专题01 空间直线与平面的夹角与距离（专项训练）数学沪教版2020必修第三册

专题01 空间直线与平面的夹角与距离 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两条异面直线所成的角（重点） 1 题型二、直线与平面所成的角（重点） 2 题型三、二面角（难点） 5 题型四、点面距离（重点） 7 题型五、直线与平面的距离（重点） 8 题型六、求异面直线的距离（重点） 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两条异面直线所成的角 1．（24-25高二上·上海·月考）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·月考）在长方体AC1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c (a>b)，用含a、b、c的代数式表示异面直线D1B和AC所成角的余弦值为 . 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 . 4．（24-25高二上·上海·月考）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 5．（24-25高二上·上海·月考）已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 6．（24-25高二上·上海·期末）四面体中， ，M、N分别为的中点，， 则异面直线AC与BD所成的角是 . 7．（24-25高二上·上海·月考）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是 . 8．（24-25高二上·上海·月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 9．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 10.如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 题型二、直线与平面所成的角 11．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）把正方形沿对角线折起，当点D到平面的距离最大时，直线和平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 12．在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 13．（24-25高二上·上海·月考）在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    15．（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 17．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 18．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 19．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 题型三、二面角 20．（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（   ） A． B． C． D．2 22．（24-25高二上·上海·月考）设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为 . 23．（24-25高二上·上海·期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 24．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，二面角的大小是 . 25．（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 26．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 27．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值. 题型四、点面距离 28．（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 29．（24-25高二上·上海·期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 30．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 31．（24-25高二上·上海·月考）如图，长方体中，，，点为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求点与平面的距离． 题型五、直线与平面的距离 32．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 33．（24-25高二上·上海·月考）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 34．（24-25高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 35．（24-25高二上·上海·月考）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 36．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 题型六、求异面直线的距离 37．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 38．已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 39．在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 40.如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 41．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 一、填空题 1．已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为 ． 2．若正方体的棱长为，则顶点到平面的距离为 ． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 4．（2025·上海·三模）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为 . 二、解答题 5．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 6．（2025·上海杨浦·二模）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 8.如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 9.如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 10.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间直线与平面的夹角与距离 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两条异面直线所成的角（重点） 1 题型二、直线与平面所成的角（重点） 8 题型三、二面角（难点） 16 题型四、点面距离（重点） 24 题型五、直线与平面的距离（重点） 28 题型六、求异面直线的距离（重点） 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两条异面直线所成的角 1．（24-25高二上·上海·月考）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用正方体的性质，借助平行关系转化异面直线所成角，即可求解. 【详解】如图： ①若两异面直线为和，因为平面，平面，所以，即此时两直线所成的角为，所以此时余弦值为 ②若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为，即此时余弦值为. ③若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为即此时余弦值为. ④若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为， 且， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是， 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·月考）在长方体AC1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c (a>b)，用含a、b、c的代数式表示异面直线D1B和AC所成角的余弦值为 . 【答案】. 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意，连接交于点，取的中点，连接，证得，得到即为异面直线和所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，可得， 所以即为异面直线和所成的角， 因为， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线D1B和AC所成角的余弦值为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】如图可得异面直线与所成角等于，然后可得答案. 【详解】设正四棱锥棱长为2.连接AC，取AC中点为O，连接OE. 因E，O分别为PC，AC的中点，则， 则异面直线与所成角等于或其补角. 又由题可得，， 则. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·月考）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 【答案】或 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设G是AC的中点，分别连接，由已知得，所以是所成的角或是其补角． 因为，所以 当时，AB和EF所成角， 当时，AB和EF所成角. 故答案为：或 5．（24-25高二上·上海·月考）已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用异面直线夹角的定义求出余弦值. 【详解】正方体中，，则是异面直线与所成角或其补角， 在中，，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·期末）四面体中， ，M、N分别为的中点，， 则异面直线AC与BD所成的角是 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，由已知可得为等腰直角三角形，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为的中点，则， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，又， 则在中，， 则， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为：.    7．（24-25高二上·上海·月考）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，利用异面直线所成角的定义可得结果. 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，异面直线与的夹角. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 9．（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 【答案】 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 10.如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 题型二、直线与平面所成的角 11．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）把正方形沿对角线折起，当点D到平面的距离最大时，直线和平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求线面角 【分析】取的中点，连接、，过点在平面内作，垂足为点，推导出平面，分析可知当时，的长取到最大值，此时，点与点重合，由线面角的定义可知，与平面所成角为，然后在中求解即可. 【详解】取的中点，连接、，过点在平面内作，垂足为点， 设，因为、都是以为斜边的等腰直角三角形，则， 因为为的中点，所以，，且， 同理可得，且， 因为，，，、平面， 所以，平面， 因为平面，所以，， 又因为，，、平面， 所以，平面，即点到平面的距离为线段的长， 因为，则， 当时，的长取最大值， 因为，此时，点与点重合， 因为平面，即平面，则与平面所成的角为， 因为，，则为等腰直角三角形，所以，. 所以，直线与平面所成角为. 故选：B. 12．在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】求线面角 【分析】取取的中点，作出线面角，利用线面的定义求解即得. 【详解】取的中点，连接，由M为PB的中点，得，， 由PD⊥平面ABCD，得平面ABCD，则是AM与平面ABCD所成的角， 而，则， 在中，，， 所以AM与平面ABCD所成角的大小是. 故选：C 13．（24-25高二上·上海·月考）在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】过作，交于，连接，是直线与平面所成的角，求出，进而得到答案. 【详解】 过作，交于，连接， 平面， 是直线与平面所成的角， 由题意，得， ，， ， ， 直线DE与平面ABCD所成角的大小为是. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【答案】 【知识点】由线面角的大小求长度 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 15．（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 【答案】 【知识点】由线面角的大小求长度 【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，结合圆的面积公式作差即可． 【详解】如图， 过作，则， 当时，，当时，． 所以，满足条件的点构成的区域的面积为. 故答案为：. 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面； （2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求． 【详解】（1） 连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 底面，∴为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成的角等于. 17．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意可得为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解即可； （2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得. 【详解】（1）平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. （2）证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 18．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】反三角函数、证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由得到，根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定、性质可证； （2）设相交于一点，连接，易知是直线与平面所成的角，进而求出角的大小. 【详解】（1）由题设，且， 故， 所以，故. 因为 底面，底面，所以， 因为，且面， 所以平面， 又平面， 则， （2）设相交于一点，连接，由（1）知：平面， 所以是直线与平面所成的角， ，则， 因为四棱锥的体积为，底面， 所以，所以， ,, 所以 ， 所以所求线面角的大小为. 19．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平行公理、求线面角、由线面角的大小求长度 【分析】（1）根据线线平行，结合中点即可求证， （2）根据线面角的几何法求解即为直线BE与平面PAD所成角，故，即可理由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点，    （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此    题型三、二面角 20．（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】连接延长交于，则是中点，得是二面角的平面角．求出可得结论． 【详解】依题意，是中心， 连接延长交于，则是中点，连接，则，， 而平面，则平面， cc以平面，则，因此是二面角的平面角． 由，，得，， 又，由平面，平面，得， 所以二面角的余弦值. 故选：B 21．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】求二面角 【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面到底面的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于， 由题意知，水的体积为， 所以，即，解得， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且， 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角， 即侧面与平面所成的角,其平面角为， 在直角三角形中，. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角. 22．（24-25高二上·上海·月考）设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小． 【详解】平面，， 又是正方形，， 平面， 平面， ， 是二面角的平面角． 在中，，， 二面角的大小为， 故答案为：． 23．（24-25高二上·上海·期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，说明即为二面角的平面角，再分别在和求出，进而可得出答案. 【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理，故四点共面， 则即为二面角的平面角， 在中，，则， 在中，，则， 所以，所以， 即二面角的大小为. 故答案为：. 24．（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，二面角的大小是 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】直接由定义法求二面角即可. 【详解】 取中点，连接，设正方体棱长为1， 则， 由三线合一可知，平面，平面， 平面平面，所以二面角的平面角为， 而在直角三角形中，， 所以. 故答案为：. 25．（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）根据二面角的定义可得就是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于，故, 由于是正三角形，故, 平面， 故平面，平面, 故 （2）作于，作交于， 则就是二面角的平面角， 因为， ∵是的中点，则，，， 由余弦定理可求得， ∴二面角的余弦值为． 26．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）利用平面中的线线垂直来证明线面垂直即可； （2）利用二面角的平面角的几何意义，通过证明即可得到二面角的平面角，再进行解直角三角形，即可得解. 【详解】（1） 由底面是直角梯形，，，，， 结合勾股定理计算可得：， 取的中点F，连接， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以, 又因为，且平面， 所以平面； （2）平面，平面，∴，又， ∴为二面角的平面角． 在中，，， ，，即． 故二面角的大小为． 27．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，又，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，确定为所求的平面角，解三角形即可. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面是正方形，所以，又因为平面平面， 且平面平面平面，所以平面， 又平面，所以. 由，平面， 所以平面； （2）如图，取的中点的中点， 连接， 因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，且平面平面平面，所以平面平面，故， 由题意可知平面， 故平面，又平面，故， 故为平面PCD与面所成二面角的平面角， 设，则. 综上所述：侧面PCD与底面所成二面角的正切值为. 题型四、点面距离 28．（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】利用正方体的特征及线面垂直的判定计算即可. 【详解】如图所示，E为侧面的中心， 根据正方体的特征可知平面， 平面，所以， 又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 故答案为： 29．（24-25高二上·上海·期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【答案】 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】证明线面平行，得到点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，故的长即为到平面的距离，结合，，利用勾股定理等知识进行求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作⊥于点， 因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则. 故答案为： 30．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【答案】5 【知识点】求点面距离 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 31．（24-25高二上·上海·月考）如图，长方体中，，，点为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求点与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）设与交于点，证明，然后由线面平行判定定理得证线面平行； （2）证明是异面直线与所成的角或其补角，再在中求出此角即得； （3）证明平面，得的长等于到平面的距离，求出此线段长即可． 【详解】（1）设与交于点，则是中点，如图，连接，又是中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为，所以是异面直线与所成的角或其补角， 由已知，，所以， 所以异面直线与所成的角是； （3）是正方形，所以， 又是长方体，因此平面， 而平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以的长等于到平面的距离， 正方形的边长为1，则． 题型五、直线与平面的距离 32．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】求直线与平面的距离、求点面距离、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 33．（24-25高二上·上海·月考）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 【答案】/ 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、求直线与平面的距离 【分析】根据条件，易得面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得面，再根据条件，利用几可关系，即可求解. 【详解】易知，又面，面，所以面， 则直线到平面的距离，与点到平面的距离相等， 过作于， 因为面，面，所以， 又，面，所以面， 又，则， 在中，，得到， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：. 34．（24-25高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面平行、求直线与平面的距离 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 35．（24-25高二上·上海·月考）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【知识点】求异面直线所成的角、求点面距离、求直线与平面的距离 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义可得即为所求，解直角三角形即可求解； （2）在正方体中，证明面，即可得出点面距离也即线面距离. 【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角或其补角， 因为，由勾股定理得， 故，所以； （2）连接交于，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，则点到平面的距离为. 36．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】求直线与平面的距离、异面直线的判定 【分析】（1）根据和不共面从而得结论; （2）由直线到平面的距离转换为点到平面的距离，再根据直线和平面的垂直，即可得答案. 【详解】（1）假设和共面，因为，，可确定平面，则平面，而是棱的中点，平面，所以和共面不成立，故和不共面. 故直线与直线是异面直线. （2）因为在正方体中，所以，平面，平面， 所以平面，直线到平面的距离，即点平面的距离， 连接，与交于点， 在正方体中，所以， 又在正方体中，所以平面，由平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面.所以的长度即点平面的距离， 因为正方体中，棱长为2，所以 的长度为. 故直线到平面的距离为. 题型六、求异面直线的距离 37．已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 38．已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算． 【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，， 故答案为：．    39．在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线的距离 【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，证得EF为异面直线AB和CD的公垂线求解. 【详解】如图所示： 分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF， 因为， 所以， 又因为E为中点， 所以，同理， 所以EF为异面直线AB和CD的公垂线， 所以， 故答案为： 40.如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【答案】 【知识点】求异面直线的距离 【分析】由条件计算各边长度，将棱锥补成长方体，在长方体找到的公垂线段，求出长度即可. 【详解】因为平面，所以， 所以，所以， 因为 因此我们将四棱锥构建成长方体. 接下来我们寻找异面直线的公垂线 在平面上的投影为，， 易证平面，故得，， 连接，与相交于，则为的中点， 作的中点，连接，则，，， 所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离. 且， 故答案为：. 41．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求异面直线的距离、证明线面平行、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）取中点，连接，作，垂足为，再过点A作，连接，通过构造线面垂直，确定二面角的一个平面角，由等面积法及勾股定理计算即可； （2）利用线面平行的判定，确定异面直线的距离为线面距离结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 一、填空题 1．已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用球的截面性质求出球心到截面距离即可得结果. 【详解】依题意，截面圆面积为的圆半径为5，此截面过球心， 截面圆面积为的圆半径为3，球心到此截面距离， 所以这两个平行平面之间的距离即为球心到半径为3的截面圆所在平面距离4. 故答案为：4 2．若正方体的棱长为，则顶点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】连接，设，进而可证明平面，再由已知棱长求得即为答案． 【详解】解：如图，在正方体中，由正方体的结构特征可知平面， 因为平面， 所以 连接，设，则， 因为，平面， 所以，平面，即平面， 所以，即为顶点到平面的距离， 因为正方体的棱长为，所以，． 故答案为：． 3．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 【答案】 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 4．（2025·上海·三模）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为 . 【答案】 【分析】在正四面体中，作出正四面体中相邻平面的二面角，利用余弦定理可求其锐二面角的大小. 【详解】 在正四面体中，E为中点，则， 又平面平面，所以就是平面与平面所成锐二面角的平面角， 设正四面体棱长为，，， 所以相邻两个面所成的锐二面角的大小为. 故答案为：. 二、解答题 5．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先取中点，连．利用等腰三角形三线合一得．再根据线面垂直判定定理证平面 ，最后由线面垂直性质得. （2）已知二面角为，即面面垂直.由面面垂直性质定理得平面，所以是线面角，求出角大小. 【详解】（1）取中点，连接， 由已知条件是边长为的正三角形，得. 平面，所以平面 ， 又平面 ，所以. （2） 二面角的大小为，即平面平面. 由平面平面，且由（1）知，平面， 所以平面，从而即为与平面所成角 在中，，从而， 在中，， 因为平面，且平面，所以， 所以在中，，且， 易求得，即与平面所成角的大小为. 6．（2025·上海杨浦·二模）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合图中几何关系由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）结合图中几何关系由等体积法即求解即可. 【详解】（1）    连接， 因为底面为正八边形，所以， 又正八棱柱侧棱底面，底面， 所以， 平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）    连接， 因为， 由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，， 所以， 由勾股定理可得，， 又，所以， 又，所以， 因为，所以，即， 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）先证明平明，从而得到为直线与平面所成角，再在中求解即可. 【详解】（1）由题意知，所以， 又因为，所以，所以； 又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又在平面内， 所以直线； （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平明，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，因为， 所以 所以直线与平面所成角的大小为. 8.如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、线面角的概念及辨析、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据得到异面直线所成的角，进而解出即可； （2）取BC中点E，然后证明平面，进而得到线面角，解出即可； 【详解】（1）∵，∴与所成的角就是（或其补角）. ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，而， ∴平面，又平面，∴. 在中，，，， ∴.即与所成角为. （2）如图，取BC中点E，连接，易知O为的中点， ∴且， ∴平面，∴为与平面所成的角. 在中，，， ∴. 即与平面所成角的正切值为.    9.如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、由线面角的大小求长度 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 10.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【详解】（1）由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2）由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$