专题22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（五大题型） 【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】........................................................................1 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】..............................................................................3 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】................................................................8 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】......................................................................11 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】.........................................................17 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】.....................................................18 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】....................................................................28 【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，将抛物线方程化为顶点式是解题的关键． 由得到二次函数的顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：， 二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）用配方法将二次函数化为的形式，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）将二次函数配方成的形式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键． 根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 4．（24-25九年级上·广西崇左·期末）把二次函数化为的形式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法，把二次函数的解析式转化成顶点式即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将二次函数化为顶点式，下列结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式；将已知的抛物线化为，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：A． 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数配方后化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把二次函数解析式化为顶点式，利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：. 7．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数配方后化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把二次函数解析式化为顶点式，利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：. 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线为． 故选：A 2．（2025·江苏盐城·二模）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误， 当时，，因此图象经过原点，故C正确； 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于抛物线的图像与性质，下列结论错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线与轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、抛物线与抛物线二次项系数相等，所以形状相同，该选项正确，故不符合题意； B、该抛物线对称轴为，该选项正确，故不符合题意； C、该抛物线的对称轴为，开口向下，所以当时，随的增大而减小，该选项正确，故不符合题意； D、因为，顶点坐标为，开口向下，所以与轴有交点，故该选项错误，故符合题意； 故选：D． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，以及顶点坐标，据此可得答案． 【详解】解：将点代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，的值随值的增大而减小，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 5．（2025·陕西咸阳·一模）若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故选：D． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的相等，即二次函数图象的形状、开口方向都相同，进行作答即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； B、∵， ∴与二次函数图象形状相同、但开口方向不相同， 故该选项不符合题意； C、， ∵， ∴与二次函数图象形状、开口方向都相同， 故该选项符合题意； D、∵ ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； 故选：C 7．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可进行解答． 【详解】解：A、∵，∴函数开口向上，故A不正确，不符合题意． B、∵， ∴对称轴是直线，故B不正确，不符合题意； C、∵函数开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，故C正确，符合题意； D、∵，∴顶点坐标为， ∴函数的最大值为2，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 8．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， 由表格可知：当时，随着的减小大而减小，时，随着的增大而减小，故A正确，符合题意； ∴抛物线的开口向下， ∵函数图象过点和，且函数图象的开口向下，选项B错误，不符合题意； ∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与轴交于正半轴，与轴的两个交点分别在的正半轴和负半轴上， ∴函数图象过一，二，三，四象限，选项C错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线的顶点的横坐标为，不是，选项D错误，不符合题意； 综上：只有选项A正确，符合题意； 故选A． 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）抛物线上有三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，涉及二次函数图象与性质，先求出抛物线对称轴，然后计算出抛物线上点到对称轴的距离，由抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴距离越近，函数值越小，即可得到答案，熟记抛物线图象与性质，掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由抛物线可知，抛物线开口向上、对称轴为， 抛物线上的三点，，，到对称轴的距离分别为， 抛物线开口向上， 抛物线上的点到对称轴距离越近，函数值越小， 则， 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）点，，均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为，开口向下， ∵，，， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）点，，都在二次函数图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图像上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数解析式，求出对称轴，根据函数对称性进行判断即可． 【详解】解： ， 对称轴，开口向下， ，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ， ， 根据二次函数图像的对称性可知，与关于对称轴对称， 故， 故选：D． 4．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，再根据得出抛物线的图象开口向下，然后根据二次函数的增减性判断解题即可． 【详解】解：对于开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵, ∴， 故答案为：B． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得离对称轴越远，函数值越小，据此比较出各点到对称轴距离的大小关系即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、都在二次函数图象上，且， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：由抛物线的解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 分别计算出自变量为，和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得： ，，， ∵， ∴． 故答案：． 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数和，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，当时， 二次函数的图象开口向上，与y轴交于点，点在y轴的正半轴上，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时， 二次函数的图象开口向下，与y轴交于点，点在y轴的负半轴上，一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故答案选C 2．（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，对称轴在轴左侧， A和B选项不正确； 时，抛物线开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，与轴正半轴的交于点， C选项不正确； 时，抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，与轴正半轴的交于点， D选项正确． 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·二模）已知一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各个函数的图象与系数的关系，难度不大． 利用一次函数的图象的性质确定 的符号，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正确选项． 【详解】解：由一次函数的图象可知，∴， ∴二次函数，开口向下，对称轴在轴的左侧，且经过原点， 当时，， ∴满足条件的函数图象只有C， 故选：C． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）函数与在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象判断．根据一次函数的图象和二次函数的图象分别得出和的符号，比较即可求解． 【详解】解：当时，，函数经过原点，故A不符合题意； B、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向上，则，故B不符合题意； C、对于，则，， 而对于的对称轴，开口向下，则，故C符合题意； 同理，D不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； B．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线与轴交点可知，，且抛物线开口向上，故本选项不符合题意； C．由直线经过一、二、四象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； D．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项符合题意；． 故选：D． 6．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，两函数与轴交于同一点，故符合题意； C、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； D、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； 故选：B． 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．先求出二次函数图象与x轴的交点，一次函数图象与x轴的交点，得出一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点，然后进行判断得出即可． 【详解】解：令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为或， 令， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， ∴一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点， 四个选项中，只有C选项中符合一次函数图象与二次函数图象有一个交点在x轴上， ∴二次函数与一次函数的图像可能C选项中的图象． 故选：C． 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）怎样移动抛物线就可以得到抛物线（    ） A．左移1个单位、上移2个单位 B．左移1个单位、下移2个单位 C．右移1个单位、上移2个单位 D．右移1个单位、下移2个单位 【答案】B 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可判断． 【详解】解：由抛物线，左移1个单位长度，下移2个单位长度，可得到抛物线， 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）抛物线是由抛物线怎样平移得到的（　　） A．左移1个单位长度，上移1个单位长度 B．右移1个单位长度，上移1个单位长度 C．左移1个单位长度，下移1个单位长度 D．右移1个单位长度，下移1个单位长度 【答案】B 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：由抛物线右移1个单位长度，上移1个单位长度得到抛物线． 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为， 故选：D 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知，，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④． 【详解】解：根据图象可知，， ， ，故①正确； 根据，可得，故②正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，，即，故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，即，故④错误． 综上所述，其中正确的有2个． 故选：C． 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，根据抛物线开口方向判断a的符号，根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号，据此可判断①的正误；根据对称轴是直线判断②的正误；根据函数在的函数值判断④的正误；根据抛物线与x轴交点的个数判断③的正误解答即可． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴a，b异号，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵当时，函数值为负值， ∴，故④正确； 故选：B． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，，有以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键．由由图象可知，，再根据与轴的交点，得出，可判断①②结论；根据交点坐标得出，可判断③④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交点在负半轴， ，， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， 对称轴为直线，即， ， ，①结论错误； ，②结论错误； 抛物线与轴的交点坐标分别为， ， ， ，③结论错误； ，④结论正确； 故选：A． 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条结论：；；； ．你认为其中正确结论的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 由抛物线的开口方向可判断的正负；由图象知对称轴，再结合的正负即可判断的正负；当时，，即；由图象知抛物线的对称轴是直线，且，再结合，可得，移项即可判断． 【详解】解：由图象知二次函数开口向下， ，故正确； 抛物线的对称轴位于轴右侧， ， ， ，故正确； 当时，，即，故错误； 由图象知抛物线的对称轴是直线，且， ， ， ，故正确； 综上，正确的结论有：，个数有个， 故选：C． 5．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④m为任何实数时，都有：．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握图象开口的性质，对称轴直线是解题的关键．根据图示可得，由对称轴直线可得，可判断①；由抛物线与x轴有交点可判断②；由可判断③；由函数有最大值，对自变量取任意实数m，其函数值不小于最大值，可判定④，即可作答． 【详解】解：根据图示，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①说法是正确的； ∵， ∴，故③说法是错误的； 由图象知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②说法是正确的； ∵二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴， ∴，故④说法是正确的； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，故，即，故③正确； ④当时，图象位于对称轴左边，随的增大而增大．故④错误； 综上所述，正确的为①②③，有3个． 故选：C． 7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图像可以判断；③算出a和c的关系即可；④当时， 即可判断； 【详解】∵二次函数的图象经过点，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴，，∴，故①错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；故②错误； ∵， ∴，故③正确； 由题意可知：当时， ， 当时， ， ∴， ∴故④正确； 正确的是：③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 8．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，二次函数（）的图象经过点，其对称轴为直线．下面是5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向上， ∴ 又对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①错误； ②∵图象经过点，代入到解析式中得：，两边同时乘以4，得：，故②正确； ③∵对称轴为直线，即， ∴， 故③错误； ④由②③得：则， 故，故④错误； ⑤当时，函数取得最小值，即, ∴ 故⑤正确； 综上，共2个正确． 故选：C． 9．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点．①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当时y的值即可判断；⑦先说明二次函数的最小值为，则抛物线与没有交点即可判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不同的解， ∴，即， ∴，②正确； ③∵抛物线的对称轴，即， ∴， ∴，即③正确； ④∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴抛物线的顶点的纵坐标不能为，即④错误； ⑤∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标为， ∴抛物线的对称轴为：， 根据抛物线的性质可知： ∴当时，随的增大而减小，即⑤正确； ⑥由函数图象可知：当时，， ∴，即⑥错误； ⑦由图象可得：抛物线过点， 则，解得：， ∴， ∴二次函数的最小值为， ∴二次函数与无交点， ∴方程无实数解，即⑦错误． 故答案为①②③⑤． 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过三点，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解题的关键是根据抛物线与轴的交点设出合适的函数表达式形式． 已知抛物线与轴的两个交点坐标，设出交点式，再代入点求出的值，进而得到函数表达式． 【详解】设抛物线对应的函数表达式为． 把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，求得解析式是解题的关键． （1）将点和代入中，得，进行计算即可得； （2）由表达式即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的性质得即可得． 【详解】（1）解：将点和代入中，得 解得 则该二次函数表达式为； （2）解：∵ ∴顶点坐标为； （3）解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线中随增大而增大． 【答案】(1) (2)当时，随增大而增大 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入求解即可； （2）根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，随增大而增大． 4．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线的图象经过点，点 (1)求该二次函数的解析式； (2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先配方成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 平移后的抛物线的解析式为，即． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而增大 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可； （2）根据二次函数的性质求解． 【详解】（1） 解：由于抛物线经过，， 则可设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：对称轴为直线， 由于，则二次函数开口向下， 当时，函数随的增大而增大． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点式，结合已知条件直接求解． 【详解】解：设抛物线的顶点式为，其中为顶点，为二次项系数， ∵二次项系数为1，顶点坐标为， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，先把整理得，则顶点坐标为，结合关于直线对称后所得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴抛物线的顶点坐标为， 则 ∴关于直线对称后所得， 则 故答案为：． 3．（2025·山东淄博·一模）已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由得到当时，函数的值最小，最小值为，当时，函数值最大，最大值为，得到，即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，函数的值最小，最小值为， ， 当时，函数值最大，最大值为， 的取值范围为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（五大题型） 【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】........................................................................1 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】..............................................................................2 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】................................................................3 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】......................................................................4 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】.........................................................6 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】.....................................................7 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】....................................................................10 【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）用配方法将二次函数化为的形式，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）将二次函数配方成的形式，结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西崇左·期末）把二次函数化为的形式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将二次函数化为顶点式，下列结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数配方后化为的形式为 ． 7．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数配方后化为的形式为 ． 【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·二模）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于抛物线的图像与性质，下列结论错误的是（    ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线与轴没有交点 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（   ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 5．（2025·陕西咸阳·一模）若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为4 8．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）抛物线上有三点，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）点，，均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）点，，都在二次函数图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是 ． 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为 ． 【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数和，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东云浮·一模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·二模）已知一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）函数与在同一个平面直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A．B．C．D． 7．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）怎样移动抛物线就可以得到抛物线（    ） A．左移1个单位、上移2个单位 B．左移1个单位、下移2个单位 C．右移1个单位、上移2个单位 D．右移1个单位、下移2个单位 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）抛物线是由抛物线怎样平移得到的（　　） A．左移1个单位长度，上移1个单位长度 B．右移1个单位长度，上移1个单位长度 C．左移1个单位长度，下移1个单位长度D．右移1个单位长度，下移1个单位长度 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（   ） A． B． C． D． 【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，，有以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条结论：；；； ．你认为其中正确结论的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④m为任何实数时，都有：．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，二次函数（）的图象经过点，其对称轴为直线．下面是5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为 ． 【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过三点，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线中随增大而增大． 4．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线的图象经过点，点 (1)求该二次函数的解析式； (2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是 ． 3．（2025·山东淄博·一模）已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$