专题3.2 图形的旋转（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题3.2 图形的旋转 教学目标 1. 学生能精准阐述图形旋转的定义，清晰识别旋转中心、旋转方向和旋转角度这三个图形旋转的关键要素，并能准确描述图形旋转的过程。 2.熟练掌握在方格纸上画出简单图形绕某一点旋转 90°、180° 后的图形的方法，能够根据旋转的特征和性质，判断图形旋转前后的对应点、对应线段和对应角，解决与图形旋转相关的实际画图和计算问题。 教学重难点 1.重点 (1)深刻理解图形旋转的定义和三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），能够准确判断和描述图形旋转的过程和要素，这是学习图形旋转知识的基础。 (2)熟练掌握在方格纸上画出简单图形绕定点旋转一定角度后的图形的方法，理解图形旋转前后对应点、对应线段和对应角的关系，能运用这些关系解决图形旋转的实际问题，为后续学习复杂图形的变换奠定基础。 2.难点 (1)理解图形旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等、对应线段长度相等、对应角大小相等的性质，并能运用这些性质进行图形的旋转设计和相关计算，需要学生具备较强的空间观念和逻辑推理能力。 (2)在方格纸上画出绕非方格顶点的点旋转一定角度后的图形，准确确定对应点的位置，尤其是涉及到小数或分数角度的旋转，对学生的空间想象和精确绘图能力要求较高，是教学中的难点所在 。 知识点01 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【即学即练】 1.下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：不能由一个图形通过旋转而成的为是： ， 故选C． 知识点02 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【即学即练】 1.如图，正方形中，边长为1，将边绕点B逆时针旋转至，连接、、若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作于点F．由旋转的性质可得，结合等腰三角形的性质可得．由正方形的性质结合题意可证，即得出，，结合勾股定理可求出，即得出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点B作于点F． ∵将边绕点B逆时针旋转至， ∴为等腰三角形，且． ∵， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，． ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 2．如图，在中，，以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，若点恰好落在边上，连接，则长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，过点A作于H，由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，得到，，则可证明是等边三角形，得到；由勾股定理得的长，再由勾股定理得的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， 由旋转的性质可得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线性质，旋转的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平行线性质得到，再结合旋转的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，求出，即可解题． 【详解】解： ，， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 故答案为：． 知识点03 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【即学即练】 1．如图，均在格点（网格线的交点）上，每一小格正方形的边长均为1． (1)作关于轴对称的图形，请在图中作出． (2)将绕点按顺时针方向旋转后，得到，请在图中作出． (3)直接写出（2）中点的坐标：________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，点坐标，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质画出点、、的对应点分别为，即可画出； （2）根据旋转的性质即可将绕点顺时针旋转得到； （3）根据图象写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示；即为所求； （2）解：如图所示；即为所求； （3）解：． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； (3)当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，平行四边形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点C和的坐标可得平移方式为向右平移7个单位长度，向下平移6个单位长度，据此得到的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （3）根据平行四边形对角线中点坐标相同列式求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：∵四边形为平行四边形，，，， ∴， ∴， ∴． 题型01旋转图形的判定 【典例1】数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 【变式1】将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 的旋转现象，直接利用旋转的性质得出对应图形即可，正确掌握旋转方向是解此题的关键． 【详解】 解：将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是， 故选：D． 【变式2】如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案． 【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，风车图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰直角三角形的顶点向下，得到的图案是C． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 【变式3】图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是熟练掌握旋转的定义．根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有B选项符合题意． 故选：B． 题型02利用旋转的性质求角 【典例2】如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，先求解，可得，进一步可得即可. 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可知，， ∴； 故选：D 【变式1】如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，当与在一条直线上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的性质、三角形内角和定理等知识，根据题意求得是解题的关键．由旋转得，而，则，因为，则，进而即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，， ∴， ∴， ∵与在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于点F，点C、A、D在一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等边对等角，由旋转的性质可得，，则由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．连接，若，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由垂线的定义得到，由旋转的性质可得，，求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理就即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 由旋转的性质可得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03利用旋转的性质求边长 【典例3】如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质与判定，特殊直角三角形（含锐角）的边与边的关系要熟练计算．由旋转的性质可知，又因为，可得为等边三角形，又因为中有，可得出，故由已知，算出，相减即可． 【详解】解：由旋转的性质得出， , 为等边三角形， ， 又在中，，则， ， ∴． ， ∴，， ， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，．现在将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质．由题意可得是等边三角形，进一步可得是等边三角形即可得出的长度． 【详解】解：中，，，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ． 是旋转而成， ，． ． 是等边三角形． ． 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，点D恰好在边上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，根据旋转的性质证明为等边三角形，进而证明为等边三角形，得出，利用30度角对的直角边等于斜边一半，得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点C的对应点D恰好落在边上，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 先由旋转的性质得出，，再由等腰三角形的性质得，从而可得出，进而得，继而可得，然后由勾股定理求得，即可由求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型04画旋转图形 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 ． (1)画出向右平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析， 【分析】本题考查了作图——旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据平移的性质即可向右平移个单位，作出平移后的，即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后得到的，进而写出 点的坐标． 【详解】（1）解：∵．将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的， ∴， 如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， ． 【变式1】如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的．写出点坐标___________，点坐标___________，点坐标___________． (2)将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)图见解析，，， (2)见解析 【分析】本题主要考查平移、旋转作图，解题的关键是熟知旋转的性质找到对应点的位置． （1）根据平移的特点找到各顶点的对应点，再顺次连接即可得，根据网格可得各对应点坐标； （2）根据旋转的特点找到各顶点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作： 由图可知：，，． （2）解：如图，即为所作： 【变式2】如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上. (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)画出关于点对称的； (3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用网格特点和平移的性质画出点A，B，C的对应点分别是点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点分别是点即可． （3）连接相交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，点即为所求． 【变式3】如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题．    (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； (2)在图中添加一个点P，使A，B、O，P四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点P的坐标为______（填一个即可）； (3)已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是______，旋转角是______度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】（1）根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，描点，画图即可； （2）根据题意，构造一个平行四边形，此时，解答即可； （3）根据旋转的性质，画图解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下：    则即为所求． （2）解：根据题意，构造一个平行四边形， 此时，    故答案为：． （3）解：根据题意，旋转中心在两直线的交点处，画图如下：    此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平移作图，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，中心对称图形的理解，旋转中心，熟练掌握作图是解题的关键． 题型05求旋转对称图形的旋转角度 【典例5】风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角的最小值为． 故选：B 【变式1】如图，花朵图案绕中心至少旋转后与原来的图案互相重合，x的值为（   ）． A．36 B．45 C．60 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键．根据旋转对称图形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，花朵图案绕中心至少旋转后与原来的图案互相重合， x的值为72． 故选：D． 【变式2】如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据旋转后与原图形重合，找出对应的旋转角即可解答． 【详解】解：由题意知， 旋转后与原图形重合， 故选：C． 【变式3】如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转图形，由旋转图形得，即可求解；理解旋转图形的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 至少旋转才能与自身重合； 故选：D． 题型06求绕原点旋转90°的点坐标 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 【变式1】如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，若将菱形先向左平移3个单位，再将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质．先求得平移后点B的对应点，过点和作轴的垂线，垂足分别为和，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∵菱形， ∴点， ∵将菱形先向左平移3个单位， ∴平移后点B的对应点， 过点和作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴旋转后点B的对应点的坐标是， 故选：C． 【变式2】如图，点A的坐标为，若将线段绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转．过点A作轴于点D，过点作轴于点E，由题意得，．由旋转得，，证明，可得，，则可得点的坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D，过点作轴于点E， ∴． ∵点A的坐标为， ∴，． ∵线段绕原点O逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 题型07求绕某点旋转90°的点坐标 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的变化，掌握旋转，平移的性质是关键． 根据旋转，平移的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据题意，， 如图所示， 将线段先绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，再将线段向下平移得到线段，点的对应点为点，即点变换后的对应点的坐标是， ∴旋转后向下平移了4个单位， ∴， 故选：D ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，线段的垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定点为与的垂直平分线的交点，是解题的关键． 根据旋转的性质可得为与的垂直平分线的交点，则，设，再由，结合两点之间距离公式建立方程求解． 【详解】解：由题意得点为与的垂直平分线的交点， ∴， ∵， ∴的垂直平分线为直线， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：A的对应点的坐标为； 故选：D． 题型08坐标与旋转规律问题 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标规律、旋转的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作轴于C．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，…，6次一个循环，然后再求第100次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：如图：过点A作轴于C． ∵，， ∴ ， 在中，，，即， ∴，， ∴， ∴， ∵将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴、在y轴上，易得，；与A关于y轴对称，则；与关于x轴对称，则；与关于y轴对称，则，与A重合，即； ∴，，，，，，…，6次一个循环， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出每旋转四秒点A对应点的坐标循环出现及熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质找到规律，A点的坐标以每6秒为一个周期依次循环，进而得出第2025时，点的对应点的坐标． 【详解】解：∵，叶片每秒绕原点O逆时针转动， ∴A点的坐标以每6秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点的对应点的坐标与点绕原点O逆时针转动的对应点坐标相同，这时的点与点关于原点对称， 故第2025秒时，点的对应点的坐标为， 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是次一循环，可得结论． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴由旋转得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，…， 发现是次一循环，所以， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，规律性的探索，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够掌握从特殊到一般探究规律的方法． 【变式3】如图；长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点为中心，翻转后点的坐标为．则翻转2025次后点的坐标应为 ． 【答案】 【分析】先分别求解第2次翻转后、第3次翻转后、第4次翻转后点A的坐标，再探究总结规律，利用规律解决问题即可．本题考查坐标规律的探究，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：∵第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为． ∴第2次翻转后点A的坐标为， ∴第3次翻转后点A的坐标为， ∴第4次翻转后点A的坐标为， ∴第5次翻转后点A的坐标为， 依次类推：发现点A的纵坐标4次翻转为一个循环，长方形旋转一周，横坐标增加6， ∵， ∴则翻转次后点A的纵坐标与第1次翻转后点A的纵坐标相等，即为2， 则横坐标， ∴则翻转次后点A的坐标应为． 故答案为：． 一、单选题 1．如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点、，交边于点D．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质，三角形的内角和，根据旋转的性质，则，，根据，求出，即可求解． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，这两条垂直平分线交于点P，如图， ∴旋转中心是点P， 故选：C． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由旋转知，，由等边对等角得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转知，，， ， 即， 故选D． 4．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选∶A． 5．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线分别交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的判定方法，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据旋转的性质得到，由三角形内角和定理可判定D选项；根据平行线的判定可确定C选项；结合图示可判定A，B选项；由此即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 在和中，， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 当时，，此时， ∵的度数去确定， ∴不一定平行，故C选项错误，不符合题意； 已知，无法确定与的数量关系，故B选项错误，不符合题意； 已知，若，则， ∵与的数量关系无法确定， ∴不一定等于，故A选项错误，不符合题意； 故选：D ． 6．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标， 先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E， ∵点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故选：A． 7．如图，直线与直线交于点，与直线交于点，，若使平行，则可将直线绕点逆时针旋转（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，图形的旋转等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 利用平行线的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当与其内错角相等时，， 所以此时，的其内错角为， 所以此时，的度数旋转到， 所以，旋转的度数为， 故选：B． 8．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（   ）    A． B．1.5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识．连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角边长度即可． 【详解】解：如图所示，连接、，   ∵四边形是四边形逆时针旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 9．如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】将绕点顺时针旋转得到，证明，根据全等三角形的性质可知，设：，则，，在中，由勾股定理列式，解出即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，此时，    ∴，，，， ∴，，，共线， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设：，则，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，正方形的性质，根据题目意思正确作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题 10．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键；连接；由旋转的性质得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接； 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴； 在，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 作出旋转后的图形，再根据三角函数求出旋转后点的坐标即可． 【详解】解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，每旋转4次则回到原位置， ∵， ∴第2025次旋转结束时，图形旋转了． 过点作于点E，过点作于点D，如图 有 ∵点，，，且． ∴，， ∴，， ∴，即，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为． 故答案为． 12．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据旋转得到，，，即可得到，结合即可得到答案． 【详解】解：∵绕直角顶点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，由旋转可得，进而根据等腰三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转得，， ∴， 故答案为：． 14．如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，找旋转角等知识点，牢记旋转角的定义是解题的关键：旋转角是指对应线段的夹角． 根据正方形的性质可得，由旋转角的定义即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ， 以点为中心把顺时针旋转得到，而旋转角是指对应线段的夹角， 就是旋转角， 旋转角的度数是， 故答案为：． 15．如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为 ；的面积为 ． 【答案】 /150度 / 【分析】由旋转的性质得到得，结合等边三角形的性质证明，得到，根据，证明是以为直角的直角三角形，即可求出的度数；过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为，利用直角三角形的性质求出，进而求出，，利用等边三角的性质求出，利用即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴； 过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形． 三、解答题 16．如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）证明即可． （2）连接，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴； ∴； ∵， ∴ ∴． （2）连接， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴是等边三角形， ∴； ∵，，， ∴，； ∴； ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17．（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）思路一：将绕点逆时针旋转，得到，易得为直角三角形，证明，得到，利用勾股定理求出的长即可；思路二：同思路一； （2）将绕点逆时针旋转，得到，同理得到，推出，作交的延长线于点，设，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 将绕点C逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 图形的旋转 教学目标 1. 学生能精准阐述图形旋转的定义，清晰识别旋转中心、旋转方向和旋转角度这三个图形旋转的关键要素，并能准确描述图形旋转的过程。 2.熟练掌握在方格纸上画出简单图形绕某一点旋转 90°、180° 后的图形的方法，能够根据旋转的特征和性质，判断图形旋转前后的对应点、对应线段和对应角，解决与图形旋转相关的实际画图和计算问题。 教学重难点 1.重点 (1)深刻理解图形旋转的定义和三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），能够准确判断和描述图形旋转的过程和要素，这是学习图形旋转知识的基础。 (2)熟练掌握在方格纸上画出简单图形绕定点旋转一定角度后的图形的方法，理解图形旋转前后对应点、对应线段和对应角的关系，能运用这些关系解决图形旋转的实际问题，为后续学习复杂图形的变换奠定基础。 2.难点 (1)理解图形旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等、对应线段长度相等、对应角大小相等的性质，并能运用这些性质进行图形的旋转设计和相关计算，需要学生具备较强的空间观念和逻辑推理能力。 (2)在方格纸上画出绕非方格顶点的点旋转一定角度后的图形，准确确定对应点的位置，尤其是涉及到小数或分数角度的旋转，对学生的空间想象和精确绘图能力要求较高，是教学中的难点所在 。 知识点01 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【即学即练】 1.下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（    ） A． B． C． D． 知识点02 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【即学即练】 1.如图，正方形中，边长为1，将边绕点B逆时针旋转至，连接、、若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，若点恰好落在边上，连接，则长为（   ） A． B．4 C． D． 3．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为 ． 知识点03 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【即学即练】 1．如图，均在格点（网格线的交点）上，每一小格正方形的边长均为1． (1)作关于轴对称的图形，请在图中作出． (2)将绕点按顺时针方向旋转后，得到，请在图中作出． (3)直接写出（2）中点的坐标：________． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； (3)当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 题型01旋转图形的判定 【典例1】数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【变式1】将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A．B．C． D． 【变式2】如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ） A． B． C． D． 【变式3】图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（    ）    A．  B．  C．  D．   题型02利用旋转的性质求角 【典例2】如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，当与在一条直线上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于点F，点C、A、D在一条直线上，则的度数为 ． 【变式3】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．连接，若，则 ． 题型03利用旋转的性质求边长 【典例3】如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，．现在将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为 ． 【变式2】如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，点D恰好在边上，连接，则的长为 ． 【变式3】如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点C的对应点D恰好落在边上，若，则的长为 ． 题型04画旋转图形 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 ． (1)画出向右平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【变式1】如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的．写出点坐标___________，点坐标___________，点坐标___________． (2)将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 【变式2】如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上. (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)画出关于点对称的； (3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置. 【变式3】如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题．    (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； (2)在图中添加一个点P，使A，B、O，P四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点P的坐标为______（填一个即可）； (3)已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是______，旋转角是______度． 题型05求旋转对称图形的旋转角度 【典例5】风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，花朵图案绕中心至少旋转后与原来的图案互相重合，x的值为（   ）． A．36 B．45 C．60 D．72 【变式2】如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 题型06求绕原点旋转90°的点坐标 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，点，若将菱形先向左平移3个单位，再将菱形绕原点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点A的坐标为，若将线段绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 题型07求绕某点旋转90°的点坐标 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型08坐标与旋转规律问题 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为 ． 【变式3】如图；长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点为中心，翻转后点的坐标为．则翻转2025次后点的坐标应为 ． 一、单选题 1．如图，把绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点、，交边于点D．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（   ） A．M B．N C．P D．Q 3．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动B．升国旗的上升过程C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 5．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线分别交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线与直线交于点，与直线交于点，，若使平行，则可将直线绕点逆时针旋转（    ） A． B． C． D． 8．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（   ）    A． B．1.5 C． D． 9．如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 10．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为 ． 12．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接．若，则的度数为 ． 13．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则的度数为 ． 14．如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是 15．如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为 ；的面积为 ． 三、解答题 16．如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 17．（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$