第14章 全等三角形能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第14章 全等三角形能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，，若，则的理由是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，交于点，于点．若，则的面积为（    ） A．30 B．15 C．20 D．10 4．如图，已知，，欲说明，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 5．如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置CD垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 8．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 9．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 12．如图所示，，，，，，则 13．如图，点，，．则点的坐标为 ． 14．如图，在中，为的中点，交的平分线于于于交的延长线于．下列说法正确的是 ． ①；②；③． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点． (1)求证： ． (2)若，，求的度数． 16．（8分）如图，点D，E分别在，上，连接，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 17．（8分）在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 18．（8分）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 19．（8分）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 20．（8分）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 21．（10分）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 全等三角形能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，，若，则的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． 故选：C． 2．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，平分，交于点，于点．若，则的面积为（    ） A．30 B．15 C．20 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．如图所示，过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵，平分， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，已知，，欲说明，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，逐个选项判断即可求解． 【详解】解：A、补充，不能证明，故本选项不符合题意； B、补充，不能证明，故本选项不符合题意； C、补充，则，可利用边角边证明，故本选项符合题意； D、补充，不能证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置CD垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， 又， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 6．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线，平行线以及的三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握相关的角平分线性质是求解本题的关键．依据尺规作图可得是的角平分线，进而可得，根据平行线的性质，即可得到，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可得到的度数． 【详解】解：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧， 是的角平分线， ， ， 过点作的平行线交于点， ， ， ， 故选：D． 7．如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识；由 ，，得，因为，所以，而，即可根据“”证明，得，因为，所以，于是得到问题的答案，推导出，进而证明是解题的关键． 【详解】解：于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：A． 8．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 9．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】解： 延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示： 则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 12．如图所示，，，，，，则 【答案】/55度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13．如图，点，，．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质、二元一次方程组的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴的平行线，分别交过点作轴的平行线于点，设点的坐标为，则，再证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线，分别交过点作轴的平行线于点， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．如图，在中，为的中点，交的平分线于于于交的延长线于．下列说法正确的是 ． ①；②；③． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键；连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则,即可判断②；证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长即可判断①和③． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴故②正确； 在和中， ∴故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确． 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点． (1)求证： ． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（8分）如图，点D，E分别在，上，连接，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键； （1）由全等三角形的判定方法角边角得出即可； （2）根据可得，然后即可求解； 【详解】（1）证：（1）∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ； 17．（8分）在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 【答案】①证明见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． ①先证明，再证明，即可证明； ②先由三角形内角和定理得到，再导角证明，据此可得答案． 【详解】证明：①∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（8分）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 20．（8分）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（10分）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．    【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见详解（3）210海里 【分析】主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． （1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 【详解】解：（1） 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵ （2）仍然成立 理由：如图，延长至点，使，连接   ， ， ， 即 ， （3）如图，连接，延长、相交与点，    在四边形中， ， ，符合（2）中的条件． 结论成立 即（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里 学科网（北京）股份有限公司 $$