专题十 和倍、差倍问题-【通成学典】2025年四年级数学暑期升级训练（人教版）

采蜜角 先天有数妙蓍龟,诧鬼夸神满卷诗。独一许翁可吾意,预占晴色赏酴醾。 ———[元]方回《赠数学吴桂子》40 专题十 和倍、差倍问题 已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数各是多少的问题,在数 学上叫作和倍问题。已知两个数的差与它们之间的倍数关系,求这两个数各是多 少的问题,在数学上叫作差倍问题。 类型一 简单的和倍问题 例1两种书各有多少本? 点拨:为了便于理解题意,弄清数量间 存在的关系,可以画图进行分析 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 由上图,可知如果把漫画书的本数看作 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 1份 􀪍􀪍 ,那么故事书的本数就是这样的 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 12份 􀪍􀪍􀪍 ,两种书的总本数就是这样的1+ 12=13(份)。把总本数520平均分成 13份,则其中1份是漫画书的本数, 12份是故事书的本数。 解答: 运用画线段图法解决和倍问题 画线段图是解决和倍问题的常用方法, 解决和倍问题的基本数量关系为和÷(倍 数+1)=较小数;较小数×倍数=较大数 (或和-较小数=较大数)。 类型二 简单的差倍问题 例2大课间活动,跑步的和跳绳的各有 多少人? 点拨:将跳绳的人数看作1份 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,则跑步的 􀪍􀪍􀪍􀪍 人数就是这样的13份 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,根据题意,画出 如下示意图。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)四年级 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆ 评价苑 41 由图可知,跳绳的人数比跑步的人数少 12份,这12份对应的人数就是132 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 , 1份对应的就是跳绳的人数。 解答: 运用对应法解决差倍问题 一般情况下,题目不会直接告诉我们两 个数的差对应的倍数,这就需要我们根据题 目的具体特点将它们找出来,然后利用下面 的基本数量关系进行计算:差÷(倍数- 1)=较小数;较小数×倍数=较大数(或较 小数+差=较大数)。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 某学校开展植树活动,四、五年级各植树多少棵? 2. 甲、乙两箱水果共96千克,如果从甲箱中取出12千克放入乙箱,那么乙箱的质 量是甲箱的3倍。原本甲、乙两箱水果各有多少千克? 3. 学校将360本图书分给五、六年级,其中六年级分得图书的本数比五年级的2倍 多60。五、六年级各分得图书多少本? 4. 有甲、乙两桶汽油,如果向甲桶中倒入9千克,那么两桶汽油就一样重;如果向乙 桶中倒入15千克,那么乙桶汽油就是甲桶的4倍。甲、乙两桶原来各有汽油多 少千克? 2 整合提优 85 2. 160-18=142(千克) 142×2=284(千克) 284+30=314(千克) 314×2=628(千克) 解析:根 据题意,可知第一天卖出后,剩下苹果的一半为160- 18=142(千克),即第一天卖出后,剩下苹果的质量为 142×2=284(千克);再根据第一天卖出的,可知水果店 里苹果总质量的一半为284+30=314(千克),因此水 果店里原来有314×2=628(千克)苹果。 3. (10-4)×2=12(元) (12-2)×2=20(元) (20-1)×2=38(元) 解析:由题意,列出如下表格。 操作情况 储蓄罐里的零花钱/元 第3次操作后 10 第2次操作后 (10-4)×2=12 第1次操作后 (12-2)×2=20 开始时 (20-1)×2=38 由表格可以推算出原来储蓄罐里有多少钱。 4. (0+2)×2=4(颗) (4+2)×2=12(颗) (12+ 2)×2=28(颗) (28+2)×2=60(颗) 专题九 和差问题 [例题导引] 例1 解答:方法一:大筐苹果:(120+30)÷2=75(千 克) 小筐苹果:75-30=45(千克)[或120-75= 45(千克)] 方法二:小筐苹果:(120-30)÷2= 45(千克) 大筐苹果:45+30=75(千克)[或120- 45=75(千克)] 例2 解答:方法一:80×2+18=178(袋) 甲仓库: (1200+178)÷2=689(袋) 乙仓库:1200-689= 511(袋)[或689-178=511(袋)] 方法二:80×2+ 18=178(袋) 乙仓库:(1200-178)÷2=511(袋) 甲仓库:1200-511=689(袋)[或511+178=689(袋)] [提优训练] 1. 一等奖:(24-8)÷2=8(人) 二等奖:8+8= 16(人) 2. 公鸡:(480-60)÷2=210(只) 母鸡:210+60= 270(只) 3. 文艺书:(405+20-50)÷3=125(本) 科技书: 125-20=105(本) 故事书:125+50=175(本) 4. 欢欢:(21+3)÷2=12(岁) 乐乐:21-12=9(岁) 5. 甲箱:[102+(24×2+4)]÷2=77(个) 乙箱: 102-77=25(个) 解析:先求出两箱鸡蛋的数量差, 根据已知条件可知,甲箱鸡蛋比乙箱鸡蛋多24×2+ 4=52(个),然后根据和差公式即可解决问题。 6. 阳阳:(100+8×2)÷2=58(枚) 强强:100-58= 42(枚) 解析:由阳阳给强强8枚邮票后,两人的邮 票枚数正好相等,可知阳阳比强强多8×2=16(枚)邮 票,即两人的邮票相差16枚,据此先根据“(和+ 差)÷2=大数”,求出阳阳的邮票枚数,然后根据 “和-大数=小数”,即可求出强强的邮票枚数。 7. 20×2-6=34(元) 姐姐:(180+34)÷2= 107(元) 妹妹:180-107=73(元) 8. 84÷2=42(厘米) 长:(42+6)÷2=24(厘米) 宽:42-24=18(厘米) 面积:24×18=432(平方厘 米) 解析:由笑笑用一根长84厘米的铁丝围成了一 个长方形,可知长方形的周长是84厘米,则一条长与 一条宽的和是84÷2=42(厘米),然后根据和差公式 分别求出长方形的长与宽,进而求出长方形的面积。 专题十 和倍、差倍问题 [例题导引] 例1 解答:漫画书:520÷(12+1)=40(本) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 86 故事书:40×12=480(本)[或520-40=480(本)] 例2 解答:跳绳的:132÷(13-1)=11(人) 跑步的:11×13=143(人)[或11+132=143(人)] [提优训练] 1. 四年级:42÷(3-1)=21(棵) 五年级:21×3= 63(棵) 2. 甲箱:96÷(1+3)+12=36(千克) 乙箱:96- 36=60(千克) 解析:根据“如果从甲箱中取出12千 克放入乙箱,那么乙箱的质量是甲箱的3倍”可知,此 时水果总质量不变,如果把变化后甲箱水果的质量看 作1倍数,那么水果总质量就是这样的(1+3)倍数, 运用和倍关系即可解决问题。 3. 360-60=300(本) 五年级:300÷(2+1)= 100(本) 六年级:360-100=260(本) 解析:由题 意,如果六年级分得的图书去掉60本,那么此时共有 300本图书,六年级分得图书的本数正好是五年级的 2倍,再根据“和÷(倍数+1)=较小数”,可求出五年 级分得图书300÷(2+1)=100(本),则六年级分得图 书360-100=260(本)。 4. 甲桶:(15+9)÷(4-1)=8(千克) 乙桶:8+9= 17(千克) 解析:根据“如果向甲桶中倒入9千克,那 么两桶汽油就一样重”,可知原来乙桶汽油比甲桶多 9千克,如果向乙桶中倒入15千克,那么这时乙桶汽 油比甲桶多15+9=24(千克),又因为这时乙桶汽油 就是甲桶的4倍,根据差倍公式,用24÷(4-1)可以 求出原来甲桶汽油的质量,然后加上9千克,就是原 来乙桶汽油的质量。 专题十一 行程问题 [例题导引] 例1 解答:12×2=24(千米) 48-42=6(千米) 24÷6=4(时) (42+48)×4=360(千米) 例2 解答:14-5=9(千米) 18÷9=2(时) [提优训练] 1. 240÷3=80(千米) 240÷6=40(千米) 240÷ (80+40)=2(时) 2. 40×2=80(米) 45-40=5(米) 80÷5=16(分) (40+45)×16=1360(米) 3. 400÷(280-230)=8(分) 亮亮:280×8= 2240(米) 乐乐:230×8=1840(米) 解析:由题意, 知亮亮和乐乐同时从同一起跑线出发沿同方向跑,且 亮亮跑得快,所以他第一次追上乐乐时,比乐乐多跑 了400米。由于亮亮每分钟比乐乐多跑280-230= 50(米),则第一次追上乐乐时经过了400÷50=8(分), 最后根据“速度×时间=路程”,算出两人各跑的路程。 4. 24-21=3(千米) 75÷3=25(时) 5. (1) 4.5+4.5=9(千米) 9÷3=3(时) 8+3= 11(时) 上午11时 (2) 60-3=57(千米) (60+ 57)×3=351(千米) 6. (1) 65×8=520(米) 195-65=130(米) 520÷ 130=4(分) 解析:此题为追及问题,由题意,可知追 及路程为65×8=520(米)。因为两人每分钟行的路程 相差195-65=130(米),所以根据“追及路程÷速度 差=追及时间”,即可求出爸爸出发几分钟后追上欢欢。 (2) 65×(8+4)=780(米) 解析:爸爸追上欢欢时, 欢欢一共走了(8+4)分钟,根据“速度×时间=路 程”,即可求出欢欢所走的路程。 7. 30×2×2=120(千米) 70-30=40(千米/时) 120÷40=3(时) 30×(2+3)=150(千米) 解析:由题意,可知通信员多走的路程是队伍2小时 所走路程的2倍,也就是追及路程为30×2×2= 120(千米),通信员与队伍行进的速度差是70-30= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)四年级