专题七 最小公倍数-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（人教版）

上联:北斗七星,水底连天十四点;下联:南楼孤雁,月中带影一双飞。 采蜜角 33 专题七 最小公倍数 几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数叫作这几个数的最小 公倍数。求最小公倍数的方法有多种,常见的有列举法、短除法和分解质因数法等。利用最小 公倍数的知识,可以解决生活中的一些实际问题。 类型一 用相同的长方体堆成正方体 例1 一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。 要堆成正方体至少需要多少块这样的砖? 点拨:把若干块砖堆成正方体,正方体的棱长 应是砖的长、宽、高的公倍数 􀪍􀪍􀪍􀪍 ,现在要求砖最 少,则正方体的棱长应是砖的长、宽、高的最小 􀪍􀪍 公倍数 􀪍􀪍􀪍 ,求出正方体的棱长后,再根据正方体 与砖体积之间的关系即可求出砖的块数。 解答: 求几个数的最小公倍数的方法 分解质因数法:分别把这几个数分解质因数, 这几个数公有的质因数和独有的质因数之积就是 它们的最小公倍数。短除法:利用短除法求出几 个数的最小公倍数,短除法的除数和商之积就是 这几个数的最小公倍数。 类型二 稍复杂的最小公倍数问题 例2 有一个自然数,被10除余7,被7除余4, 被4除余1。这个自然数最小是多少? 点拨:根据已知条件可知,假如把这个自然数 增加3,所得的数就正好能被10,7和4这三个 数整除,即用10,7和4的最小公倍数减去3 就得到所求的自然数了。 解答: 用最小公倍数解决稍复杂的问题 解答此类问题关键在于观察数量之间的关系。 如果每次除数和余数的差都相同,那么用几个除数 的最小公倍数减去除数和余数的差即可求出这个 数。如果每次除得的余数都相同,那么用几个除数 的最小公倍数加上余数即可求出这个数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 一、 认真填空。 1. 五(1)班学生分组做游戏,每组3人或5人都正好分完。已知这个班的学生不到50人,则这个 班最多有( )人。 2. 某公共汽车始发站,1路车每5分钟发车一次,2路车每10分钟发车一次,3路车每12分钟发 车一次。这三路公共汽车同时发车后,至少再经过( )分钟又同时发车。 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆34 3. 自然数a和b的最大公因数是6,那么a和b的最小公倍数是( )。 二、 精挑细选。 1. 如果自然数a和b的最大公因数是1,那么a和b的最小公倍数是( )。 A. ab B. a C. b D. a+b 2. 由下面的短除法可知42和12的最小公倍数是( )。 A. 2×3=6 B. 2×3×7=42 C. 2×3×7×2=84 D. 7×2=14 3. 两个整数的和是60,它们的最小公倍数是273,则这两个整数的乘积是( )。 A. 273 B. 819 C. 1911 D. 3549 三、 解决问题。 1. 甲、乙、丙为三个互相啮合的齿轮,当甲齿轮转6圈时,乙齿轮转7 圈,丙齿轮转2 圈,则这三个 齿轮的齿数最少分别是多少? 2. 小红、小刚和小军参加了少年宫举办的“快乐暑假”夏令营活动,小红每隔2天参加一次活动, 小刚每隔4天参加一次活动,小军每隔5天参加一次活动。如果他们7月10日一起去少年宫 参加活动,那么下一次一起去少年宫参加活动是几月几日? 3. 已知某小学五年级学生超过100人,而不足140人。若将他们按每组12人分组,则多3人;若 将他们按每组8人分组,则也多3人。该小学五年级学生有多少人? 数学(人教版)五年级 83 [提优训练] 一、 1. 15 20 6 10 2. 10 3. 3 解析:分子减去一个自然数,分母加上这个自然 数,约分前,分子与分母的和不变,是8+22=30,根据 “约分后就变为1 5 ”,可知此时分数的分母是分子的 5倍,30÷(1+5)=5,则约分前的分子为1×5=5,分 母为5×5=25,由此求出这个自然数是25-22=3。 4. 7 46 5. 9 二、 1. 2×2×5×5 7×2×5×5= 100 350 2. 84÷(2+5)=12 12×2=24 解析:首先根据这 个分数化成最简分数是2 5 ,可得这个分数的分子占分 子与分母的和的 2 2+5 ,然后根据这个分数的分子与分 母的和是84,求出这个分数的分子是多少。 3. (27-3)÷(1+2)=8 8×2=16 8+3=11 原 来的分数是11 16 4. 12+1+3=16 16÷(5-3)=8 8×3+1=25 8×5-3=37 原来的分数是2537 专题六 最大公因数 [例题导引] 例1 解答:方法一,27,36和63的最大公因数是9, 所以每小段的长度最长是9m 27÷9=3(段) 36÷ 9=4(段) 63÷9=7(段) 3+4+7=14(段) 方法二, 3+4+7=14(段) 例2 解答:200-4=196 300-6=294 500-10= 490 196,294和490的最大公因数是98,所以这个 数最大是98 [提优训练] 一、 1. 4 12 2. 2 解析:根据题意可知,2×3×m=12,所以 m=2。 3. 8 解析:根据题意可知,用水果糖和巧克力原来的 数量分别减去剩下的1块:25-1=24(块),17-1= 16(块),则此时正好分完,据此先把24和16分别分 解质因数:24=2×2×2×3,16=2×2×2×2,则24 和16的最大公因数是2×2×2=8,即这个组最多有 8名同学。 二、 1. D 2. B 3. C 三、 1. 6分米=60厘米 75和60的最大公因数是 15,所以正方形的边长是15厘米 (75÷15)×(60÷ 15)=20(个) 2. 80,60和112的最大公因数是4 (80÷4)×(60÷ 4)×(112÷4)=8400(个) 3. 110-5=105(本) 240+5=245(本) 105,210和 245的最大公因数是35,所以五(1)班最多有35名同学 专题七 最小公倍数 [例题导引] 例1 解答:20,12和6的最小公倍数是60 60× 60×60÷(20×12×6)=150(块) 例2 解答:10,7和4的最小公倍数是140 140- 3=137 [提优训练] 一、 1. 45 2. 60 解析:要求这三路公共汽车同时发车后,至少 再经过多少分钟又同时发车,也就是求5,10和12的 最小公倍数,10=2×5,12=2×2×3,所以5,10和12 的最小公倍数是5×2×2×3=60,即至少再经过 60分钟又同时发车。 3. ab÷6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 84 二、 1. A 2. C 3. B 三、 1. 甲齿轮的齿数最少是7,乙齿轮的齿数最少是 6,丙齿轮的齿数最少是21 解析:由题意可知,甲齿 轮、乙齿轮、丙齿轮转动圈数的最小公倍数是42。42 是甲齿轮转动圈数的7倍,是乙齿轮转动圈数的 6倍,是丙齿轮转动圈数的21倍。 2. 2+1=3(天) 4+1=5(天) 5+1=6(天) 3,5, 6的最小公倍数是30 7月10日+30天=8月9日 下一次一起去少年宫参加活动是8月9日 3. 12和8的公倍数有24,48,72,96,120,144……因 为五年级学生超过100人,而不足140人,且按每组 12人或8人分组,都多3人,所以该小学五年级学生 有120+3=123(人) 专题八 一般行程问题 [例题导引] 例1 解答:32×2=64(千米) 64÷(56-48)= 8(时) (56+48)×8=832(千米) 例2 解答:80÷(40-20)=4(分) 4=4 小新用 4分钟能追上小伟 [提优训练] 1. 45÷(15-6)=5(时) 解析:题目问的是“几小时 后甲可追上乙”,说明甲的出发点在后,乙的出发点在 前,45千米即为追及过程的路程差,利用公式求解 即可。 2. (12×2-8)÷(14-12)=8(时) 3. 840÷14=60(千米/时) 840÷21=40(千米/时) 840÷(60+40)=8.4(时) 客车:60×8.4=504(千米) 货车:40×8.4=336(千米) 4. 62÷(115-84)=2(时) (115+84)×2=398(千米) 5. 55×6=330(米) 330-40=290(米) 290÷ (65-55)=29(分) 解析:由题意可知,相距40米发 生在追上之前,先求出乙提前走的距离,再求出追及 过程的路程差(因为并未追上,所以求路程差时要减 去40米),最后求出追及时间。 专题九 火车行程问题 [例题导引] 例1 解答:4600+400=5000(米) 5000米=5千米 5÷100=0.05(时) 0.05时=3分 例2 解答:(210+140)÷(18-13)=70(秒) [提优训练] 1. 1分=60秒 30×60-440=1360(米) 2. 速度:(2400-1440)÷(90-60)=32(米/秒) 车长:60×32-1440=480(米) 3. 188÷(18-2)=11.75(秒) 4. (18-15)×100-180=120(米) 专题十 分数的加减计算 [例题导引] 例1 解答:12+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ …+190= 1- 1 2 + 1 2- 1 3 + 13-14 + 14-15 +…+ 19-110 = 1-110= 9 10 例2 解答:答案不唯一,如118= 1×(1+2+3) 18×(1+2+3)= 1+2+3 108 = 1 108+ 2 108+ 3 108= 1 108+ 1 54+ 1 36 A ,B,C 分别是108,54,36 [提优训练] 1. 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ …+ 1256= 1- 1 2 + 12- 1 4 + 14-18 + 18-116 +…+ 1128- 1256 =1- 1 256= 255 256 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)五年级