22.3 实际问题与二次函数 同步提升2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上 22.3 实际问题与二次函数 同步提升 一、选择题 1.在学校运动会上，九年级班的运动员掷铅球，铅球的高与水平距离之间的函数表达式为，则此运动员的成绩是(    ) A. B. C. D. 2.某畅销书的售价为每本元，每星期可卖出本，书城准备开展读书节活动，决定降价促销．经调研，如果调整售价，每降价元，每星期可多卖出本．设每本畅销书降价元，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数关系式为  (    ) A. B. C. D. 3.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶的高度是时，这时水面宽度为  (    ) A. B. C. D. 第3题 第4题 第5题 4.如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分水平地面为轴，单位：，有下列结论：出球点离点的距离是；羽毛球最高达到；羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，已知：正方形的边长为，、、、分别为各边上的点，且，设的长为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致是(    ) A. B. C. D. 6.一种高脚杯如图所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深如图，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜即与液面所在直线相交，所夹较小角为，液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽为(    ) A. B. C. D. 第6题 第8题 二、填空题 7.若等边三角形的边长为，面积为，则与的函数关系式是          ． 8.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是，则铅球推出的距离           9.飞机着陆后滑行的距离单位：米与滑行的时间单位：秒之间的函数关系式是，飞机着陆后滑行_________秒才能停下来． 10.如图，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度即的长为___          ___． 第10题 第11题 第12题 11.如图，四边形的两条对角线，互相垂直，且若设，四边形的面积为，则与之间的函数关系式为          ，的最大值为          ． 12.明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面身高的明明站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶______碰到水柱填“能”或“不能” 三、解答题 13.如图，用长为的篱笆虚线部分两面靠墙围成矩形的苗圃在一边开了一个宽的门． 设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式． 写出自变量的取值范围，并求出当时，所围苗圃的面积是多少？ 14.本小题分 某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表： 售价元件 月销量件 已知该运动服的进价为每件元． 售价为元，月销量为件． 求关于的函数关系式； 若销售该运动服的月利润为元，求关于的函数关系式，并求月利润最大时的售价； 由于运动服进价降低了元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足中函数关系式结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低元，则的值是多少？ 15.如图有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型如图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为如图所示建立平面直角坐标系． 求抛物线的解析式 已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度 现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米请问两船能否在桥下顺利交汇不考虑两船间的空隙． 16.某超市拟于春节前天里销售某品牌灯笼，其进价为元个．设第天的销售价格为元个，销售量为个该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律： 与的关系式为； 与的关系式为． 求第天的日销售利润； 当时，求第几天的销售利润元最大？最大利润为多少？ 若超市希望第天到第天的日销售利润元的最小值为元，需在当天销售价格的基础上涨元个，求的值． 17.某商店销售某种商品的进价为每件元，这种商品在近天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第天，且为整数 日销售价元件 日销售量件 设该商品的日销售利润为元． 求日销售利润关于的函数关系式； 该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 18.根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的跳台高度？ 素材 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图是其横截面示意图，以地面的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距点水平距离米处．      素材 小雪从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变． 问题解决 任务 确定滑行路径 求的值； 任务 确定山坡形状 当小雪滑行到离处的水平距离为米时，恰好落在小山坡上，求抛物线的函数表达式； 任务 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.米 11. 12.不能  13.解：由题意得： ； 自变量的取值范围：， 当时，， 当时，所围苗圃的面积是． 14.解：设关于的函数关系式为，把，代入得： ， 解得：， 关于的函数关系式为； 月利润 ． ， 为开口向下的抛物线， 当时，月最大利润为元； 关于的函数关系式为，月利润最大时的售价为元； 设调整后的售价为元，则调整后的单件利润为元，销量为件． 月利润 ， 当时，月利润最大，则， 解得． 的值是元．  15.解：由题可得：，，． 设该抛物线的解析式为，  将代入上式得解得 ， 抛物线的解析式为，  当时，有， 解得，最大宽度为米  当时，，  米，  米米， 两船不能在桥下顺利交汇．  16.解：当时，，， 利润， 答：第天的日销售利润为元； 根据题意得，， ，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 故当时，元， 答：第天的销售利润最大，最大利润为元； 根据题意得，， ， 抛物线开口向下，对称轴， 第天到第天的日销售利润元的最小值为元， 当时，即对称轴为时，的最小值在或处取得， ， 故不合题意； 当时，对称轴， 则当时，取最小值， ， ，与矛盾， 不符合题意； 当时，对称轴， 当时有最小值， ， 解得，符合， 的值为．  17.解：当时， ； 当时， ． 与的函数关系式为． 当时， ． ， 当时，有最大值，最大值为； 当时， ． ， 当时，有最大值，最大值为． ， 该商品在第天的日销售利润最大，最大日销售利润是元．  18.解：任务一将代入抛物线，得， 解得： 任务二由任务一可得抛物线， 当时，，则落地点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将，代入得， 解得： ； 任务三小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上， 跳台高度增加了米， 跳台增高后的解析式为 当时，， 解得：舍去 即小雪落地时距离点， 对于 当时，， 解得：舍去 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上，   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 人教版九年级上 22.3 实际问题与二次函数 同步提升 一、选择题 1.在学校运动会上，九年级(5)班的运动员掷铅球，铅球的高�(�)与水平距离�(�)之间的函数表达式为� =− 0.2�2 + 1.6� + 1.8，则此运动员的成绩是( ) A. 10� B. 4� C. 5� D. 9� 2.某畅销书的售价为每本 30 元，每星期可卖出 200 本，书城准备开展读书节活动，决定降价促销．经调研， 如果调整售价，每降价 2 元，每星期可多卖出 40 本．设每本畅销书降价�元，每星期售出此畅销书的总销 售额为�元，则�与�之间的函数关系式为 ( ) A. � = (30 − �)(200 + 40�) B. � = (30 − �)(200 + 20�) C. � = (30 − �)(200 − 40�) D. � = (30 − �)(200 − 20�) 3.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为� =− 125 � 2，当水面 离桥拱顶的高度��是 2 �时，这时水面宽度��为 ( ) A. −10 � B. −5 2� C. 5 2� D. 10 2� 第 3题 第 4题 第 5题 4.如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线� =− 14� 2 + 34 � + 1 的一部分(水平地 面为�轴，单位：�)，有下列结论：①出球点�离点�的距离是 1�；②羽毛球最高达到2516�；③羽毛球横向 飞出的最远距离是 3�；其中，正确结论的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 5.如图，已知：正方形����的边长为 1，�、�、�、�分别为各边上的点，且�� = �� = �� = ��，设�� 的长为�(� > 0)，四边形����的面积为�，则�关于�的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 第 2页，共 6页 6.一种高脚杯如图 1 所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图 2 为其杯肚的截面图，已知杯口�� = 8��，杯深�� = 12��.如图 3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜 45 ∘(即��与液面��所在直线相交，所夹较 小角为 45 ∘)，液面��与��交于点�，且点�距杯口��的距离�� = 7��，则此时液面宽��为( ) A. 2 2�� B. 10 23 �� C. 16 2 3 �� D. 16 3 �� 第 6题 第 8 题 二、填空题 7.若等边三角形的边长为�(� > 0)，面积为�，则�与�的函数关系式是 ． 8.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度�(单位：�)与水平距离�(单位：�)之间的关系是� =− 112 (� − 10)(� + 4)，则铅球推出的距离�� = �. 9.飞机着陆后滑行的距离�(单位：米)与滑行的时间�(单位：秒)之间的函数关系式是� =− 1.5�2 + 60�，飞机 着陆后滑行_________秒才能停下来． 10.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了 苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为 80 米，高度为 200 米．则离 地面 150 米处的水平宽度(即��的长)为___ ___． 第 10题 第 11题 第 12题 11.如图，四边形����的两条对角线��，��互相垂直，且�� + �� = 12.若设�� = �，四边形����的面积 为�，则�与�之间的函数关系式为 ，�的最大值为 ． 12.明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度�(�)与水 柱距喷水头的水平距离�(�)之间近似满足函数关系� =− 110 (� − ℎ) 2 + �的图象，已知水柱在距喷水头�水平 第 3页，共 6页 距离 5�处达到最高，最高点距离地面 3.2�.身高 1.6�的明明站在水柱正下方，且距喷水头�水平距离 8� 的位置，她的头顶______碰到水柱. (填“能”或“不能”) 三、解答题 13.如图，用长为 15�的篱笆(虚线部分)两面靠墙围成矩形的苗圃.在一边开了一个 1�宽的门． (1)设矩形的一边为�(�)，面积为�(�2)，求�关于�的函数关系式． (2)写出自变量�的取值范围，并求出当� = 8 时，所围苗圃的面积是多少？ 14.(本小题 8 分) 某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表： 售价(元/件) 200 210 220 230 … 月销量(件) 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件 150 元． (1)售价为�元，月销量为�件． ①求�关于�的函数关系式； ②若销售该运动服的月利润为�元，求�关于�的函数关系式，并求月利润最大时的售价； (2)由于运动服进价降低了�元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足(1)中函 数关系式.结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低 15 元，则�的值是多少？ 第 4页，共 6页 15.如图 ①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型.如图 ②，当水面宽��为 12�时，桥洞顶部离水面高�� 为 4�.如图 ③所示建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式; (2)已知该拱桥限高103米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度; (3)现有两艘宽都为 3 米，高出水面 2 米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升 1.2 米.请问两船能 否在桥下顺利交汇? (不考虑两船间的空隙)． 16.某超市拟于春节前 50 天里销售某品牌灯笼，其进价为 18 元/个．设第�天的销售价格为�(元/个)，销售 量为�(个).该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律： ①�与�的关系式为� =− 12 � + 55； ②�与�的关系式为� = 5� + 50． (1)求第 10 天的日销售利润； (2)当 34 ≤ � ≤ 50 时，求第几天的销售利润�(元)最大？最大利润为多少？ (3)若超市希望第 30 天到第 40 天的日销售利润�(元)的最小值为 5460 元，需在当天销售价格的基础上涨� 元/个(0 < � < 8)，求�的值． 第 5页，共 6页 17.某商店销售某种商品的进价为每件 30 元，这种商品在近 60 天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第�天(1 ≤ � ≤ 60，且�为整数) 1 ≤ � ≤ 30 31 ≤ � ≤ 60 日销售价(元/件) 0.5� + 35 50 日销售量(件) 124 − 2� 设该商品的日销售利润为�元． (1)求日销售利润�关于�的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 第 6页，共 6页 18.根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的跳台高度？ 素 材 1 跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳 台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞 行至着陆坡．图 1 是某小型跳台滑雪训练场的 实物图，图 2 是其横截面示意图，以地面的水 平线为�轴，过跳台终点�作水平线的垂线为� 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线�1近 似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位 于点�的正上方1712米处，最右端在水平线上，且 最高点在距�点水平距离 8 米处． 素 材 2 小雪从点�正上方158米处的�点滑出，滑出后沿一段抛物线�2: � = � � − 7 2 + 8 运动．该滑雪场有 若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不 变． 问题解决 任 务 1 确定滑行路径 求�的值； 任 务 2 确定山坡形状 当小雪滑行到离�处的水平距离为 11 米时，恰好落 在小山坡上，求抛物线�1的函数表达式； 任 务 3 选择跳台高度 若小雪选择的跳台高度增加了 17 8米，请判断在该训练 场地滑行时是否会落在小山坡上．