专题03 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题03 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法 目录 1 类型一、整式的加减实际应用问题 1 类型二、单项式的规律探究问题 7 类型三、整式中的数字类规律探究问题 9 类型四、整式中的图形类规律探究问题 12 类型五、整式加减中的新定义型问题 17 22 类型一、整式的加减实际应用问题 解整式加减实际应用题，首先仔细阅读题目，理解问题背景和要求。提取关键信息，将实际问题转化为数学模型，即整式表达式。明确整式中各项的含义，注意单位统一。进行整式加减运算，合并同类项，简化表达式。计算结果后，检查是否符合实际意义，确保答案正确。最后，将答案以适当形式呈现，如带单位的数值或表达式。 例1．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为50的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（   ） A．18 B．32 C．42 D．48 【答案】C 【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为32，求得，根据图中长方形的周长为50，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为32，可得，，即 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为50， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ = = ； 故选：C． 变式1-1．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，可得，，即可由得，进而得到，最后取的最大值为代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，都是正整数，由日历表，可知的最大值为，此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 变式1-2．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 【答案】/ 【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案． 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 变式1-3 1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 【答案】(1)；； (2)64 (3)224 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，用含，的式子表示出其他8个正方形的边长是解题的关键．第（3）问较难，需要有较强的推理能力及计算能力． （1）根据所给图形，得出第3个正方形的边长为第1，2个正方形的边长之和，再依次表示出4，5号正方形的边长即可解决问题． （2）根据所给图形，表示出第6个正方形的面积，再结合即可解决问题． （3）根据所给图形，用含，的代数式表示出完美长方形的周长，并结合，均为正整数，求这个完美长方形的最小周长． 【详解】（1）解：根据图形及标注为1号和2号的正方形边长分别为，， 所以第3个正方形的边长是1号和2号的正方形边长之和为， 所以第4个正方形的边长是2号和3号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的边长是2号和4号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的面积为． 故答案为：；；． （2）解：根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第5个正方形的边长是， 所以第6个正方形的边长是2号和5号的正方形边长之和减去1号的正方形边长为， 所以第6个正方形的面积． 当时，． 所以当时，第6个正方形的面积为64． （3）根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第6个正方形的边长是， 所以第7个正方形的边长是6号正方形的边长减去1号正方形的边长为， 所以第10个正方形的边长是7号正方形的边长减去1号正方形的边长减去3号正方形的边长为， 所以第8个正方形的边长是7号正方形的边长加10号正方形的边长为， 所以第9个正方形的边长是8号正方形的边长加10号正方形的边长为． 因为第5个正方形的边长与第6个正方形的边长之和等于第8个正方形的边长与第9个正方形的边长之和， 所以， 化简得． 因为完美长方形的长为，完美长方形的宽为， 所以完美长方形的周长为． 因为，，均为正整数， 所以，时，完美长方形的周长最小，最小值为． 故答案为：224． 类型二、单项式的规律探究问题 解单项式规律探究题，先观察单项式中系数和字母指数的变化规律。尝试代入简单数值，验证规律。确定规律后，写出通项公式。验证通项公式，确保正确。注意指数和系数的运算规则，尤其是符号处理。最后，将规律应用于问题求解，确保答案准确。 例2．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式是， 故选：D． 变式2-1．按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式中的数字变化规律问题，先确定系数的变化规律：的序号数次方，再确定字母指数的变化规律：x的序号数次方，即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以第n个单项式为． 故选：D． 变式2-2．观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式的规律探究，从符号规律可得以，循环，可以用表示，系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示，的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示，从而可得答案． 【详解】解：∵一组单项式：，，，，… ∴从符号规律可得以，循环，可以用表示， ∴系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示， ∴的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示， ∴得出第n个单项式是； 故答案为：． 变式2-3．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2025个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵，，，，，，，…， ∴所以第n个单项式可表示为：， 当时， 第2025个单项式是：． 故答案为：． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 解整式中数字类规律探究题，先观察整式中数字的变化规律，如等差、等比、平方等。尝试代入简单数值，验证规律。确定规律后，写出通项公式。验证通项公式，确保正确。注意指数和系数的运算规则，尤其是符号处理。最后，将规律应用于问题求解，确保答案准确。 例3．已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①根据组合数计算交换次数；②代入求系数和；③利用和的值联立求解奇次项系数和即可. 【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有种不同结果， 所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，， 即的所有系数之和为， 当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，， 取时，， 取时，， 两式相减得， 解得，故③错误，不符合题意； 综上，正确的个数为2， 故选：C 变式3-1．由个正整数组成的一列数，记为，，…，任意改变它们的顺序后记作，，…，若，下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，若，，，为四个连续整数，则一定为偶数； ②若为偶数，则一定为奇数； ③若为奇数，则一定为偶数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，理解题意，根据奇数与偶数的性质进行推断是解题的关键．根据偶数+偶数偶数，偶数+奇数奇数，奇数+奇数偶数，偶数偶数偶数，偶数奇数偶数，对每一个结论分别进行推断即可． 【详解】①当时，四个连续整数中有两偶两奇．若将原数列中的偶数与排列后的奇数对应，奇数与排列后的偶数对应，则每个均为奇数，乘积为奇数。因此，存在为奇数的情况，故①错误． ②若所有数均为偶数，无论奇偶，均为偶数。例如（偶数）时，仍为偶数，故②错误． ③若为奇数，则所有均为奇数，要求原数列中偶数与奇数的数量相等，即（为整数），故必为偶数，③正确． 综上，正确的个数为1． 故答案选：B． 变式3-2 某将1至2016的连续自然数进行如下操作，每次去掉三个数，再添上所去掉三数之和的 个位数字，若经过多次操作后，最后剩下两个数，一个数是17，则另一个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，由题意可得每次操作后，总和的个位数字保持不变，先求出1至2016的连续自然数的和得出初始总和的个位数字是，再结合题意计算即可得解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵将1至2016的连续自然数进行如下操作，每次去掉三个数，再添上所去掉三数之和的 个位数字， ∴每次操作后，总和减少的是的倍数，即每次操作后，总和的个位数字保持不变， 1至2016的连续自然数的和为， 故初始总和的个位数字是， ∵若经过多次操作后，最后剩下两个数，一个数是17， ∴设另一个数为，则和的和的个位数字为， ∵，，，， ∴另一个数为， 故选：D． 变式3-3将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了探究规律—数字类，由图得对于整数，当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列；当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列；即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图得 对于整数， 当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列； 当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列； ， ， 在第行，第列， ，， 故答案为：，． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 解整式中图形类规律探究题，先观察图形的构成和变化规律，如图形数量、形状、排列方式等。尝试用整式表达图形的特征，验证规律。确定规律后，写出通项公式。验证通项公式，确保正确。注意图形与整式之间的对应关系，尤其是图形的递推关系。最后，将规律应用于问题求解，确保答案准确。 例4 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， ∴白卡片数字1摆在了标注字母的位置， ∴黑卡片数字1摆在了标注字母的位置， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白2，若第二行中为白2，则只能是黑1，黑2，而为黑1，矛盾， ∴第一行中为白2； ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3，若第一行中为白3，则，只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白3， ∴第二行中为黑2，为黑3； ∵ 第一行中与第二行中肯定有一张为白4，若第一行中为白4，则，只能是黑3，黑4，与为黑3矛盾， ∴第二行中为白4． 故答案为：4． 变式4-1 “阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 【答案】 【分析】本题主要考查了逻辑推理和数字组合的概念，解题的关键在于通过合理断开两个环，将连环拆分成不同数量的小部分，使得这些小部分能够通过组合和交换的方式，满足每天获取对应数量银环的要求．根据题意尝试找出一种合理的拆分方式，然后根据每天的获取规则来验证是否可行即可得解． 【详解】解：断开第环和第环，断开后形成了个(第环断开产生)单环、个单环(第环断开产生)、一个环(环)、一个环(环)、一个环(环)， 每天获取工钱的具体方式如下， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环和一个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 故答案为：，． 变式4-2 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．请你计算三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是 ． 【答案】621 【分析】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第3个“三角形数”与第5个“正方形数”， 第20个“五边形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，第20个“五边形数”的和． 【详解】解：第1个“三角形数”：1， 第2个“三角形数”：， 第3个“三角形数”：， …… 第个“三角形数”为； 第1个“正方形数”：1， 第2个“正方形数”：， 第3个“正方形数”：， 第4个“正方形数”：， 第5个“正方形数”：， 第n个“正方形数”为； 第1个“五方形数”：1， 第2个“五方形数”：， 第3个“五方形数”： ， 第4个“五方形数”：， 第5个“五方形数”：， 第n个“五方形数”为， ； 当时，第20个“五方形数”为 ； ∴三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是． 故答案为：． 变式4-3 小明将枚硬币任意摆放在图中的点上（每个点的硬币个数不限，可以为）．    (1)对于图定义一次“操作”：从一个至少有2枚硬币的点取走枚硬币，并分别在与此点相邻的点上各放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． (2)对于图定义一次“操作”：从一个至少有枚硬币的点取走枚硬币，若该点有两个相邻点，就分别在每个相邻的点处各放置枚硬币；若该点只有一个相邻点，就只在该相邻点处放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． 【答案】(1)最小值为； (2)最小值为． 【分析】（）根据最终的平衡状态可以确定最小值即可； （）根据最终的平衡状态可以确定最小值即可； 本题主要考查了图形的变化规律，根据每个点上最多有一个点得出结论是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，不满足题意， ∴， 不妨设， 当点或点处有枚硬币时，则经过一次“操作”就能使点处有硬币； 当点，处的硬币数小于或等于枚时，由对称性有如图，种情况（其中字母边上的数字代表该点处初始状态的硬币数）， 经验证，经过若干次“操作”总能使点处有硬币， ∴的最小值为； （2）解：当处有枚硬币时，经过一次“操作”就能使处有硬币， 当初始状态，处都没有硬币时，处至少要有枚硬币，才能使得处有枚硬币， 当初始状态，处都没有硬币时， 经如图，检验（相应的数字代表每次“操作”后的硬币数）， 当处有枚硬币时，符合题意． ∴的最小值为． 类型五、整式加减中的新定义型问题 理解定义：明确新运算或符号的规则（如⊕、⊗等），注意优先级和运算顺序。 示例验证：用简单数值代入定义，确保理解正确。 转化常规运算：将新运算转化为基本整式加减（如分配律、合并同类项）。 分步化简：按定义逐步计算，避免跳步。 检验结果：用特例验证最终表达式是否合理。 例5 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 变式5-1 定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 变式5-2 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用、解二元一次方程、数的整除，采用分类讨论的思想是解此题的关键．由题意可得，结合得出，，表示出，结合题意可得能被23整除，由，得出或或，再分情况计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ， ，，，，且，，，均为整数， ， 为的倍数， ，， ，， ， ， 能被23整除， 能被23整除， ， 或或， 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，解得或， 当时，此时，，对应的， 当时，此时，，对应的， 满足条件的所有的和为， 故答案为：；． 变式5-3 对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【答案】(1)不是； (2)，，7；，6； (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”； （2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可； （3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除． 【详解】（1）解：，， 不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，， 所以， 所以是“好六数”， 故答案为：，，7；，6； （3）解：， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 是“好六数”， ， 即， ， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除 一、单选题 1．对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．则下列说法错误的是（   ） A．若，则生成的这数串中必有（为正整数） B．若，生成的前2025个数之和为4759 C．若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5 D．若，则的值是56 【答案】D 【点睛】本题考查了新定义问题，能够理解定义，分别计算出每一组数串是解题的关键．根据定义，逐项计算判定即可． 【详解】解：A、当时，按规则生成数串：4，2，1，4，2，1，……，每3项循环，则有，故该选项正确，不符合题意； B、时，前6项为6，3，10，5，16，8，和为48；后续每3项4，2，1循环，和为7，前2025项包含前6项和个周期，所以总和为，故该选项正确，不符合题意； C、若，则可能为偶数，此时，解得；可能为奇数，此时，解得，故该选项正确，不符合题意； D、当，则，，或即，遗漏9，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 2．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 3．已知整式M：，其中n， 为自然数．满足，且（）．下列说法： ①若，则n的最大值为5； ②若，则满足条件的整式有12个； ③若，则满足条件的整式有30个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的系数规律问题，争取理解题意是解题的关键. 根据递减条件、相邻系数查以及取值范围的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析组合解答即可. 【详解】解：①当时，且，要求n最大，即两数之间相差最小，设相邻两数相差为2，则若时，则（不满足 ）， 则n最大为5，①正确； ②当时，可取2,3,4,对应的取值分别为0,0/1,0/1/2,共6种组合； 由且（即 ），，（即 ）： 故 ，且； 不含，或或，故有三种可能，及以上都不存在， 故有，②错误. ③若时，由于且，故， 当，，需满足故，且之后的都不存在， . 进一步分析 的组合：最小为4，最大为8， ，时，; ，时，; ，时，; ，时，; ，时，; ∴满足条件的整式共15种，③不正确； 故选：C. 二、填空题 4．对于各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，则称为“幸运数”．设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为，令．当时，则 ；若为整数，则满足条件的“幸运数”的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 77 7524 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减运算，有理数的混合运算，理解新定义的含义，掌握整式的混合运算，有理数的混合运算是关键． 根据“幸运数”的计算方法，结合整式的混合运算，有理数的混合运算法则分类讨论即可求解． 【详解】解：各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，称为“幸运数”， 设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，且时， ∴“幸运数”的十位数字式，个位数字为， ∴“幸运数”， ∴将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为， ∴， ∴， 根据题意，设， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且“幸运数”最大， ∴当时，，则时，均不符合题意，时，符合题意， ∴，此时“幸运数”的最大值为， “幸运数”最小， 同理，时，，则时，不符合题意，时，符合题意， ∴，此时“幸运数”的最小值为， ∴， 故答案为：①；② ． 5．如图，长方形中，若图中阴影部分的面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形面积，整体代入的思想；观察图形可得影阴部分是三角形与三角形 的公共部分，而这三块是长方形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积四边形的面积，而与的面积都是四边形面积的一半，据此求得的值． 【详解】解：如图所示， 设长方形面积为，则， 由图形可知面积面积四边形的面积， ， 即， 解得， 故答案为：． 6．有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的构成规律，通过观察分别发现分子、分母和符号的规律，可得结果． 【详解】解：由题意可得：分子部分为，分母部分为n，奇数项为正，偶数项为负， ∴第个单项式为：， 故答案为：． 7．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 8．某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1～80的80盏灯，分别对应着编号为1～80的80个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”，现有80个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第80个人把所有编号是80的整数倍的开关按一次，问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律； 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】8 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类．分析各号开关被按的次数，可得出n号开关被按的次数等于n的约数的个数，进而可得出约数个数是奇数，则n一定是平方数．结合，，可得出80以内共有8个平方数，即最终状态为“亮”的灯共有8盏． 【详解】解：∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了2次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，…， ∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数， ∴约数个数是奇数，则n一定是平方数． ∵，， ∴80以内共有8个平方数， ∴最终状态为“亮”的灯共有8盏． 故答案为：8． 三、解答题 9．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 10．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【详解】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 11．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是解答本题的关键． （1）方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数5，进而最大的数9，和最小的数1加上5，就组成一列，然后是8，5，2，接着是7，5，3，最后是6，5，4，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等． （2）设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填写表格后即可证． （3）根据题意填写即可． 【详解】（1）解：如下图：（答案不唯一） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）解：正确，理由如下： 设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为， 正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍， 设正中间的数为x， 填表如下， 则，即； （3）解：如下图：（答案不唯一） 12．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 【答案】（1）4，7；（2）4，1；（3），；（4）①，，5；②，， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及整式的加减，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （2）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （3）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，再计算两点之间的距离； （4）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解； ②根据移动规则即可求解； 【详解】解：（1）点表示数，将点向右移动7个单位长度到达点， 点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，7； （2）点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度， 终点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，1； （3）如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是， 点，之间的距离为， 故答案为：，； （4）①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为，点最终位置表，此时、两点间的距离． 故答案为：，，； ②当时，其中平局次，甲胜次， 点最终位置表示的数为， 点最终位置表示的数为； 此时、两点间的距离． 故答案为：，，． 13．（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买棵桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 【答案】（1）该护栏第三边的边长为；（1）当时，；当时，；（3）“十小八”卖桃子的总利润为元 【分析】本题考查整式的加减的实际应用，关键是根据题意列出代数式； （1）将周长减去两条边长，即可求解；   （2）分两种情况，根据题意列出代数式，即可求解；   （3）将前两部分部分的利润相加，再减去无法销售的成本即可求解．   【详解】解：（1）该护栏第三边的边长为 ；   答：该护栏第三边的边长为；   （2）解：当时，他买桃树苗花的钱为； 当时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱， 他买桃树苗花的钱为； 答：当时，他买桃树苗花的钱为元；当时，为元； （3）依题意， ．   答：“十小八”卖桃子的总利润为元． 14．数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【答案】(1)0，0； (2)，，0； (3)选A时，，理由见解析；选B时，，理由见解析； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，如图3中，结论：．设，则，，，代入计算即可；选B时，如图4中，结论：．设，则，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：． 将图2中的方框移动到图1中的其他位置， 通过计算可以发现的值均为0， 故答案为：0，0； （2）解：设，则，，． ． 的值均为0． 故答案为：，，0； （3）解：选择：A； 如图3中，结论：． 理由：设，则，，， ； 选择：B； 如图4中，结论：． 理由：设，则，，， ． 15．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【详解】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 16．观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键， （1）按题意计算画图即可得解； （2）由图找到数的规律进行计算即可得解； （3）由图找到数的规律进行计算即可得解； 【详解】（1）解：画图如下，    ， 故答案为：； （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， …； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ， ∴， 故答案为：； （3）解：由图知，， ， ， ， ， ∴第个等式， 故答案为：． 17．综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【答案】(1)； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），证明见解析 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、 有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和这一规律可得即可得解； （2）（ⅰ）根据图形面积即可得解； （ⅱ）根据所给规律总结证明即可． 【详解】（1）解：斐波那契数列第9个数为，第10个数为；若用表示斐波那契数列中的第个数，则， 故答案为：；； （2）（ⅰ）解：第④个图形的面积为：， 第⑤个图形的边长为， 第⑤个图形的面积为：， 填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 40 104 …… （ⅱ）解：， 证明：记斐波那契数列为：，，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： （1）探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当时，图中线段有：线段；共有1条线段； 如图2，当时，以A为端点的线段有：线段和线段；以C为端点的有：线段；共有条线段； 如图3，当时，以A为端点的线段有：线段，，；以C为端点的有：线段和线段；以D为端点的有：线段；共有条线段； ……， 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 条线段．（用含n的代数式表示） （2）探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图，当，时， 如图，当，时， 如图，当，时， ……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 个长方形．（用含n的代数式表示） 如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）． ……， 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果）                【答案】（1） （2），， [问题解决] 【分析】（1）探究一：利用“特殊到一般”的方法列出算式，再通过算式中线段的条数与点的个数之间的关系发现并总结出一般规律即可； （2）探究二：利用“特殊到一般”的方法列出算式，再通过算式中长方形的个数与点的个数之间的关系发现并总结出一般规律即可； [问题解决]：利用所得规律，将特殊值代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1）探究一：    如图1，当时，共有条线段， 如图2，当时，共有条线段， 如图3，当时，共有条线段， ， 当随机设置了n个点后，一共可以形成条线段， 故答案为：； （2）探究二：    如图，当，时，图中一共有个长方形， 如图，当，时，图中一共有个长方形， 如图，当，时，图中一共有个长方形， ， 当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有个长方形； 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有个长方形；    如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有个长方形（包括正方形）， ， 将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有个长方形（包括正方形）； 故答案为：，，； [问题解决]： 将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，    则长上共形成条线段，宽上共形成条线段， 图中一共有个长方形（包括正方形）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，列代数式，代数式求值，有理数四则混合运算等知识点，利用“特殊到一般”的方法列出算式，通过算式中线段的条数、长方形的个数与点的个数之间的关系发现并总结出一般规律是解题的关键． 19．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是． 最后，解释并表达规律．当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 (1)如果长方形内有100个点可以分得_______个三角形；一般地，如果长方形内有个点可分得_______个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： (2)某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有_______个氢原子． (3)探索的个位数字是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）按照题目中给出的结论计算即可； （2）通过观察和归纳得出规律，准确计算即可； （3）通过计算得出的个位数的规律，按照规律求解即可． 【详解】（1）解：按照小天发现的规律，长方形内有100个点可以分得， 长方形内有个点可分得， 故答案为：，． （2）解：由前6种化合物的分子结构模型图可得 碳原子的个数 1 2 3 4 5 6 氢原子的个数 4 6 8 10 12 14 发现碳原子的个数增加1，氢原子的个数增加2， 60种化合物的分子结构模型中有（个）， 故答案为：． （3）解，，，，，， 由此可以发现，个位数字按照顺序，四个一循环， ， 所以的个位数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了用归纳策略找规律，解题关键是准确理解题意，利用归纳法发现规律． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式中的应用、规律、新定义型的五种考法 目录 1 类型一、整式的加减实际应用问题 1 类型二、单项式的规律探究问题 3 类型三、整式中的数字类规律探究问题 4 类型四、整式中的图形类规律探究问题 5 类型五、整式加减中的新定义型问题 7 8 类型一、整式的加减实际应用问题 解整式加减实际应用题，首先仔细阅读题目，理解问题背景和要求。提取关键信息，将实际问题转化为数学模型，即整式表达式。明确整式中各项的含义，注意单位统一。进行整式加减运算，合并同类项，简化表达式。计算结果后，检查是否符合实际意义，确保答案正确。最后，将答案以适当形式呈现，如带单位的数值或表达式。 例1．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为50的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（   ） A．18 B．32 C．42 D．48 变式1-1．如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为 ． 变式1-2．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 变式1-3 1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 类型二、单项式的规律探究问题 解单项式规律探究题，先观察单项式中系数和字母指数的变化规律。尝试代入简单数值，验证规律。确定规律后，写出通项公式。验证通项公式，确保正确。注意指数和系数的运算规则，尤其是符号处理。最后，将规律应用于问题求解，确保答案准确。 例2．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 变式2-3．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2025个单项式是 ． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 解整式中数字类规律探究题，先观察整式中数字的变化规律，如等差、等比、平方等。尝试代入简单数值，验证规律。确定规律后，写出通项公式。验证通项公式，确保正确。注意指数和系数的运算规则，尤其是符号处理。最后，将规律应用于问题求解，确保答案准确。 例3．已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-1．由个正整数组成的一列数，记为，，…，任意改变它们的顺序后记作，，…，若，下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，若，，，为四个连续整数，则一定为偶数； ②若为偶数，则一定为奇数； ③若为奇数，则一定为偶数． A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-2 某将1至2016的连续自然数进行如下操作，每次去掉三个数，再添上所去掉三数之和的 个位数字，若经过多次操作后，最后剩下两个数，一个数是17，则另一个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 变式3-3将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    类型四、整式中的图形类规律探究问题 解整式中图形类规律探究题，先观察图形的构成和变化规律，如图形数量、形状、排列方式等。尝试用整式表达图形的特征，验证规律。确定规律后，写出通项公式。验证通项公式，确保正确。注意图形与整式之间的对应关系，尤其是图形的递推关系。最后，将规律应用于问题求解，确保答案准确。 例4 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字 ． 变式4-1 “阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 变式4-2 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．请你计算三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是 ． 变式4-3 小明将枚硬币任意摆放在图中的点上（每个点的硬币个数不限，可以为）．    (1)对于图定义一次“操作”：从一个至少有2枚硬币的点取走枚硬币，并分别在与此点相邻的点上各放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． (2)对于图定义一次“操作”：从一个至少有枚硬币的点取走枚硬币，若该点有两个相邻点，就分别在每个相邻的点处各放置枚硬币；若该点只有一个相邻点，就只在该相邻点处放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． 类型五、整式加减中的新定义型问题 理解定义：明确新运算或符号的规则（如⊕、⊗等），注意优先级和运算顺序。 示例验证：用简单数值代入定义，确保理解正确。 转化常规运算：将新运算转化为基本整式加减（如分配律、合并同类项）。 分步化简：按定义逐步计算，避免跳步。 检验结果：用特例验证最终表达式是否合理。 例5 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ． 变式5-1 定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 变式5-2 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为 ． 变式5-3 对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 一、单选题 1．对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．则下列说法错误的是（   ） A．若，则生成的这数串中必有（为正整数） B．若，生成的前2025个数之和为4759 C．若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5 D．若，则的值是56 2．观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知整式M：，其中n， 为自然数．满足，且（）．下列说法： ①若，则n的最大值为5； ②若，则满足条件的整式有12个； ③若，则满足条件的整式有30个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 4．对于各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，则称为“幸运数”．设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为，令．当时，则 ；若为整数，则满足条件的“幸运数”的最大值与最小值之差为 ． 5．如图，长方形中，若图中阴影部分的面积分别为，则 ． 6．有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 7．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 8．某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1～80的80盏灯，分别对应着编号为1～80的80个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”，现有80个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第80个人把所有编号是80的整数倍的开关按一次，问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律； 乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 三、解答题 9．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 10．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 11．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 12．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 13．（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买棵桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 14．数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 15．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 16．观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 17．综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 18．【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： （1）探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当时，图中线段有：线段；共有1条线段； 如图2，当时，以A为端点的线段有：线段和线段；以C为端点的有：线段；共有条线段； 如图3，当时，以A为端点的线段有：线段，，；以C为端点的有：线段和线段；以D为端点的有：线段；共有条线段； ……， 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 条线段．（用含n的代数式表示） （2）探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图，当，时， 如图，当，时， 如图，当，时， ……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 个长方形．（用含n的代数式表示） 如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）． ……， 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果）                19．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是． 最后，解释并表达规律．当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 (1)如果长方形内有100个点可以分得_______个三角形；一般地，如果长方形内有个点可分得_______个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： (2)某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有_______个氢原子． (3)探索的个位数字是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$