专题二 三角形的内角和-【通成学典】2025年四年级数学暑期升级训练（人教版）

一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴。 采蜜角 23 专题二 三角形的内角和 我们把三角形内部的三个角称为三角形的内角,根据三角形的内角和是 180°,可以运用等量代换法、添加辅助线法等判断三角形的形状及计算四边形、五 边形等多边形的内角和。 类型一 三角形的形状 例1已知∠1、∠2和∠3是一个三角形 的三个内角,∠3=60°,∠2比∠1小 12°,则按角分,这是一个什么三角形? 点拨:根据题意,必须知道三角形最大 内角的度数。已知∠2比∠1小12°,可 得∠1=∠2+12°,又因为三角形的内角 和是180°,∠3=60°,通过等量代换 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 即得 ∠1+∠2+∠3=∠2+12°+∠2+ 60°=180°,据此可求出∠2的度数,进而 求出∠1的度数,即可判断出这个三角 形的形状。 解答: 运用等量代换法求三角形中未知角的度数 在三角形中,要求未知角的度数,可以 先根据三角形的内角和是180°列出关系 式,再根据已知条件,运用等量代换法求出 未知角的度数。 类型二 多边形的内角和 例2已知三角形的内角和是180°,你能 根据这一结论求出五边形、八边形的内 角和吗? 点拨:从五边形的一个顶点出发,分别 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 连接与它不相邻的顶点 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,五边形被分成 了3个三角形(如左下图),所以其内角 和是180°×3。依此方法,八边形被分 成了6个三角形(如右下图),其内角和 就是180°×6。 解答: 添加辅助线求多边形的内角和 求多边形的内角和时,可通过添加辅助 线转化为求若干个三角形的内角和。可用 公式(n-2)×180°(n表示边数)进行计算。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆24 1. 2. 已知∠1、∠2和∠3是一个三角形中的三个内角,∠1=86°,∠3比∠2大8°,则 ∠2、∠3分别是多少度? 按角分,这是一个什么三角形? 3. 已知∠1、∠2和∠3是一个三角形中的三个内角,且∠1+∠2=∠3,则按角分, 这是一个什么三角形? 4. 5. 一个五边形(如下图),沿一条直线剪去一个角,剩下的图形的内角和是多少度? 数学(人教版)四年级 81 3560(元);方案③,8位老师和12名学生买团体票,其 余学生买儿童票:20×20+18×(170-12)=3244(元)。 因为3244<3260<3560,所以选择方案③。 2 整合提优(四年级全学年) 专题一 小数的加减法 [例题导引] 例1 解答:方法一:20.36+10.2=30.56 30.56- 8.35=22.21 方法二:10.2-8.35=1.85 20.36+ 1.85=22.21 例2 解答:100-0.01-0.02-0.03-…-0.19- 0.20=100-(0.01+0.02+0.03+…+0.19+ 0.20)=100-(1+2+3+…+19+20)÷100=100- (1+20)×20÷2÷100=100-210÷100=97.9 [提优训练] 1. 9.1-5.79=3.31 40.6-3.31=37.29 2. 61.23-13.4=47.83 47.83-5.6=42.23 解析:在减法算式中,减数增加了13.4,则差减少了 13.4;被减数减少了5.6,则差也减少了5.6。 3. 6-2=4 0.07-0.01=0.06 4+0.06=4.06 解析:把被减数个位上的2看成了6,这样被减数多了 4;把减数百分位上的7看成了1,这样又少减了0.06, 所以错误的结果与正确的结果相差4.06。 4. (1) 53-0.1-0.2-0.3-…-0.8-0.9-1= 53-(0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9+1)=53- (1+2+3+…+8+9+10)÷10=53-(1+10)× 10÷2÷10=47.5 (2) 4.99+4.98+4.97+…+ 4.93+4.92=(5-0.01)+(5-0.02)+(5- 0.03)+…+(5-0.07)+(5-0.08)=5×8- (0.01+0.02+0.03+…+0.07+0.08)=5×8- (1+2+3+…+7+8)÷100=40-(1+8)×8÷2÷ 100=39.64 (3) 0.001+0.002+0.003+…+ 0.049+0.05=(1+2+3+…+49+50)÷1000= (1+50)×50÷2÷1000=1.275 (4) 19+0.01+ 0.02+0.03+…+0.39+0.4=19+(0.01+0.02+ 0.03+…+0.39+0.4)=19+(1+2+3+…+39+ 40)÷100=19+(1+40)×40÷2÷100=27.2 专题二 三角形的内角和 [例题导引] 例1 解答:180°-60°-12°=108° ∠2=108°÷2= 54° ∠1=54°+12°=66° 这是一个锐角三角形 例2 解答:180°×3=540° 180°×6=1080° 五边形的内角和是540°,八边形的内角和是1080° [提优训练] 1. 顶角:(180°-9°-9°)÷3=54° 底角:54°+9°= 63° 三个内角分别是54°、63°、63° 2. 180°-86°=94° 94°-8°=86° ∠2=86°÷2= 43° ∠3=43°+8°=51° 这是一个锐角三角形 解析:因为∠1=86°,所以∠2+∠3=180°-86°=94°。 由∠3比∠2大8°,可知∠3=∠2+8°。将∠2+∠3= 94°中的∠3换成∠2+8°,得∠2+∠2+8°=94°,则 ∠2=(94°-8°)÷2=43°,最后由∠3=∠2+8°,得 ∠3=43°+8°=51°,从而根据三个内角都是锐角判断 出这是一个锐角三角形。 3. ∠3=180°÷2=90° 这是一个直角三角形 解析:根据三角形的内角和是180°,可知∠1+∠2+ ∠3=180°,且∠1+∠2=∠3,所以将∠1+∠2+ ∠3=180°中的∠1+∠2换成∠3,得∠3+∠3= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 82 180°,即∠3=180°÷2=90°,所以这是一个直角三 角形。 4. 900°÷180°=5 5+2=7 七边形 5. ① (4-2)×180°=360° ② (5-2)×180°=540° ③ (6-2)×180°=720° 解析:把五边形沿一条直线 剪去一个角,一共有三种情况:第一种剪法剩下的图 形是四边形(如图①),第二种剪法剩下的图形是五边 形(如图②),第三种剪法剩下的图形是六边形(如图 ③),再根据多边形的内角和公式进行计算即可。 专题三 平均数问题 [例题导引] 例1 解答:227-220=7(千克) 278-220=58(千 克) 235-220=15(千克) 229-220=9(千克) 251-220=31(千克) 226-220=6(千克) (7+ 58+15+9+31+6)÷6=21(千克) 220+21= 241(千克) 例2 解答:假设上山的路程为1200米。 1200× 2=2400(米) 1200÷30+1200÷60=60(分) 2400÷60=40(米/分) [提优训练] 1. 87-87=0(分) 90-87=3(分) 94-87=7(分) 88-87=1(分) 96-87=9(分) (0+3+7+1+ 9)÷5=4(分) 87+4=91(分) 2. 假设全程为24千米。 24÷2=12(千米) 12÷ 12+12÷4=4(时) 24÷4=6(千米) 解析:假设全 程为24千米(也可以假设其他数),根据“时间=路 程÷速度”,先分别求出骑自行车所用的时间和步行 所用的时间,再求出总时间,最后用总路程除以总时 间,即可求解。 3. (12×40+8×60)÷(40+60)=9.6(元) 4. 60×25=1500(米) 1500×2÷(25+35)=50(米/分) 5. 30×(15+20)=1050(米) 1050÷2=525(米) 专题四 寻找规律 [例题导引] 例1 解答:1.8 1.7 例2 解答:1+2+3+4+…+48+49+50=(1+ 50)×50÷2=1275 [提优训练] 1. (1) 25 (2) 2 1.5 (3) 256 8192 解析:从第三个数开始,每个数都是 它前面两个数的积。 (4) 12 162 解析:此题需将这一组数分解为两组 数,其中第1个、第3个、第5个……为一组,第2个、 第4个、第6个……为一组,通过对比,找出规律。 2. (1) 36 (2) 7 (3) 20 (4) 18 3. (1) 原式=(1+99)+(2+98)+(3+97)+…+ (99+1)+100=100×99+100=100×100=10000 (2) 原式=1000-(1+2+3+4+…+39+40)= 1000-(1+40)×40÷2=180 (3) 原式=(2+3+2+3×40)×40÷2=2540 解析:计算这道题的关键是把每个小括号里的算式看 作一个整体,则相邻两个小括号里的算式的结果相差 3,然后根据“等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2” 列式为(2+3+2+3×40)×40÷2,再计算出得数即可。 (4) 原式=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(96-95)+ (98-97)+(100-99)=1×50=50 解析:观察算式可 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)四年级