专题1.3 全等三角形的判定（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题1.3 全等三角形的判定（七大题型） 【题型1：三角形全等的判定-SSS】...................................................................1 【题型2：三角形全等的判定-SAS】...................................................................3 【题型3：三角形全等的判定-AAS】..................................................................5 【题型4：三角形全等的判定-ASA】..................................................................8 【题型5：三角形全等的判定-HL】....................................................................10 【题型6：添加条件使三角形全等】..................................................................12 【题型7：全等三角形的判定和性质合】...............................................................14 【题型1：三角形全等的判定-SSS】 1．如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：,. 2．如图，，．求证：． 3．如图，在和中，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，．求证：． 5．已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接．求证：； 6．如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【题型2：三角形全等的判定-SAS】 1．如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 2．如图．已知，，．证明：． 3．如图，在中，延长至点，过点作，使，且．求证：． 4．如图，平分，连接，点E在上，连接．已知，，求证：． 5．如图，中，于D，若． (1)若线段，则_____； (2)求证：． 6．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 7．如图，在中，点D在延长线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型3：三角形全等的判定-AAS】 1．已知：，，，求证：． 2．如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 3．如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．如图，与交于点，且，点在上，，．求证：． 6．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 7．如图，已知中，，，是过的一条直线，于，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型4：三角形全等的判定-ASA】 8．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．求证：． 9．如图，四点共线．求证：． 10．如图，在中，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 11．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求的长度． 12．如图，，，点在AC边上，，和相交于点． 求证：． 13．如图，已知，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求的度数． 【题型5：三角形全等的判定-HL】 1．如图，在和中，，边与在一条直线上，．求证：． 2．已知：如图，，求证：． 3．如图，在四边形中，已知，．求证：． 4．已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，四边形中，度，E是上一点，且， (1)与全等吗？请说明理由； (2)求证：． 6．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证： (1)． (2)． 【题型6：添加条件使三角形全等】 1．如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（  ） A． B． C． D． 3．如图，已知O是的中点，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点在同一条直线上，，，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，要说明添加的条件可以是 （  ） A． B． C． D． 7．如图，下列所给出的条件中，能证明的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型7：全等三角形的性质和判定综合】 1．如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 2．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 4．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 (1)求证：； (2)求的长． 2．如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 全等三角形的判定（七大题型） 【题型1：三角形全等的判定-SSS】...................................................................1 【题型2：三角形全等的判定-SAS】...................................................................5 【题型3：三角形全等的判定-AAS】..................................................................10 【题型4：三角形全等的判定-ASA】..................................................................17 【题型5：三角形全等的判定-HL】....................................................................21 【题型6：添加条件使三角形全等】..................................................................26 【题型7：全等三角形的判定和性质合】...............................................................31 【题型1：三角形全等的判定-SSS】 1．如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：,. 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键； 先证明，得到，进而得出结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，. 2．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可得到结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在和中，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段的和差计算，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 4．如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由全等三角形的判定方法可证明即可解答问题． 【详解】证明：点为的中点， 在和中， ， ， ， ． 5．已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用即可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴． 6．如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得，再结合，，即可证明； （2）由全等三角形的对应角相等得，再根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． 【题型2：三角形全等的判定-SAS】 1．如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图．已知，，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，再根据线段的和得出，进而可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在与中，， ∴． 3．如图，在中，延长至点，过点作，使，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由平行线得到，然后证明出，即可得到． 【详解】证明： 在和中， ． 4．如图，平分，连接，点E在上，连接．已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据即可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． 5．如图，中，于D，若． (1)若线段，则_____； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）由得，再由对顶角相等即可得，从而求证． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 6．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）首先证明出，得到，即可证明； （2）首先求出，然后由得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴ ∴； （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 7．如图，在中，点D在延长线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可． （2）证明，，再利用线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【题型3：三角形全等的判定-AAS】 1．已知：，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明，，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴（）． 2．如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质、垂直的定义，余角的性质可得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质和线段中点的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 在中，， ∵， ∴， ， 又，， ， ； （2）解：由（1）得， ，， 又点是的中点， ， ． 3．如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【详解】（1）证明：点E是边的中点， ∵ ； （2），， ， 5．如图，与交于点，且，点在上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． 根据题意证明即可求解． 【详解】证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． 6．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【分析】本题考查全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据直角三角形的性质证明，进而可以得到结论； （2）由题意得，，结合（1）知，得，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ，， ， 在和中， ， （2）解：由题意得：，， ， ∴，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 7．如图，已知中，，，是过的一条直线，于，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；运用全等三角形求证线段相等是解题的关键． （1）求证，进而运用求证； （2）由三角形全等得，，可得即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知，， ，， ， ， ，， ． 【题型4：三角形全等的判定-ASA】 8．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质得，进而证明得从而即可得证．本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： ，                   在和中， ，           ； 9．如图，四点共线．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，可得，可证明，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 12．如图，，，点在AC边上，，和相交于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和定理．先利用三角形内角和定理得出，再证明，即可得．最后利用“角边角”即可判定． 【详解】证明：∵和相交于点， ∴． 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，已知，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定． （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【题型5：三角形全等的判定-HL】 1．如图，在和中，，边与在一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用可证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和Rt中， ， ∴， ． 2．已知：如图，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明，得出，从而证出,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．连接，证明，即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴与是直角三角形， 在与中， ， ∴； ∴． 4．已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 5．如图，四边形中，度，E是上一点，且， (1)与全等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】考查了直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）由可得，进而可利用证明； （2）根据得，结合即得． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ． 【题型6：添加条件使三角形全等】 1．如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先把转化为证明全等三角形的直接条件，再逐一分析每个选项结合全等三角形的判定方法可得结论；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，∴， A、，，，是，不能判断三角形全等，此选项符合题意； B、∵，，，利用可得三角形全等，不符合题意； C、∵ ∴，即 ∵，，，利用可得三角形全等，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，，，利用可得三角形全等，不符合题意； 故选：A． 2．如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有）．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：， ， 为公共边， 、由判定，故不符合题意； 、由判定，故不符合题意； 、和，分别是和的对角，不能判定，故符合题意； 、由判定，故不符合题意． 故选：． 3．如图，已知O是的中点，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定条件进行判断即可． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 又∵， ∴当时，；故A选项不符合题意； 当时，；故B选项不符合题意； 当时，不能得到；故C选项符合题意； 当时，；故D选项不符合题意； 故选C． 4．如图，已知点在同一条直线上，，，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、当时，， ∵，， ∴，该选项符合题意； 、当时，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意； 、当时，，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意； 、当时，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意； 故选：． 5．如图，已知，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先根据等式的性质可得：，然后根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【详解】解：， ， ， A、， 和不一定全等，故A不符合题意； B、， ，故B符合题意； C、， 和不一定全等，故C不符合题意； D、， ， ， 和不一定全等，故D不符合题意； 故选：B． 6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，要说明添加的条件可以是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，，即，根据能证明，该选项符合题意． 故选：D． 7．如图，下列所给出的条件中，能证明的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，，与不是对应边，不能证明，故A选项不符合题意； B、由，，，不能证明，故B选项不符合题意； C、在和中， ， ，故C选项符合题意； D、由，，，模型，不能证明，故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型7：全等三角形的性质和判定综合】 1．如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）先利用三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 3．如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证是解题关键． （1）证得，即可求证； （2）根据，可推出；结合，，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 1．【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法， （1）利用即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$