第21章一元二次方程（单元解读课件）数学人教版九年级上册

第21章一元二次方程 单元解读 人教版 九年级上册 一、课程标准解读 二、单元内容分析 三、单元教学目标 四、单元课时安排 五、单元教学建议 CONTENTS 目录 课程标准解读 一 3 课程标准解读 《课标》从内容要求、学业要求和教学提示三个方面表述方程的内容。三个方面的要求相互关联，各有侧重，分别描述相关内容“学什么”“学到什么程度”和“怎样学”。 Ⅰ 内容要求 ①理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 ②会用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 ③了解一元二次方程的根与系数关系。 ④能根具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 课程标准解读 Ⅱ学业要求 ①能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义;认识方程解的意义，经历估计方程解的过程; ②能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; ③会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程的根的情况与一元二次方程根的判别式相联系; ④知道利用一元二次方程的根与系数关系可以解决一些简单的问题; ⑤能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。 课程标准解读 Ⅲ 教学提示 方程的教学，应当让学生经历对现实问题中量的分析，借助用字母表达未知数，建立两个量之间关系的过程，知道方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达;引导学生关注用字母表示的一元二次方程的系数，感悟用字母表示的求根公式的意义，体会算数与代数的差异。 《课标》重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化。这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题。实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备基础。 单元内容分析 二 7 单元内容分析 Ⅰ 本章知识结构图 单元内容分析 Ⅱ 地位与作用 方程是初中数学中“数与代数”领域的重要内容之一，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是在用二次函数解决综合问题时起着决定性的作用。继一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式之后，教材安排本章对一元二次方程进行研究，主要内容包括认识一元二次方程，并运用配方法、公式法和因式分解法探讨这种方程的解法，进而运用这种方程解决一些实际问题；核心素养培养上主要体现的是转化思想和模型思想，以及应用意识。通过学习本章，学生的代数运算能力和数学建模能力将得到进一步发展。 单元内容分析 Ⅲ 本章教学重点剖析 1. 以建立方程模型解决实际问题为一条主线。现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想，加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。用一元二次方程解决实际问题是本章内容的一条主线，为了更好地体现这一思想，教科书除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外，还专门安排了三个“探究”，让学生建立一元二次方程模型解决实际问题，再一次经历运用一元二次方程解决实际问题的一般过程。 单元内容分析 Ⅲ 本章教学重点剖析 2.以“降次”解一元二次方程为另一条主线。利用什么方法将一元二次方程的“二次”降为“一次”便是本章学习的另一条主线。与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解。教材着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定在解数字系数的一元二次方程。一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点。 单元内容分析 Ⅲ 本章教学重点剖析 配方法是推导一元二次方程求根公式的工具。掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了。当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性。配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它。在推导求根公式的过程中，体现了从特殊到一般的过程，而求解方程的过程则是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想。这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的。 单元内容分析 Ⅲ 本章教学重点剖析 3.关注根的判别式和根与系数的关系。一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系是本章的重要内容，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化，这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题。实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备基础。 Ⅳ 本章教学难点剖析 单元内容分析 1. 建立方程模型解决实际问题。这是本章的难点之一，学生往往在从实际问题中抽象出数学关系并列出方程时遇到困难，主要原因是学生对实际问题中的数量关系分析不够准确，不能正确地找出等量关系，在选择未知数时，要根据等量关系来确定也是一个难点。 2. 对一元二次方程解法中算理的理解。解一元二次方程的思路是将“二次”降为“一次”，降次的方法有配方法、公式法和因式分解法，一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点根据方程的特征和解方程者的喜好确定。 Ⅳ 本章教学难点剖析 单元内容分析 3.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题。 单元教学目标 三 16 单元教学目标 1. 理解方程是描述现实世界数量关系的有效模型。在一元二次方程这一章中，学生要掌握用一元二次方程表示的等量关系。 2. 学生需要掌握一元二次方程的概念，包括它的一般形式能识别一元二次方程中的二次项、一次项系数和常数项。这是进一步学习一元二次方程解法和应用的基础，只有准确理解概念，才能正确判断一个方程是否为一元二次方程。 3.理解配方法，能用“配方法、公式法、因式分解法”解数字系数的一元二次方程。 单元教学目标 6.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 7. 经历建立一元二次方程模型解决实际问题的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。在教学过程中，要引导学生从实际问题中抽象出数学模型。在解决问题时，让学生分析数量关系，列出方程。这个过程培养了学生将实际情境数学化的能力。 4.会用一元二次方程根的判别式，判别方程是否有实根和两个实根是否相等。 5.了解一元二次方程根与系数的关系--韦达定理。 单元教学目标 8. 通过探究一元二次方程的解法，培养学生的运算能力和逻辑推理能力。在解一元二次方程时，让学生明白每种解法的思想是“降次”，目的是将“二次”转化为“一次”。 9. 让学生感受一元二次方程是刻画现实世界的有效数学工具，激发学生对数学学习的兴趣。体会到数学与生活的紧密联系，从而增强对数学学习的积极性。在解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。鼓励学生尝试不同的方法来建立方程和求解方程，对于独特的解法给予肯定和鼓励，让学生在数学学习中体验创新的乐趣。 单元课时安排 四 20 单元课时安排 教学内容 建议课时 21.1一元二次方程 1课时 21.2解一元二次方程 7课时 21.3实际问题与一元二次方程 3课时 章末复习与小结 2课时 单元教学建议 五 22 单元教学建议 1.为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程。学生已具备解一元二次方程的基本思想－－化归，即把方程转化为一次方程，最终化为一般形式的一元一次方程，而且也具有将一元二次方程转化为一次方程所需要的平方根、配方、因式分解等知识基础，问题在于学生在面对解一元二次方程的任务时，不知道该用这些知识及其思想方法，也就是说他们“不是做不到，而是想不到”，因此，教学的关键是要通过适当的问题提示，把这些知识调动起来，联系起来，使它们在研究解法中发挥作用。可以按如下线索安排：实际背景引人（如章引言中的方程）→从已有经验中总结解方程的一般思想方法（化归为一元一次方程）→类比二元一次方程组的“消元”， Ⅰ教学建议 单元教学建议 得到解一元二次方程的思路“降次”→从简单、具体、特殊的一元二次方程，探索“降次”的方法（直接开平方、配方法）→用配方法推导求根公式（公式法）→针对特殊的一元二次方程的特殊解法（因式分解法)。教学过程中，要注意整体性，让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，避免不同解法之间的割裂，其中，方程=p的解具有莫基作用，特别是对p的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，所以一定要认真处理好；推广的方程=5,是获得配方法的载体；配方法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。为了让学生获得解一元二次方程的方法，教学中应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。 单元教学建议 2.注重模型思想、应用意识的培养。许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体，教学中要注意让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一元二次方程表示数学问题中的数量关系，求出结果并讨论结果的意义，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处，在建立数学模型解决实际问题的过程中，难点在于数量关系的分析和数学模型的选择，本章也不例外，教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程，要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等。 单元教学建议 3.注意控制教学要求。学习本章的主要目的是让学生掌握一元二次方程模型并能灵活用于解决问题，其中，学习根与系数关系的目的在于使学生更深人地体会根与系数的确定性关系，更全面地认识一元二次方程，传统上，针对判别式根与系数的关系等往往要进行大量的形式化训练，这对锻炼学生的思维有一定好处，但复杂的代数变形对提高学生的数学能力（特别是数学建模能力）没有多大帮助、因此，要注意把握好这些教学要求，控制好形式化训练的难度，特别是不要搞用根与系数的关系解决其他问题的训练。 单元教学建议 （一）过程性评价。关注学生在课堂上的表现，包括参与讨论、回答问题、提出问题等情况。对于积极参与的学生给予及时的表扬和鼓励，对于有独特见解的学生要特别关注和肯定。例如，在讨论用方程解决实际问题时，如果学生提出了新颖的解题思路，要在课堂上进行分享和评价。 （二）终结性评价。本章的主要内容是一元二次方程的有关概念、解法、根的判别式、根系关系以及一元二次方程的应用，对于一元二次方程的有关概念，应考查学生是否能用一元二次方程的概念对方程的系数等作出判断，能否理解二次项系数不能为0以及一元二次方程解的概念，对于一元二次方程的解法，应考查学生是否掌握解一元二次方程的基本思想。 Ⅱ评价建议 单元教学建议 对于一元二次方程解法，应考查能否灵活应用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，不要在字母系数的方程的解上追求复杂性。对于一元二次方程的应用，应着重考查能否根据实际背景，分析数量关系，找到关键的等量关系，建立一元二次方程模型解决问题，要关注方程的解是否符合实际意义。 能否根据一元二次方程的具体特点，灵活选择适当的方法解方程，对于一元二次方程根的判别式，应考查学生能否正确计算一元二次方程根的判别式的值，并能依据它判断一元二次方程根的情况，对于一元二次方程根与系数的关系，只要考查学生是否知道有关结论，对于一元二次方程的应用，应考查学生能否掌握从实际问题中找出数量关系，列出一元二次方程，解方程，并将解方程的结果回归到实际问题中。 人教版 九年级上册 谢谢观看 一套在手，备课无忧！ $