专题二 巧用质因数-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（人教版）

100以内的质数口诀:2,3,5,7和11,13后面是17,十九、二三、二十九(19,23,29),三 一、三七、四十一(31,37,41)。四三、四七、五十三(43,47,53),五九、六一、六十七(59,61, 67),七一、七三、七十九(71,73,79),八三、八九、九十七(83,89,97)。 采蜜角 23 专题二 巧用质因数 在数学学习中,许多与乘积有关的题目看起来很玄妙,对于这类题目,我们可以用分解质 因数的方法来解答。把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。灵活运 用分解质因数的知识,能帮助我们解答许多用常规方法无法解答的与乘积有关的问题。 类型一 乘积已知的问题 例1 笑笑的哥哥参加了中学生数学竞赛,成 绩公布后,笑笑问哥哥:“这次数学竞赛你得了 多少分? 是第几名?”哥哥说:“我的名次数和 我的岁数以及我的分数的乘积是2910,你知 道我的得分和名次分别是多少吗?”请算出笑 笑的哥哥在这次数学竞赛中的得分和名次。 点拨:已知笑笑的哥哥的名次数和他的岁数以 及他的分数的乘积 􀪍􀪍 ,求他的得分和名次,可以 通过分解质因数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 来解答。 解答: 用分解质因数法解决乘积的因数问题 运用数学知识解决生活中的问题时,要依据 实际情况,判断哪些情况是符合实际的,从而得到 最合理的答案。 类型二 乘积未知的问题 例2 聪聪家的电话号码是七位数,它恰好是 8个连续质数的乘积,这个积的后四位数字组 成的数是前三位数字组成的数的10倍。聪聪 家的电话号码是多少? 点拨:先由所求七位数的后四位 􀪍􀪍􀪍 数字组成的数 是前三位 􀪍􀪍􀪍 数字组成的数的10倍,得出所求七 位数个位 􀪍􀪍 上的数字是0,能够被10整除。从而 假设聪聪家的电话号码是abcabc0,通过分解􀪍􀪍 质因数求出abc􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 是多少,即可求出电话号码。 解答: 求几个连续质数乘积的问题 解答此类问题的关键是能够根据条件得出所 求数是从几开始的连续质数的乘积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆24 1. 三个小朋友的岁数正好是三个连续自然数,且他们的岁数之积是210。这三个小朋友的年龄 分别是多少? 2. 有三个数,分别是一位数、两位数、三位数,这三个数的乘积正好是2004。这三个数分别是 多少? 3. 有三个自然数a,b,c,已知a×b=35,b×c=63,c×a=45,则a×b×c的积是多少? 4. 一个长方体的长、宽、高都是整厘米数,它的体积是1998立方厘米,那么它的一组长、宽、高的 和的最小值是多少厘米? 5. 将八个数14,33,35,30,75,39,143,169分成两组,每组四个数,并且每组四个数的乘积相等, 应该怎样分? 数学(人教版)五年级 81 五、 1. 2. (1) 2018 2023 (2) 3 8 3 4 (3) 上升 纸书阅读 六、 1. 1-14- 3 8= 3 8 (米) 等腰三角形 2. 5和8的最小公倍数是40 6时30分+40分= 7时10分 3. (8×3+6×3)×2+8×6-20= 112(平方米) 112×12=1344(元) 4. 200÷(12+8)=10(cm) 12×8×10=960(cm3) 解析:题图中涂色部分可以看成是一个长(12+8)cm、 面积为200cm2 的长方形,据此求出宽,即长方体的 宽,进而根据长方体的体积计算公式求解。 5. 4×6×4÷2=48(cm3) 4×6×12-48= 240(cm3) 240cm3=240mL 2 整合提优(五年级全学年) 专题一 盈亏问题 [例题导引] 例1 解答:27÷(5-4)=27(个) 27×4=108(块) 例2 解答:(15-7)÷(9-7)=4(人) 4×9-15= 21(支) 例3 解答:(60×3+150×6)÷(150-60)=12(分) 60×(12+3)=900(米) [提优训练] 1. (8+6)÷(8-6)=7(辆) (7+1)×6=48(人) 2. 60×4÷(75-60)=16(分) 75×16=1200(米) 1200÷80=15(分) 12<15 12分钟不能到达学校 解析:根据“如果他每分钟走60米,那么将迟到4分 钟;如果他每分钟走75米,那么正好准时到达”可知, 路程相差60×4=240(米),每分钟走的路程相差 75-60=15(米),所以小明到学校的规定时间为 240÷15=16(分);再根据“如果他每分钟走75米,那 么正好准时到达”,求出小明家到学校的路程;然后根 据“每分钟走80米”,求出到达学校需要的时间;最后 与12分钟比较大小即可。 3. (27-5)÷(8-6)=11(名) 8×11-27=61(棵) 4. (18-6)÷(15-13)=6(个) 15×6+6=96(块) 5. (20+2)÷(20-18)=11(名) 18×11+2= 200(本) 专题二 巧用质因数 [例题导引] 例1 解答:2910=2×3×5×97 因为笑笑的哥哥是 中学生,所以笑笑的哥哥的年龄是3×5=15(岁),所 以笑笑的哥哥在这次数学竞赛中的得分是97分,名 次是第2名 例2 解答:聪聪家的电话号码是9699690 解析:假 设聪聪家的电话号码是abcabc0,abcabc0=abc× 1001×10,因为10=2×5,所以电话号码是从2开始 的8个连续质数的乘积,又因为1001=7×11×13,所 以abc=3×17×19=969,即abcabc0=9699690。 [提优训练] 1. 210=2×3×5×7=6×5×7 这三个小朋友的年 龄分别是5岁,6岁,7岁 2. 2004=2×2×3×167=12×167 这三个数分别是 1,12,167 3. 35=5×7 63=3×3×7=9×7 45=3×3×5= 9×5 a×b×c=5×7×9=315 4. 52厘米 解析:把1998分解质因数是1998=2× 3×3×3×37,变为三个数相乘(长×宽×高),为了使 三个数的和最小,这三个数应该尽可能小,即1998= 6×9×37,因此它的一组长、宽、高的和的最小值是 6+9+37=52(厘米)。 5. 第一组有169,33,14,75;第二组有143,39,30,35 或第一组有169,33,30,35;第二组有143,39,14,75 解析:先分解质因数:14=2×7,33=3×11,35=5× 7,30=2×3×5,75=3×5×5,39=3×13,143=11× 13,169=13×13。要使每组四个数的乘积相等,就要 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 82 使两组中的质因数一样,并且相同质因数的个数相 同。所以可分为169,33,14,75和143,39,30,35或 169,33,30,35和143,39,14,75。 专题三 长方体和正方体的表面积 [例题导引] 例1 解答:(6×5+6×4+5×4)×2=148(平方厘米) 6×5×4=120(平方厘米) 148+120=268(平方厘米) 例2 解答:80÷4=20(cm2) 20÷5=4(cm) 4× 4×2+40×4×4=672(cm2) [提优训练] 1. 5×2=10(厘米) (10×4+10×3+4×3)×2= 164(平方厘米) 解析:根据题意,把两个同样大小的 长方体拼成一个大长方体,有三种不同的拼法。要求 拼成的大长方体的表面积最大,应将最小的面拼在一 起,然后根据长方体的表面积计算公式解答问题。 2. (40÷2+90÷3+96÷4)×2=148(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果长增加2厘 米,那么体积增加40立方厘米,即宽与高的乘积是 40÷2=20(平方厘米);如果宽增加3厘米,那么体积 增加90立方厘米,即长与高的乘积是90÷3=30(平 方厘米);如果高增加4厘米,那么体积增加96立方 厘米,即长与宽的乘积是96÷4=24(平方厘米)。最 后根据长方体的表面积计算公式进行解答。 3. 48÷4=12(平方厘米) 12÷3=4(厘米) 4-3= 1(厘米) 4×1×4+4×4×2=48(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果高增加3厘 米,那么它就变成一个正方体,说明长和宽相等,且比 高长3厘米,因此表面积增加的48平方厘米是4个同 样的长方形的面积之和。可以先求出1个长方形的 面积是48÷4=12(平方厘米),再求出长方体的长 (宽)是12÷3=4(厘米),由于长(宽)比高长3厘米, 故高是4-3=1(厘米),从而可以求出原来长方体的 表面积。 4. 有三种方法 ① 从顶点上挖掉小正方体,剩余物 体的表面积是4×4×6=96(平方厘米) ② 从棱上 挖掉小正方体,剩余物体的表面积是4×4×6+1× 1×2=98(平方厘米) ③ 从面的中间挖掉小正方体, 剩余物体的表面积是4×4×6+1×1×4=100(平方 厘米) 5. A方案:2×2=4(分米) 4×2×4+4×4×2= 64(平方分米) B方案:2×4=8(分米) 8×2×4+ 2×2×2=72(平方分米) 64<72 A方案比较节省 包装纸,至少需要64平方分米的包装纸 专题四 长方体和正方体的体积 [例题导引] 例1 解答:8×8×8÷(16×4)=8(cm) 例2 解答:168÷4÷6=7(cm) 7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) [提优训练] 1. 8×8×8÷(4×4)=32(dm) 2. 20÷4×(2×3)=30(立方米) 3. 96÷6×(6×4)=384(m3) 4. 80÷4÷2=10(cm) 10×10×(10-2)= 800(cm3) 5. 8×4×4.5÷(6×4)=6(分米) 解析:根据题意可 知,无论横放还是竖放,玻璃缸里水的体积不变,先求 出玻璃缸里水的体积,然后用水的体积除以竖放时玻 璃缸的底面积,即可求出竖放时玻璃缸里的水深。 专题五 分数基本性质的应用 [例题导引] 例1 解答:5×[(12+36)÷12]-5=15 例2 解答:23+19=42 1+5=6 42÷6=7 1×7 5×7= 7 35 7 35-19= 7 16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)五年级