2.2 基本不等式讲义-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

2.2基本不等式 知识梳理 一、基本不等式有关概念 1、两个不等式 （1）重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 （2）基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 2、不等式链 ≥ ≥ ≥ 平方 算术 几何 调和 二、利用基本不等式求最值 1、利用基本不等式求最值的条件 (1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数. 若不满足，则考虑先变形再求解或换用其他求最值的方式，如： 求 （）的最值时，需先变形为 再用不等式。 (2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值. 特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式. 【注】a，b指“两部分” (3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值. (4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需保证各次等号成立条件一致，否则会导致范围扩大。 如，求 （）的最小值时，先由 ，再对 用对勾函数结论，两次等号均在 时成立。 2、常用结论 （1）积定和最小，和定积最大 ①设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【拓展】对于 个正数，和定积最大、积定和最小时，各数相等。 （2）常见的求最值模型 ①模型一：，当且仅当时等号成立； ②模型二：，当且仅当时等号成立； ③模型三：，当且仅当时等号成立； ④模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数“1”的代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 三、对勾函数与基本不等式 1、对勾函数的定义与表示 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如 = ax + 的函数； 当 a ≠0 , b≠ 0 时，对勾函数 = ax + 是正比例函数f(x) = ax 与反比例函数 ，通过函数 的“和 ”的运算合成的函数； 2、对勾函数的图象与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 3、对勾函数与基本不等式的关系 基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 对勾函数顶点的纵坐标为基本不等式取得的最值，横坐标为取得最值时的取等条件 【考点一 求最值（基础类型）】 典例剖析 【题型一 不等式链直接应用】 1．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【解答过程】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断. 【解答过程】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【变式】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【解答过程】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 3．（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A. 【变式】（2024重庆）已知两个正数满足，则的最小值为（        ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选： 【题型二 （标准）对勾函数型求最值】 4．（24-25高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【解题思路】利用基本不等式即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 【变式】（2022·江苏连云港·高一期末）函数的最大值是（       ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解析】由题意可得函数的定义域为，则， 所以， 【题型三 常数“1”的替换】 （乘整体） 5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【解答过程】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 【变式】（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值． 【解答过程】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A. （代入） 6．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】由题意知， 当且仅当，且 ，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 【变式】（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【解题思路】代入，再由基本不等式即可求解； 【解答过程】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为． 故选:C. 【考向二 配凑法求最值】 【题型一 简单配凑：构造常数或系数】 7．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可得最值. 【解答过程】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 【变式】（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【解题思路】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 【变式】当时，则函数的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由，则，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即最大值为， 故答案为：. 【题型二 对勾型的构造（二次商式）】 9．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【变式】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 10．若则的最大值为_______ 【答案】 解析： 当且仅当即时等号成立 所以的最大值为 【变式】（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 【考点三 常数“1”的替换（构造变形）】 【题型一 分母和定无条件】 11．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式来求得正确答案. 【解答过程】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D. 【变式】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】利用配凑得到分母的和是定值，进而利用均值定理求解． 【详解】， 当且仅当 ，又　故时取等号． 故选：C． 【题型二 条件等式（有和有积无常数）】 12．（2022·广西·桂林中学高一期中）若，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由得，则有，有，同理可得， 由两边除以xy得：，于是得： ，当且仅当时取“=”， 由解得：，所以当时，取得最小值. 故答案为： 【题型三 条件求值（复杂分式，构造常数或系数）】 13．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【答案】 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立.所以，的最小值为.故答案为：. 【变式】（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】由题意得，再用基本不等式解题即可. 【详解】由得， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为．故答案为： 14．（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值. 【解答过程】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 【变式】已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【考点四 利用基本不等式解决恒成立、有解问题】 15．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解答过程】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式】（2023浙江）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为两个正实数满足，所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以大于的最小值，即，解得或， 即实数的取值范围是，故选：C 16．命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 ，使得 【详解】由题意得命题的否定为，使得， 若命题为假命题，则其否定为真命题，即， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. 故答案为：，使得； 【变式】已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 【考点五 基本不等式的实际应用】 17．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【解题思路】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【解答过程】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B. 18．（24湖南长沙高一上期末）某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产千件产品，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量为3千件时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由已知，， 又 所以 （2）当时，，则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390，故当产量为3千件时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【变式】随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 【答案】(1) (2)隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时,此时车流密度约为75辆/千米. 【分析】（1）根据分段函数的性质，列不等式即可求解， （2）根据基本不等式求解函数的最值即可求解. 【详解】（1）由可得 当时，，符合题意， 当时，令，可得， 综上可得 （2）由题意得， 当时,为增函数,所以,当时等号成立; 当时，， ， 故, 当且仅当，即时等号成立. 由于 所以,隧道内车流量的最大值约为2700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米. 第 2 页 共 28 页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式 知识梳理 一、基本不等式有关概念 1、两个不等式 （1）重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 （2）基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 2、不等式链 ≥ ≥ ≥ 平方 算术 几何 调和 二、利用基本不等式求最值 1、利用基本不等式求最值的条件 (1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数. 若不满足，则考虑先变形再求解或换用其他求最值的方式，如： 求 （）的最值时，需先变形为 再用不等式。 (2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值. 特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式. 【注】a，b指“两部分” (3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值. (4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需保证各次等号成立条件一致，否则会导致范围扩大。 如，求 （）的最小值时，先由 ，再对 用对勾函数结论，两次等号均在 时成立。 2、常用结论 （1）积定和最小，和定积最大 ①设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. ②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【拓展】对于 个正数，和定积最大、积定和最小时，各数相等。 （2）常见的求最值模型 ①模型一：，当且仅当时等号成立； ②模型二：，当且仅当时等号成立； ③模型三：，当且仅当时等号成立； ④模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数“1”的代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 三、对勾函数与基本不等式 1、对勾函数的定义与表示 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如 = ax + 的函数； 当 a ≠0 , b≠ 0 时，对勾函数 = ax + 是正比例函数f(x) = ax 与反比例函数 ，通过函数 的“和 ”的运算合成的函数； 2、对勾函数的图象与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 3、对勾函数与基本不等式的关系 基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 对勾函数顶点的纵坐标为基本不等式取得的最值，横坐标为取得最值时的取等条件 【考点一 求最值（基础类型）】 典例剖析 【题型一 不等式链直接应用】 1．（2025·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【变式】（2024重庆）已知两个正数满足，则的最小值为（        ） A．3 B．6 C． D． 【题型二 （标准）对勾函数型求最值】 4．函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式】函数的最大值是（       ） A．7 B． C．9 D． 【题型三 常数“1”的替换】 （乘整体） 5．（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【变式】（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 （代入） 6．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【变式】（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【考向二 配凑法求最值】 【题型一 简单配凑：构造常数或系数】 7．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式】已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 8．若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【变式】当时，则函数的最大值为 ． 【题型二 对勾型的构造（二次商式）】 9．若，则的最小值是 . 【变式】若，则的最小值为 . 10．若则的最大值为_______ 【变式】函数在上的最大值为 ． 【考向三 常数“1”的替换（构造变形）】 【题型一 分母和定无条件】 11．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．12 【题型二 条件等式（有和有积无常数）】 12．若，，则的最小值为__________. 【题型三 条件求值（复杂分式，构造常数或系数）】 13．已知，且，则的最小值为 【变式】已知正数满足，则的最小值为 ． 14．（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知，且，则的最小值是 . 【考点四 利用基本不等式解决恒成立、有解问题】 15．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 16．命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式】已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【考点六 基本不等式的实际应用】 17．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 18．（24湖南长沙高一上期末）某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产千件产品，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【变式】随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:，研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时. (1)若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$