专题3.4 圆心角，圆周角和圆内接四边形（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题3.4 圆心角，圆周角和圆内接四边形 教学目标 1. 在探究圆心角、圆周角以及圆内接四边形性质的过程中，引导学生经历观察、实验、猜想、验证、推理等一系列数学活动，全面提升学生的动手实践能力、自主探索能力和逻辑思维能力。 2. 让学生在解决问题的过程中，深刻体会转化、类比、分类讨论等重要数学思想方法，学会将复杂的几何问题转化为熟悉的简单问题，能够通过类比已学知识探索新知识，根据不同情况进行分类讨论，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的空间观念和几何直观. 教学重难点 1.重点 (1)深入理解圆心角、圆周角的概念及其相关定理和推论是首要重点。学生必须透彻明白圆心角与所对弧、弦的关系，圆周角与圆心角的关系，以及同弧或等弧所对圆周角的性质等内容，这是后续运用知识的基石。​ （2）熟练掌握圆内接四边形的性质，包括对角互补、外角等于内对角等，并能准确运用这些性质进行计算和证明。​ （3）学会运用圆心角、圆周角定理及圆内接四边形的性质解决实际的几何问题，能够从复杂的图形中准确识别出相关的基本图形，灵活运用知识进行推理和计算。 2.难点 （1）圆周角定理的证明过程较为复杂，涉及到圆心与圆周角的三种位置关系，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力，这是教学的难点之一。学生要理解不同位置关系下的证明思路和方法，能够清晰地阐述证明过程。 （2）在复杂的几何图形中准确识别和运用圆心角、圆周角以及圆内接四边形的性质是难点所在。实际问题中图形往往较为复杂，多种几何元素交织，学生需要具备敏锐的观察力和分析能力，准确判断哪些条件可以运用相关性质解决问题。 （3）综合运用圆心角、圆周角定理和圆内接四边形的性质解决综合性较强的几何问题。这类问题通常需要结合多个知识点，运用多种数学思想方法，对学生的知识掌握程度和综合运用能力要求较高，学生在解题过程中容易出现思路混乱、方法运用不当等问题 。 知识点01 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【即学即练】 1．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等边对等角，弧、弦的关系，熟练掌握弧、弦的关系是解题的关键，由，得．进而利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解。 【详解】解：∵， ∴． ∴， 故选:B 2．如图，已知、、、是圆上的点，，、交于点，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，根据可得，根据弧与弦的关系可得结论． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：A． 知识点02 圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【即学即练】 1．如图，在中，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外接圆，同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角等知识，掌握以上知识是关键． 根据直径所对圆周角为直角得到，根据同弧所对圆周角相等得到，结合直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 知识点03 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【即学即练】 1．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等求出相关角的度数． 先根据等弧所对圆周角相等求出和，再利用圆内接四边形的外角等于内对角求出． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 题型01圆心角概念辨析及简单运算 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 【变式2】如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 【变式3】在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 题型02求圆弧的度数 【典例2】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 【变式2】如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 【变式3】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 题型03利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例3】如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 【变式1】在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 【变式2】如图，是的直径，，若，则的大小为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆周角相等解答． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 【变式3】如图，点、、、在上，且劣弧，连接、、、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， ， 故选：D． 题型04圆周角的概念辨析及简单运算 【典例4】如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 【变式1】已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可． 【详解】解：∵弦把圆周分成两部分， ∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为， 优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为， ∴弦所对圆周角的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系，解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 【变式2】如图，内接于，是的的直径，点是上一点，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据直径所对的圆周角为直角，得，由同弧所对的圆周角相等，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴ 故答案为：40． 【变式3】如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，则可得到． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型05圆周角定理 【典例5】如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【答案】B 【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可． 【详解】∵OB=OC，∠B=55°， ∴∠B=∠OCB， ∴∠BOC=180°-2∠B=70°， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA==30°， 故选：B． 【点睛】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大． 【变式1】如图，点A，B，C在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 【变式2】如图，为的直径，点，在上，与交于点，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径，得，由圆周角定理得，再由外角的定义得，即可得解． 【详解】解：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 则， 故答案为：． 题型06同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例6】如图，内接于，是的直径，，D 是上的一点，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由直径所对的圆周角是90度，且结合，则，结合，即，由等边对等角，得，即可作答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 则， 则， 故选：C 【变式1】如图，是的直径，，为上同侧的两点，连接，，，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，先由等弧所对的圆周角相等求出，再求出，然后再根据等弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴． 故选D． 【变式2】如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，根据直径所对的圆周角是直角得到，再由等弧所对的圆周角相等得到，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 题型07半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例7】如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，已知∠ADC＝35°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 【答案】A 【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：∵AB⊥CD， ∴∠ADC+∠BAD=90°， ∵∠ADC=35°， ∴∠BAD=90°﹣35°=55°， 故选：A． 【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键． 【变式1】如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，，，、、、都在上，已知平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，先求出，，再根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3】如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，圆周角定理；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．连接，根据是的直径可得，根据圆周角定理可得，由直角三角形两锐角互余即可求得的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 题型08已知圆内接四边形求角度 【典例8】如图，为的内接三角形，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形，在弦下方圆周上任找一点，连接，．利用三角形内角和定理求出，由圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，在弦下方圆周上任找一点，连接，．   ，， ， ， ． 故选：C． 【变式1】如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，四边形为的内接四边形，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，则由圆周角定理可得，再由等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型09求四边形外接圆的直径 【典例9】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式1】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【变式2】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 【变式3】已知四边形中，， ，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【详解】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 一、单选题 1．如图，在的内接中，．射线与交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形的内角和定理、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得；如图：连接，由圆周角定理可得；再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图：连接，则， ∵， ∴． 故选B． 2．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴与不一定相等，符合题意； 故选：． 4．如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了圆周角定理，勾股定理．根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ∴， 是的直径， ． 由勾股定理得：． 故选：C 5．如图，点A、B、C、D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，从而得到，再根据以及三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 6．如图，A、B、C、D四点在上，且，则，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握基本性质是解题关键； 连接，根据圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理得到，即可求出，再通过角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，点为上的点，四边形为菱形，点在优弧上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据菱形的性质，得到，圆周角定理得到，圆内接四边形得到，求解即可． 【详解】解：∵点为上的点，四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题 9．如图，是的外接圆，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，圆周角定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 10．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 【答案】100 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，连接、、．根据圆心角、弧、弦的关系证明、均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出，再由圆周角定理求出，根据“”求出即可．熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 【详解】解：连接、、． 是半圆的直径， ， ， ， ， 、均是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 12．如图，已知四边形内接于，点是劣弧的中点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，同弧所对圆周角的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用点是劣弧的中点，得出，再得出，利用三角形内角和定理，得出，最后利用圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 13．如图，点，，在上，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 14．如图，点A、B、C在上，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆周角定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据可以得到的度数，再根据，三角形内角和是，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 17．如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． (1)求证． (2)若E为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理： （1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 圆心角，圆周角和圆内接四边形 教学目标 1. 在探究圆心角、圆周角以及圆内接四边形性质的过程中，引导学生经历观察、实验、猜想、验证、推理等一系列数学活动，全面提升学生的动手实践能力、自主探索能力和逻辑思维能力。 2. 让学生在解决问题的过程中，深刻体会转化、类比、分类讨论等重要数学思想方法，学会将复杂的几何问题转化为熟悉的简单问题，能够通过类比已学知识探索新知识，根据不同情况进行分类讨论，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的空间观念和几何直观. 教学重难点 1.重点 (1)深入理解圆心角、圆周角的概念及其相关定理和推论是首要重点。学生必须透彻明白圆心角与所对弧、弦的关系，圆周角与圆心角的关系，以及同弧或等弧所对圆周角的性质等内容，这是后续运用知识的基石。​ （2）熟练掌握圆内接四边形的性质，包括对角互补、外角等于内对角等，并能准确运用这些性质进行计算和证明。​ （3）学会运用圆心角、圆周角定理及圆内接四边形的性质解决实际的几何问题，能够从复杂的图形中准确识别出相关的基本图形，灵活运用知识进行推理和计算。 2.难点 （1）圆周角定理的证明过程较为复杂，涉及到圆心与圆周角的三种位置关系，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力，这是教学的难点之一。学生要理解不同位置关系下的证明思路和方法，能够清晰地阐述证明过程。 （2）在复杂的几何图形中准确识别和运用圆心角、圆周角以及圆内接四边形的性质是难点所在。实际问题中图形往往较为复杂，多种几何元素交织，学生需要具备敏锐的观察力和分析能力，准确判断哪些条件可以运用相关性质解决问题。 （3）综合运用圆心角、圆周角定理和圆内接四边形的性质解决综合性较强的几何问题。这类问题通常需要结合多个知识点，运用多种数学思想方法，对学生的知识掌握程度和综合运用能力要求较高，学生在解题过程中容易出现思路混乱、方法运用不当等问题 。 知识点01 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【即学即练】 1．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知、、、是圆上的点，，、交于点，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 知识点02 圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【即学即练】 1．如图，在中，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 知识点03 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【即学即练】 1．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型01圆心角概念辨析及简单运算 【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【变式3】在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 题型02求圆弧的度数 【典例2】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 题型03利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例3】如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【变式1】在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的直径，，若，则的大小为(   ) A． B． C． D． 【变式3】如图，点、、、在上，且劣弧，连接、、、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04圆周角的概念辨析及简单运算 【典例4】如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】如图，内接于，是的的直径，点是上一点，，则 ． 【变式3】如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 题型05圆周角定理 【典例5】如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【变式1】如图，点A，B，C在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，为的直径，点，在上，与交于点，，，则的度数为 ． 【变式3】如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 题型06同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例6】如图，内接于，是的直径，，D 是上的一点，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的直径，，为上同侧的两点，连接，，，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型07半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例7】如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，已知∠ADC＝35°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．70° C．110° D．130° 【变式1】如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，、、、都在上，已知平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型08已知圆内接四边形求角度 【典例8】如图，为的内接三角形，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形为的内接四边形，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型09求四边形外接圆的直径 【典例9】如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【变式3】已知四边形中，， ，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      一、单选题 1．如图，在的内接中，．射线与交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C、D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，A、B、C、D四点在上，且，则，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，点为上的点，四边形为菱形，点在优弧上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的外接圆，，则 ． 10．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 11．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 12．如图，已知四边形内接于，点是劣弧的中点，连接，若，则的度数为 ． 13．如图，点，，在上，，则 ． 14．如图，点A、B、C在上，，则的度数是 ． 三、解答题 16．【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 17．如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． (1)求证． (2)若E为的中点，求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$