∠C＝180°. ∴180°－∠A＋∠APC＋∠C＝180°.∴∠A＝∠APC＋∠C. 例5(1)题答图 $$