4.2 对数（题型专练）数学苏教版2019必修第一册

4.2 对数 题型一 对数的概念判断与求值 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津西青·期中），则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 3．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 4．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．（多选）（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 2．（24-25高一上·辽宁·期末）已知，则 ． 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 对数的运算性质的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）计算的值为（   ） A． B．4 C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则x，y的关系式是（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东威海·期末）（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）（   ） A． B．3 C． D． 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）计算 . 题型四 运用换底公式计算、化简 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 题型五 运用换底公式证明恒等式 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 2．（19-20高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 3．（20-21高一·江苏·课后作业）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明： （1）； （2）（，，）. 题型一 指数幂运算、对数运算的混合问题 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）计算的值为 . 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）计算的值是 ． 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）计算 ． 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值. 5．（24-25高一上·江西景德镇·期末）（1）化简：，（） （2）计算： 题型二 对数运算与最值、范围问题 1．（24-25高一上·海南·期末）已知正实数，满足，，，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足，则的可能取值是（   ） A．9 B．3 C．2 D．6 3．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 1．（23-24高一·江苏·假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）计算下列各式的值： (1) (2). 3．（24-25高一上·吉林·期中）计算下列各值： (1)； (2). 4．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算： (1)． (2) 5．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（1）计算：. （2）已知，，用表示. 6．（24-25高一上·河南驻马店·期末）计算求值． (1)计算； (2)已知，求的值． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数满足且，，求实数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 对数 题型一 对数的概念判断与求值 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 2．（24-25高一上·天津西青·期中），则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B. 4．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 5．（多选）（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 题型二 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 2．（24-25高一上·辽宁·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】由已知且，， 得，则， 故， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型三 对数的运算性质的应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）计算的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】原式． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则x，y的关系式是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由题设得，即，即，所以或．由对数定义知，所以只能是． 3．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用指数式和对数式的互化以及对数的运算性质即可求解. 【详解】，则， 即. 故选：C. 4．（24-25高一上·山东威海·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数幂，同底数指数幂运算法则，对数运算法则化简计算即可. 【详解】因为，，， 所以原式. 故选：D 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】， 故选：C 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）计算 . 【答案】// 【分析】根据对数运算的性质即可求解． 【详解】 故答案为：. 题型四 运用换底公式计算、化简 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 4．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确； 对于B，由，得，故，所以B正确； 对于C，设，取对数得.所以.所以C正确； 对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 故选：ABC. 题型五 运用换底公式证明恒等式 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 2．（19-20高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【详解】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 3．（20-21高一·江苏·课后作业）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明： （1）； （2）（，，）. 【答案】证明见解析 【分析】直接利用换底公式化简证明即可 【详解】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数， 所以左边右边， 所以， （2）因为a，b均为不等于1的正数，，， 所以左边右边， 所以（，，） 题型一 指数幂运算、对数运算的混合问题 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）计算的值为 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为：. 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）计算的值是 ． 【答案】 【分析】根据指数幂及对数的运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】根据换底公式、对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为：. 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）5；（2）2 【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则得到答案； （2）指数式化为对数式，并利用换底公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2），故， 故 . 5．（24-25高一上·江西景德镇·期末）（1）化简：，（） （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由指数幂的运算法则计算即可； （2）由对数运算法则和对数运算性质即可计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 题型二 对数运算与最值、范围问题 1．（24-25高一上·海南·期末）已知正实数，满足，，，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题设可得，进而可得，根据对数及二次函数性质求最值. 【详解】由题设，可得， 所以， 当，时，的最大值是2. 故选：B 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数a，b满足，则的可能取值是（   ） A．9 B．3 C．2 D．6 【答案】ABD 【详解】由得， 变形得．因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以． 3．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 1．（23-24高一·江苏·假期作业）已知(，且；，且)，试探究a与b的关系，并给出证明． 【答案】或，证明见解析 【分析】设，则，可得，分类讨论和，即可得出答案. 【详解】或.证明如下： 设，则， 所以，因为，且，所以，即. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以或. 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）计算下列各式的值： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1） ； （2） . 3．（24-25高一上·吉林·期中）计算下列各值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合换底公式运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 4．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算法则结合换底公式求得正确答案. 【详解】（1） ； （2） . 5．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）（1）计算：. （2）已知，，用表示. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质计算； （2）根据对数的运算性质及换底公式求解. 【详解】（1） . （2）因为，，所以，， 则 . 6．（24-25高一上·河南驻马店·期末）计算求值． (1)计算； (2)已知，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可； （2）利用对数运算性质化简变形可求得答案. 【详解】（1）由于，，， ， 因此原式． （2）由条件，． 由，得， 所以，化简得， 所以 得或（舍去） 从而可得. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数满足且，，求实数的值． 【答案】或 【分析】根据指数与对数的相互转化及对数的定义求解即可. 【详解】因为且，则①， 由得，②， 由得，③， 联立①②③解得或， 当时，解得； 当时，解得． 综上所述，或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$