专题一 盈亏问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（人教版）

节日质数:儿童节、建党节、国庆节,这三个节日的日期都是质数:61,71,101。 [上一页答案:7,9,11,13,15,17,19] 采蜜角 整合提优(五年级全学年) 21 专题一 盈亏问题 盈是多余的意思,亏是不足的意思,在分物品时,经常会遇到多余或不足的情况,此类问题 就称为盈亏问题,盈亏问题可分为三类:一盈(或一亏)、双亏(或双盈)、一盈一亏。可以根据不 同分法时多余或不足的物品数量找到解题的关键,从而解决待分物品的数量和分配份数的 问题。 类型一 一盈(或一亏)问题 例1 幼儿园小朋友分饼干,如果每个小朋友 分5块,那么少27块;如果每个小朋友分 4块,那么正好分完。有多少个小朋友? 有多 少块饼干? 点拨:如果每个小朋友分5块,那么少27块; 如果每个小朋友分4块,那么正好分完。少了 27块饼干就是因为每个小朋友多分了(5-4)块􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 , 据此可以求出有多少个小朋友,从而求出饼干 的数量。 解答: 一盈(或一亏)问题 解答此类题型的关键是找出两个相关的差 额,一是总差额,二是每份的差额,将这两个差额 相除,就可以求出总份数,从而求出物品数。基本 关系式为总差额÷每份的差额=总份数。 类型二 双亏(或双盈)问题 例2 李老师有若干支铅笔,要奖励给优秀学 生,若每人分9支,则少15支;若每人分7支, 则少7支。优秀学生有几人? 铅笔有多少支? 点拨:第一次每人分9支,第二次每人分7支, 两次的分配总差额为15-7=8(支)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,就是由 第二次比第一次每人少分9-7=2(支)导致􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的 􀪍 ,可以用“总差额÷两次每人分配的差额􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ”求 出优秀学生的人数,进而可以求出铅笔的 支数。 解答: 双亏(或双盈)问题 本题中两种分法的结果都不够,是典型的“双 亏”问题,双亏问题的基本关系式为(大亏-小 亏)÷两次每份的差额=份数。若两种分法都有 多余,则为“双盈”问题,解法与“双亏”问题相同。 类型三 一盈一亏问题 例3 小红从家到学校上学,出发时她看了看 表,如果像平时那样步行每分钟行60米,那么 她将迟到3分钟;如果骑车每分钟行150米, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆22 那么她将早到6分钟。小红家到学校的路程 是多少米? 点拨:根据题意可知,若步行则到规定时间还 要行60×3=180(米);若骑车则到规定时间 多行150×6=900(米),路程差是180+900=􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 1080(米)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,速度差是150-60=90(米/分)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 可以用“路程差÷速度差􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ”算出规定时间,进而 算出小红家到学校的路程。 解答: 行程中的盈亏问题 在求规定时间时,运用的基本关系式为(盈 数+亏数)÷速度差=规定时间。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 五(1)班的同学去郊游,如果增加一辆车,那么每辆车正好载客6人;如果减少一辆车,那么每 辆车正好载客8人。五(1)班去郊游的同学有多少人? 2. 小明早上从家步行到学校上学,如果他每分钟走60米,那么将迟到4分钟;如果他每分钟走 75米,那么正好准时到达。小明某天上午从家出发,每分钟走80米,12分钟能到达学校吗? 3. 某小组的同学去植树,如果每名同学植8棵,那么少27棵;如果每名同学植6棵,那么少5棵。 一共有多少棵树? 4. 小朋友们分糖,如果每个小朋友分13块,那么多18块;如果每个小朋友分15块,那么多6块。 一共有几个小朋友? 一共有多少块糖? 5. 一些同学在搬书,如果每名同学搬18本,那么还剩2本;如果每名同学搬20本,那么正好有一 名同学没有书可以搬。一共有多少本书? 数学(人教版)五年级 81 五、 1. 2. (1) 2018 2023 (2) 3 8 3 4 (3) 上升 纸书阅读 六、 1. 1-14- 3 8= 3 8 (米) 等腰三角形 2. 5和8的最小公倍数是40 6时30分+40分= 7时10分 3. (8×3+6×3)×2+8×6-20= 112(平方米) 112×12=1344(元) 4. 200÷(12+8)=10(cm) 12×8×10=960(cm3) 解析:题图中涂色部分可以看成是一个长(12+8)cm、 面积为200cm2 的长方形,据此求出宽,即长方体的 宽,进而根据长方体的体积计算公式求解。 5. 4×6×4÷2=48(cm3) 4×6×12-48= 240(cm3) 240cm3=240mL 2 整合提优(五年级全学年) 专题一 盈亏问题 [例题导引] 例1 解答:27÷(5-4)=27(个) 27×4=108(块) 例2 解答:(15-7)÷(9-7)=4(人) 4×9-15= 21(支) 例3 解答:(60×3+150×6)÷(150-60)=12(分) 60×(12+3)=900(米) [提优训练] 1. (8+6)÷(8-6)=7(辆) (7+1)×6=48(人) 2. 60×4÷(75-60)=16(分) 75×16=1200(米) 1200÷80=15(分) 12<15 12分钟不能到达学校 解析:根据“如果他每分钟走60米,那么将迟到4分 钟;如果他每分钟走75米,那么正好准时到达”可知, 路程相差60×4=240(米),每分钟走的路程相差 75-60=15(米),所以小明到学校的规定时间为 240÷15=16(分);再根据“如果他每分钟走75米,那 么正好准时到达”,求出小明家到学校的路程;然后根 据“每分钟走80米”,求出到达学校需要的时间;最后 与12分钟比较大小即可。 3. (27-5)÷(8-6)=11(名) 8×11-27=61(棵) 4. (18-6)÷(15-13)=6(个) 15×6+6=96(块) 5. (20+2)÷(20-18)=11(名) 18×11+2= 200(本) 专题二 巧用质因数 [例题导引] 例1 解答:2910=2×3×5×97 因为笑笑的哥哥是 中学生,所以笑笑的哥哥的年龄是3×5=15(岁),所 以笑笑的哥哥在这次数学竞赛中的得分是97分,名 次是第2名 例2 解答:聪聪家的电话号码是9699690 解析:假 设聪聪家的电话号码是abcabc0,abcabc0=abc× 1001×10,因为10=2×5,所以电话号码是从2开始 的8个连续质数的乘积,又因为1001=7×11×13,所 以abc=3×17×19=969,即abcabc0=9699690。 [提优训练] 1. 210=2×3×5×7=6×5×7 这三个小朋友的年 龄分别是5岁,6岁,7岁 2. 2004=2×2×3×167=12×167 这三个数分别是 1,12,167 3. 35=5×7 63=3×3×7=9×7 45=3×3×5= 9×5 a×b×c=5×7×9=315 4. 52厘米 解析:把1998分解质因数是1998=2× 3×3×3×37,变为三个数相乘(长×宽×高),为了使 三个数的和最小,这三个数应该尽可能小,即1998= 6×9×37,因此它的一组长、宽、高的和的最小值是 6+9+37=52(厘米)。 5. 第一组有169,33,14,75;第二组有143,39,30,35 或第一组有169,33,30,35;第二组有143,39,14,75 解析:先分解质因数:14=2×7,33=3×11,35=5× 7,30=2×3×5,75=3×5×5,39=3×13,143=11× 13,169=13×13。要使每组四个数的乘积相等,就要 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析