解析几何：定点问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

解析几何：定点问题复习讲义 解析几何：定点问题复习讲义 考点一 直线过定点问题 【知识点解析】 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 4．（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 5．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长． 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 考点二 以圆锥曲线为背景的直线过定点问题 【知识点解析】 类型 处理思路 直线过定点 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 【例题分析】 考向一 设直线，翻译条件求的关系，进而得到定点 1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 3．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交椭圆C于M，N两点（均异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 5．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆C：（），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 6．（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 考向二 先求直线上两点坐标，求出直线方程，进而得到定点 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的焦距为，是双曲线上任意一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为．若为直线上一点，不在轴上，直线与直线分别与交于（不与重合）两点，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 4．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为，若点为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点（不与重合），则直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 考向三 相交弦过定点问题 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆，为圆外的动点．过点作圆的切线，切点为，满足．记动点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设点为直线上的一点．过点作轨迹的两条切线，切点为． （i）证明：直线过定点； （ii）求线段长度的最小值． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 考点三 圆过定点问题 【知识点解析】 类型 处理思路 圆过定点 思路一：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 思路二：参变分离，设圆的方程，翻译条件消元，原方程化为的形式，进而令且，解方程组求得定点. 【例题分析】 1．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． (1)当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标； (2)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，圆的圆心在直线：上，圆与直线相切，线段为圆与圆的公共弦. (1)求圆与圆的方程； (2)若直线：与圆、圆交于非原点的点，，求证：以线段为直径的圆恒过定点. 3．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 课后综合练习 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，在椭圆上，且，证明：直线过定点； 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 5．（24-25高二上·贵州·期中）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：定点问题复习讲义 解析几何：定点问题复习讲义 考点一 直线过定点问题 【知识点解析】 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 2．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 3．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 【答案】 【详解】直线方程可化为， 由得， 所以直线过定点， 故答案为：． 4．（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 【答案】 【详解】化直线方程为：，即定点坐标为． 故答案为：. 5．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，最短弦长 【详解】（1）由直线，得， 联立方程，解得， 即当时，方程对实数恒成立， 所以直线恒过定点． （2）因为圆的方程可化为，可知圆心为，半径． 因为，可知点在圆C内， 由圆的性质可知：圆心到直线的距离， 则弦长． 故当时，直线被圆截得的弦长最短． 此时，故． 即，解得， 最短弦长． 6．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点，当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 考点二 以圆锥曲线为背景的直线过定点问题 【知识点解析】 类型 处理思路 直线过定点 思路一：设所求直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点. 思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解. 【例题分析】 考向一 设直线，翻译条件求的关系，进而得到定点 1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，，解得，， 所以的方程为. （2）点，显然的斜率存在，设的方程为，， 由消去整理，得 由直线与椭圆交于、两点，得 ， 则，由，得直线的斜率互为相反数， 即， 因此，整理得， 则，化简得， 所以直线的方程为 ，即过定点. 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得， 解得或， 所以，所以双曲线的标准方程为； （2）易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. （3）由，，三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 3．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交椭圆C于M，N两点（均异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，又离心率为，即，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）如图所示：    当直线的斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程，消去y得：， 设，由韦达定理得， 则， 即， 将韦达定理代入得：， 化简整理，因式分解得， 当，即，直线过定点，不符合题意； 当，即，直线方程， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得， 设， 则， 即，将代入，化简得， 解得或（舍去），所以直线过定点， 综上：直线过定点. 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴､轴分别交于两个不同的动点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心. 由得，化简得， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. 法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即， 又，所以， 又不重合，因此，所以轨迹的方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，    联立得， 则， 由题意得，，同理， 因为， 所以，即， 所以直线的方程为，因此直线过定点. 5．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆C：（），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 【答案】(1) . (2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此，解得. 故C的方程为. （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）. 则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而 . 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 6．（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【详解】（1）因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. （2） ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 考向二 先求直线上两点坐标，求出直线方程，进而得到定点 1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：      由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）直线过定点；（ii） 【详解】（1）由题意知椭圆过点，则， 因为，所以，联立方程组，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2） （i）当两条直线的斜率都存在时，不妨设：，， 设，，，， 联立直线与椭圆的方程，得，消去整理得， 易知，根据韦达定理可知，， ，， 即.同理， 所以， 所以， 令，得，此时直线恒过. 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知，仍经过， 所以直线过定点. （ii）当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设；， 由（i）得：. 同理， 则， 因为， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上，四边形面积的取值范围为. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的焦距为，是双曲线上任意一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为．若为直线上一点，不在轴上，直线与直线分别与交于（不与重合）两点，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【详解】（1）由题意可知， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）由（1）知， 设， 则，所以直线的方程为， 联立，消得， 则，解得， 则，所以， 所以，故， ，所以直线的方程为， 联立，消得， 则，解得， 则，所以， 所以，故， 当直线的斜率不存在时，则，解得， 此时，直线的方程为 当直线的斜率存在时，， 则直线的方程为， 即， 令，则， 综上所述，直线过定点. 4．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为，若点为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点（不与重合），则直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是，. 【详解】（1）的实轴长为4， ，得， 的离心率为， ，则，又， ， 双曲线的标准方程为． （2）由题可得直线的斜率不为零，设直线的方程为，，， 联立，得，整理得，则，得， 由，故， 且，． 由题，直线与直线的斜率均存在，，，设， 三点共线，，即①， 三点共线，，即②， 得，． 由，得， ， ， ， ， ， ， ，得， 直线的方程为，故直线过定点，且定点坐标为． 考向三 相交弦过定点问题 1．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆，为圆外的动点．过点作圆的切线，切点为，满足．记动点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设点为直线上的一点．过点作轨迹的两条切线，切点为． （i）证明：直线过定点； （ii）求线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）连接，则为直角三角形，且． 则． 所以点是以为圆心，半径为2的圆．所以的轨迹方程为． （2） （i）设点． 以为直径圆的方程为，即． 以为直径圆与圆的方程相减即为直线的方程，即． 整理得． 令，解得． 所以直线过定点． （ii）记圆的半径为，（即坐标原点）到直线的距离为，则． 则当取最大值时，有最小值． 由几何性质知的最大值为，当且仅当时取到． 所以的最小值为． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 【答案】(1)或， (2) (3) 【详解】（1） 由图像易知：是其一条切线， 设另切线方程为 ，即 圆心坐标为，半径 根据圆的切线的定义可知：，即 解得： 代回方程可求得切线方程为： 所以或， 过点P的切线方程为：或， （2） ∵圆 ∴圆心，半径， 设，由题意知在以为直径的圆上，又, ∴以为直径的圆的方程为：，即 又圆C：，即 故直线的方程为，即 由，解得， 即直线AB恒过定点. （3）由，得 ∴ 设， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的取值范围为. 考点三 圆过定点问题 【知识点解析】 类型 处理思路 圆过定点 思路一：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 思路二：参变分离，设圆的方程，翻译条件消元，原方程化为的形式，进而令且，解方程组求得定点. 【例题分析】 1．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． (1)当四边形PAMB的面积为时，求点P的坐标； (2)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)存在，， 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 四边形面积= ，于是， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或． （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即，   由，解得或， 所以圆过定点，． 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，圆的圆心在直线：上，圆与直线相切，线段为圆与圆的公共弦. (1)求圆与圆的方程； (2)若直线：与圆、圆交于非原点的点，，求证：以线段为直径的圆恒过定点. 【答案】(1)圆方程为，圆的方程为； (2)证明见解析． 【详解】（1）线段为圆与圆的公共弦,所以圆心均在线段的中垂线上， 设，则，，半径为， 设，则，解得，半径为， 所以圆方程为，圆的方程为； （2）设，，， 由，解得，即 由，解得，即， 则， 所以， 所以，即以为直径的圆恒过点． 3．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的圆过定点，或，理由见解析 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简得， 所以曲线的方程为； （2）以为直径的圆过定点，或，理由如下， 令，可得，或，所以， 设，直线的方程分别为、， 因为，所以，可得， 由得，由得， 可得的中点为，， 以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 由，得或， 可得以为直径的圆过定点，或. 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 课后综合练习 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)直线l过定点，证明见解析. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以抛物线C的方程为. （2）由（1）得，设，， 则， 则，直线l的方程为， 则， 所以直线l过定点. 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，在椭圆上，且，证明：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得：，，， 解得：，，， 故椭圆方程为：. （2）①设点，. 因为，，即，（i） 由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 联立，消去并整理得：， ，，（ii） 根据，，代入（i）整理可得： ， 将（ii）代入，得， 整理得：，解得或， 因为时直线恒过定点，不合题意，舍去， 所以，直线恒过定点. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②直线过定点，定点坐标为 【详解】（1）根据题意，圆心坐标为． 又因为该圆经过点和，所以， 化简得，所以点的轨迹的方程为． （2）①因为直线的斜率一定存在且不为0， 故设，． 联立方程消x得， 则． 所以 ， 同理， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最小，最小值为32． ②易知当直线斜率不存在时，直线关于x轴对称， 此时①中，得直线； 当直线PQ斜率存在时，设直线， 联立方程，得， 又，得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，即，则，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； （2）由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； （3）（方法一）设的中点为， 不妨设，则点的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 5．（24-25高二上·贵州·期中）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． （3）设直线的方程为，，， 由得， 所以，， 所以 ，所以， 所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$