专题14.3 角平分线（四大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

专题14.3 角平分线（四大题型） 【题型1：角平分线的性质的应用】.....................................................................1 【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】......................................................5 【题型3：角平分线的性质的判定和性质综合】...................................................10 【题型4：尺规作图-角平分线】.........................................................................24 【题型1：角平分线的性质的应用】 1．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：A． 2．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作于，根据角平分线的性质定理得到，再结合，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解： ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于E， ∵平分，， ∴， ∴点D到边的距离是． 故选：C． 4．如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，过作于，于，连接，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，代入数据计算即可．解题的关键是由角平分线的性质推出． 【详解】解：如图，过作于，于，连接， ∵，分别平分和，于， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴ ， 即的面积为． 故选：C． 5．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可． 【详解】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】 1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线，的距离相等，进而得是的角平分线，有即可求得答案． 【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致， ∴点P到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 4．如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作于，于，由平分线的性质证得，由三角形的面积公式求出，再由三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过分别作于，于， 是的平分线， ， ，的面积为， ， 的面积， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得是解决问题的关键． 5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点． 【详解】要使凉亭到草坪三边的距离相等， 凉亭应在三条角平分线的交点处． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 6．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 7．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【题型3：角平分线的性质的判定和性质综合】 1．如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 过M作于E，根据角平分线性质求出，再根据角平分线的判定即可． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分． 2．如图，，是中点，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． ， ∴， ， ， ， ． 即． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 3．已知：如图，在四边形中，，过点作于， 于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 4．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 5．如图，于E，于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定； （1）先证明，再证明，再结合全等三角形的判定与角平分线的判定可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ∴在和中，， ， ， ， ∴平分； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 6．如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）令与的交点为G，证明，得到，进而得出，即可得到结论； （2）过点作于点，于点，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 令与的交点为G，如图， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 7．如图，于点E，于点F，且．求证：点D在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定以及角平分线的判定定理是解题的关键．证明，可得，根据角平分线的判定定理，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ，， ∴点D在的平分线上． 8．已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质： （1）过点作于点，角平分线的性质得到，中点得到，进而得到，平行线的性质，推出，即可得证； （2）证明，得到，同理得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵，， ∴平分． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． 同理，， ∵， ∴． 9．如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； 过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； 根据三角形的面积公式求出，再根据角平分线的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ，， ， 由可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ， ， ，，， ， ， 10．如图，，， (1)求证：平分； (2)若，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、三角形的面积公式，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）过D点分别作，的垂线交于点E，F， 证明，得，根据角平分线判定定理即可解答； （2）证明，，分别求出，，再根据四边形为正方形，得，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过D点分别作，的垂线交于点E，F， ， 在四边形中，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）， ， ∴． 11．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型4：尺规作图-角平分线】 1．如图，已知中，点在上，且． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点．（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，三角形全等的判定及性质． （1）根据作角平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）证明，得到，根据线段的和差即可证明． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）证明： 平分， ． 在与中， ， ， ． ∵， ∴． 2．如图，在中，． (1)求作点到，的距离相等，且点在上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）作的角平分线交于点D，则点到，的距离相等，根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）过点D作于H，根据角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点D，则点到，的距离相等， 如图，点D即为所求； （2）解：过点D作于H， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴的面积 ． 3．如图，在中，平分． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查角平分线及三角形内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）先求出，然后根据角平分线的定义求出，，再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作． （2）解：在 中，， ， 平分， ． 由（1）可知平分， ， ， ． 4．如图，在中，． (1)作出的角平分线交于点D；（不写做法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：如图，射线就是所要求做的的角平分线； （2）解：过点D作，垂足为点E， 由（1）可得：是的角平分线，即， ∴， ∴， ∴的面积为5． 5.如图，在中， (1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． （1）根据角平分线的尺规作图方法进行求解即可得； （2）作，由的面积为，求得，再根据角平分线的性质可得． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：过点D作，交于点E，在中， ， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴． 6．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，过点作于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线． （）利用基本作图作的平分线即可； （）先根据角平分线的性质得到，然后根据“”证明，从而得到，利用三角形面积公式可求出，然后计算即可； 【详解】（1）解：如图，作的平分线，则为所求， 过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴； （2）解: ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 1．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，理解定理内容是关键；根据角平分线性质定理得；利用即可求解． 【详解】解：∵为的平分线，，， ∴； ∵， 即， ∴， 解得：， 故选：C． 2．如图，是的平分线，于，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作交的延长线于点F，根据角的平分线的性质定理，三角形的面积公式解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理，三角形的面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵是的平分线，于，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 故选：D 3．如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）由（1）得，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∵，， ∴平分． 4．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明： ，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解： ，， ， 平分， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.3 角平分线（四大题型） 【题型1：角平分线的性质的应用】.....................................................................1 【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】......................................................5 【题型3：角平分线的性质的判定和性质综合】...................................................10 【题型4：尺规作图-角平分线】.........................................................................24 【题型1：角平分线的性质的应用】 1．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 2．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 3．如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 4．如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】 1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 4．如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不正确 6．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 7．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【题型3：角平分线的性质的判定和性质综合】 1．如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 2．如图，，是中点，平分，求证：． 3．已知：如图，在四边形中，，过点作于， 于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 4．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 5．如图，于E，于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 6．如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 7．如图，于点E，于点F，且．求证：点D在的平分线上． 8．已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 9．如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 10．如图，，， (1)求证：平分； (2)若，求的值 11．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【题型4：尺规作图-角平分线】 1．如图，已知中，点在上，且． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点．（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：． 2．如图，在中，． (1)求作点到，的距离相等，且点在上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的面积． 3．如图，在中，平分． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，求的度数． 4．如图，在中，． (1)作出的角平分线交于点D；（不写做法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，，，求的面积． 5.如图，在中， (1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 6．如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，过点作于点．若，，求的长． 1．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的平分线，于，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 4．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$