专题3.1 圆的基本认识（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题3.1 圆的基本认识 教学目标 1.学生能准确阐述圆的定义，深入理解圆心、半径、直径等圆的基本要素概念，清晰掌握半径与直径在数量及位置上的关系，熟练运用圆规规范画出不同大小和位置的圆，并能在给定图形中准确识别圆心、半径、直径。​ 2.学会运用圆的基本性质解决简单实际问题，如根据圆的半径计算直径，通过测量直径推算半径，能运用圆的知识解释生活中圆形物体的设计原理。 教学重难点 1.重点 （1）深入理解圆的定义以及圆心、半径、直径的概念，熟练掌握半径与直径的数量关系，能够灵活运用这些概念和关系进行圆的相关判断与计算。 （2）熟练掌握圆规画圆的方法和技巧，深刻理解圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小的原理，能根据不同条件准确画出符合要求的圆 2.难点 （1）帮助学生突破对直线图形的固有认知，深刻理解圆 “一中同长” 的本质特征，即圆上任意一点到圆心的距离都相等，从感性认识上升到理性认识。 1. （2）引导学生理解圆的轴对称和中心对称性质，并能运用这些性质解决实际问题，如利用圆的对称性进行图案设计、解释生活中的对称现象等，提升学生综合运用知识的能力。 知识点01 圆的定义和性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（   ） A．以点为圆心，线段的长为半径作弧 B．有两边相等的两个直角三角形全等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．五边形的内角和是720° 【答案】A 【分析】本题考查了弧的作法，全等三角形的判定，垂线的基本事实，多边形内角和公式，根据以上知识点进行逐一判断即可． 【详解】解：A.说明了弧的作法，结论正确，符合题意； B.若两边非对应相等（如一直角边与斜边和另一直角边），则无法保证全等（如边长为3、4、5与4、5、的三角形），故错误，不符合题意； C.根据垂线公理，平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，结论错误，不符合题意； D.五边形内角和公式为（），结果为，故错误，不符合题意； 故选：A． 知识点02 圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【即学即练】 1．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了弦的定义，熟练掌握弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．根据弦的定义即可解答． 【详解】解：图中的弦有、这2条． 故选：A． 知识点03 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【即学即练】 1．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 2．平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，涉及圆的基本性质、点到圆的距离等知识，根据题意，结合点与圆的位置关系得到题目描述的情形，分类作出图形，数形结合，列式求解即可得到答案，熟记点与圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：根据点与圆的位置关系可知，当点在圆上时，点到圆的距离为， 平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为， 点不可能在圆上，即点在圆内或圆外， 当点在圆内时，如图所示： 圆的半径为； 当点在圆外时，如图所示： 圆的半径为； 综上所述，圆的半径为或， 故选：B． 3．若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 【答案】点在圆内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】设圆的半径为，点到圆心的距离为． 已知，因为． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆内， 当时，点在圆上；当时，点在圆外， 所以点在内． 故答案为：点在圆内． 知识点04 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．由两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线，再由外心的定义可知外心的纵坐标为1，设的外心为，利用两点距离公式和外心的性质求解，即可解题． 【详解】解： B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 题型01圆的有关概念辨析 【典例1】下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答． 【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误； B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误； C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误； D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确； 故选：D． 【变式1】下列关于圆的说法中，正确的是（   ） A．半圆是圆中最长的弧 B．圆内接平行四边形一定是矩形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆的直径是圆的对称轴 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的条件以及圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．利用圆的有关定义以及性质分别判断即可． 【详解】解：半圆不是圆中最长的弧，故选项A错误； 圆内接平行四边形一定是矩形，故选项B错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项C错误； 圆的直径所在的直线是圆的对称轴，故选项D错误； 故选B． 【变式2】如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 【变式3】已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 题型02求圆中弦的条数 【典例2】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【变式1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式3】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 题型03求圆内最长一点的弦 【典例3】已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据直径是圆的最大的弦解答，即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∴中弦的长度小于等于， 故选：D． 【变式1】已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 厘米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 【变式2】如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，圆中最长的弦是直径，据此求出该圆的直径长，进而可得该圆的半径长． 【详解】解：∵一个圆最长的弦是， ∴这个圆的直径为， ∴这个圆的半径为， 故答案为：． 【变式3】外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 题型04圆的周长与面积问题 【典例4】如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明为等边三角形得出，再由圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 【变式1】如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 【答案】2π 【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4， ∴， 连接，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 【变式3】如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆周长的计算公式，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据圆周长计算公式可得，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质，得到，再根据等腰三角形的判定得到，由此可得，即得答案． 【详解】的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 题型05确定圆的条件 【典例5】下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 【变式2】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【变式3】如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 题型06点与圆的位置关系 【典例6】已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系． 根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，当， 即点到圆心的距离大于半径， ∴点P在圆外， 故选：A． 【变式1】圆外一点到圆心的距离为6，则这个圆的半径可能为（    ） A．6.5 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，求出圆的半径．根据点在圆外时，设的半径为，则． 【详解】解：设的半径为， 点在圆外， ， 故选B． 【变式2】的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 【变式3】一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为； ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：或． 题型07圆中角度的计算 【典例7】如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接，结合半径相等以及菱形的性质得，故都是等边三角形，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴都是等边三角形， ∴， 即， 故选：B 【变式1】如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的基本性质，连接，可证明，得到，由三角形外角的性质得到，再由得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关性质，等边对等角，三角形内角和定理．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，为的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，由，得出，由三角形的外角性质得出，再由平行线的性质即可得出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 题型08圆中线段长度的计算 【典例8】如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，在中利用勾股定理求出的长，再结合是的直径即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， 是的直径， ． 故选：D． 【变式1】如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， 则是等腰直角三角形． ， ． ． 故答案为：． 【变式2】如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、圆的基本概念等知识．根据题意利用矩形的性质得出是解此题的关键． 如图，连接．由矩形的性质得到，勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式3】如图，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、扇形的有关性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识在联系和运用是解答的关键． 连接，可得，根据已知可得，根据四边形是正方形可得，再根据含度角的直角三角形可得，根据勾股定理即可求出OB的长，进而可得AB的长． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得： ， ∴， 解得，负值舍去， ∴． 故答案为： 题型09求一点到圆上点的距离的最值 【典例9】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 【变式1】如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 【变式3】如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，点的坐标． 根据题意得出最大的情况是解题的关键． 连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，根据勾股定理求出，延长交于点，此时最大，，由，此时，然后 根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∴， 延长交于点，此时最大，， ∵，此时， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 题型10求三角形的外接圆的圆心 【典例10】如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，则，即点M的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，所以点M是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M， ∵，垂直平分线， ∴，即点M的横坐标为1， ∵，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴点M是的外心， ∵， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键． 【变式2】已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边长的一半解答即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心、勾股定理，掌握直角三角形的外接圆的半径等于斜边长的一半是解题的关键． 【详解】解：∵的两直角边的长分别为和， ∴该直角三角形的斜边长， 这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据网格特点找出和的垂直平分线即可找出点P的位置即可． 【详解】解：分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图，   则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，利用外心的定义找出点P的位置是解题的关键． 题型11求特殊三角形外接圆的半径 【典例11】如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 【变式1】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【答案】作图见解析，的外接圆的半径为4 【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即可，由等腰三角形的性质可求，证明是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为4． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】如图，已知△ABC为等腰三角形，AD⊥BC； (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若底边，腰，求△ABC外接圆⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，已知AD是BC边上的垂直平分线，再作△ABC的另一边的垂直平分线，它于AD的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆； （2）连接OB，然后根据等腰三角形的性质求得BD，然后勾股定理求得AD,最后利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 如图是所求作的的外接圆. （2）解：如图： ∵是等腰三角形，底边，腰， ∴， ∴在中，. 在中，. ∴． 【点睛】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾股定理构建方程是解答本题的关键． 【变式3】如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 一、单选题 1．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 3．如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系． 由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形， 正方形的对角线的长为， 半径的长为， ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 4．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的性质，圆与直线，中位线的判定和性质，掌握中位线的判定和性质，圆与直线的关系是关键． 根据题意得到，如图所示，连接，，当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大，由勾股定理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴令，则， 解得，， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∴当的值最大时，的值最大，即当三点共线，点在之间时，的值最大， ∵，，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴， 故选：B ． 5．已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点A在内． 故选：C． 6．已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径即可解答． 【详解】解：的半径为3，点P在内， ， 的长可能是2． 故选：A． 7．已知线段，点P到点A，B的距离分别是5和3，则满足条件的点P的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，找出到某点距离相等的所有点是解决本题的关键． 作一个以A为圆心，以3为半径的圆，再作一个以B为圆心，以5为半径的圆，可知这两个圆有两个交点，则满足题意的点的个数为2个． 【详解】解：到点A距离为3的所有点是以A为圆心，以3为半径的圆，到点B距离为5的所有点是以B为圆心，以5为半径的圆； ∵， ∴， 即圆A和圆B相交， 画出图形，找出两圆的交点个数有2个， 故选：C． 8．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，4为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置，矩形的性质，勾股定理，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 运用勾股定理求出点到圆心的距离，再根据点到圆心的距离与圆的半径的关系“，点在圆内；，点在圆上；，点在圆外”判定即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵以点为圆心，4为半径作，如图所示，连接， ∴， ∴点在外， 故选：D ． 9．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 10．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D． 11．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 二、填空题 12．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 13．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 圆的基本认识 教学目标 1.学生能准确阐述圆的定义，深入理解圆心、半径、直径等圆的基本要素概念，清晰掌握半径与直径在数量及位置上的关系，熟练运用圆规规范画出不同大小和位置的圆，并能在给定图形中准确识别圆心、半径、直径。​ 2.学会运用圆的基本性质解决简单实际问题，如根据圆的半径计算直径，通过测量直径推算半径，能运用圆的知识解释生活中圆形物体的设计原理。 教学重难点 1.重点 （1）深入理解圆的定义以及圆心、半径、直径的概念，熟练掌握半径与直径的数量关系，能够灵活运用这些概念和关系进行圆的相关判断与计算。 （2）熟练掌握圆规画圆的方法和技巧，深刻理解圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小的原理，能根据不同条件准确画出符合要求的圆 2.难点 （1）帮助学生突破对直线图形的固有认知，深刻理解圆 “一中同长” 的本质特征，即圆上任意一点到圆心的距离都相等，从感性认识上升到理性认识。 1. （2）引导学生理解圆的轴对称和中心对称性质，并能运用这些性质解决实际问题，如利用圆的对称性进行图案设计、解释生活中的对称现象等，提升学生综合运用知识的能力。 知识点01 圆的定义和性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（   ） A．以点为圆心，线段的长为半径作弧 B．有两边相等的两个直角三角形全等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．五边形的内角和是720° 知识点02 圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【即学即练】 1．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 知识点03 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【即学即练】 1．如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 2．平面内，一个点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 3．若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 知识点04 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 2.三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 题型01圆的有关概念辨析 【典例1】下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【变式1】下列关于圆的说法中，正确的是（   ） A．半圆是圆中最长的弧 B．圆内接平行四边形一定是矩形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆的直径是圆的对称轴 【变式2】如图，都是的半径，交于点D．若，，则半径的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 题型02求圆中弦的条数 【典例2】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式3】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型03求圆内最长一点的弦 【典例3】已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为 厘米． 【变式2】如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是 【变式3】外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 题型04圆的周长与面积问题 【典例4】如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米． 【变式2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【变式3】如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 题型05确定圆的条件 【典例5】下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【变式1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【变式2】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【变式3】如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 题型06点与圆的位置关系 【典例6】已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【变式1】圆外一点到圆心的距离为6，则这个圆的半径可能为（    ） A．6.5 B．5 C．7 D．8 【变式2】的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【变式3】一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ． 题型07圆中角度的计算 【典例7】如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 【变式2】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为 ． 【变式3】如图，为的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，则的度数为 ． 题型08圆中线段长度的计算 【典例8】如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式1】如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 【变式2】如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 【变式3】如图，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，则的长为 ． 题型09求一点到圆上点的距离的最值 【典例9】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【变式1】如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【变式2】如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【变式3】如图，点A，B的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，过点做，当取最大值时，点的长度 ． 题型10求三角形的外接圆的圆心 【典例10】如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为 ． 【变式2】已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．    题型11求特殊三角形外接圆的半径 【典例11】如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【变式1】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【变式2】如图，已知△ABC为等腰三角形，AD⊥BC； (1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若底边，腰，求△ABC外接圆⊙O的半径． 【变式3】如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 一、单选题 1．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 5．已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 6．已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知线段，点P到点A，B的距离分别是5和3，则满足条件的点P的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 8．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，4为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 10．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 11．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 二、填空题 12．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    13．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$