专题三 长方体和正方体的表面积-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（人教版）

《九章算术》第五章“商功”,讲述土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外, 还有工程分配方法。 采蜜角 25 专题三 长方体和正方体的表面积 立体图形上所能触摸到的面积之和叫作它的表面积。在计算长方体、正方体表面积的实 际问题中,常常会遇到以下类型的题目:把长方体或正方体切割成几部分或将若干个长方体或 正方体拼到一起,表面积发生了变化。把一个长方体或正方体切成两部分,新增加的表面积等 于切面面积的2倍;将长方体或正方体增加或截取一部分,表面积会增加或减少,增加或减少 的面积等于增加或截取部分的4个侧面的面积之和。 类型一 切割(或拼组)图形的表面积 例1 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米, 5厘米和4厘米。若把它切割成三个体积相 等的小长方体,则三个小长方体表面积的和最 大是多少平方厘米? 点拨:根据长方体切割成小长方体的特点可 知,要使切割后的三个小长方体表面积的和最 大,可以平行于 􀪍􀪍􀪍 原来长方体面积最大的面 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 进行 切割(如下图),这样表面积就会增加4个原来􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 长方体的最大面的面积 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 解答: 切割(或拼组)后长方体的表面积之和 最大(最小)的问题 要使切割后长方体的表面积之和最大,应平 行于长方体的最大面进行切割;要使切割后长方 体的表面积之和最小,应平行于长方体的最小面 进行切割。拼组图形的表面积与之类似。 类型二 稍复杂的表面积问题 例2 如图,一个长方体长40cm,横截面是正 方形,如果将它的长增加5cm,那么它的表面 积就增加80cm2。原来这个长方体的表面积 是多少平方厘米? 点拨:长方体的长增加5cm,就相当于拼接了 一个和原来长方体等宽、等高 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的小长方体。新 长方体的表面积比原来的长方体增加了小长 方体上、下、前、后4个面􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的面积和,因为横截 面是正方形,所以小长方体的宽和高相等,即 小长方体上、下、前、后4个面的面积均相等, 据此可以先求出小长方体的宽和高,即原来长 方体的宽和高 􀪍􀪍􀪍 。 解答: 通过面积的变化求表面积 将长方体或正方体增加(或截取)一部分,表 面积增加(或减少)的部分等于增加(或截取)部分 的4个侧面的面积之和。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆26 1. 有两个同样大小的长方体,长方体的长、宽、高分别是5厘米,4厘米,3厘米,把它们拼成一个 大长方体。拼成的大长方体的表面积最大是多少平方厘米? 2. 一个长方体,如果长增加2厘米,那么体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,那么体积增 加90立方厘米;如果高增加4厘米,那么体积增加96立方厘米。原来这个长方体的表面积是 多少平方厘米? 3. 一个长方体,如果高增加3厘米,那么它就变成一个正方体,此时表面积就增加48平方厘米。 原来长方体的表面积是多少平方厘米? 4. 从一个棱长为4厘米的正方体表面挖掉一个棱长为1厘米的小正方体,有几种方法? 挖掉小 正方体后,剩余物体的表面积是多少? 5. 有4个棱长都是2分米的正方体礼品盒,现在把它们用包装纸包装,有下面两种方案(如图)。 哪种方案比较节省包装纸? 至少需要多少平方分米的包装纸? (损耗忽略不计) 数学(人教版)五年级 82 使两组中的质因数一样,并且相同质因数的个数相 同。所以可分为169,33,14,75和143,39,30,35或 169,33,30,35和143,39,14,75。 专题三 长方体和正方体的表面积 [例题导引] 例1 解答:(6×5+6×4+5×4)×2=148(平方厘米) 6×5×4=120(平方厘米) 148+120=268(平方厘米) 例2 解答:80÷4=20(cm2) 20÷5=4(cm) 4× 4×2+40×4×4=672(cm2) [提优训练] 1. 5×2=10(厘米) (10×4+10×3+4×3)×2= 164(平方厘米) 解析:根据题意,把两个同样大小的 长方体拼成一个大长方体,有三种不同的拼法。要求 拼成的大长方体的表面积最大,应将最小的面拼在一 起,然后根据长方体的表面积计算公式解答问题。 2. (40÷2+90÷3+96÷4)×2=148(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果长增加2厘 米,那么体积增加40立方厘米,即宽与高的乘积是 40÷2=20(平方厘米);如果宽增加3厘米,那么体积 增加90立方厘米,即长与高的乘积是90÷3=30(平 方厘米);如果高增加4厘米,那么体积增加96立方 厘米,即长与宽的乘积是96÷4=24(平方厘米)。最 后根据长方体的表面积计算公式进行解答。 3. 48÷4=12(平方厘米) 12÷3=4(厘米) 4-3= 1(厘米) 4×1×4+4×4×2=48(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果高增加3厘 米,那么它就变成一个正方体,说明长和宽相等,且比 高长3厘米,因此表面积增加的48平方厘米是4个同 样的长方形的面积之和。可以先求出1个长方形的 面积是48÷4=12(平方厘米),再求出长方体的长 (宽)是12÷3=4(厘米),由于长(宽)比高长3厘米, 故高是4-3=1(厘米),从而可以求出原来长方体的 表面积。 4. 有三种方法 ① 从顶点上挖掉小正方体,剩余物 体的表面积是4×4×6=96(平方厘米) ② 从棱上 挖掉小正方体,剩余物体的表面积是4×4×6+1× 1×2=98(平方厘米) ③ 从面的中间挖掉小正方体, 剩余物体的表面积是4×4×6+1×1×4=100(平方 厘米) 5. A方案:2×2=4(分米) 4×2×4+4×4×2= 64(平方分米) B方案:2×4=8(分米) 8×2×4+ 2×2×2=72(平方分米) 64<72 A方案比较节省 包装纸,至少需要64平方分米的包装纸 专题四 长方体和正方体的体积 [例题导引] 例1 解答:8×8×8÷(16×4)=8(cm) 例2 解答:168÷4÷6=7(cm) 7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) [提优训练] 1. 8×8×8÷(4×4)=32(dm) 2. 20÷4×(2×3)=30(立方米) 3. 96÷6×(6×4)=384(m3) 4. 80÷4÷2=10(cm) 10×10×(10-2)= 800(cm3) 5. 8×4×4.5÷(6×4)=6(分米) 解析:根据题意可 知,无论横放还是竖放,玻璃缸里水的体积不变,先求 出玻璃缸里水的体积,然后用水的体积除以竖放时玻 璃缸的底面积,即可求出竖放时玻璃缸里的水深。 专题五 分数基本性质的应用 [例题导引] 例1 解答:5×[(12+36)÷12]-5=15 例2 解答:23+19=42 1+5=6 42÷6=7 1×7 5×7= 7 35 7 35-19= 7 16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)五年级