第一章 集合与常用逻辑用语（知识清单）数学人教A版2019必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 清单01 集合的含义与表示 1、元素 把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：） 2、集合 把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：） 3、元素的特征 确定性、互异性、无序性. 求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 4、元素与集合的关系 ①属于：；②不属于：. 5、常用数集 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 6、集合的分类 ①有限集；②无限集；③空集. 7、集合的表示方法 ①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用括起来. 例如、 ②描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为. 例如、 ③图示法（图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合. 8、常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 注：做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）. 清单02 集合间的基本关系 1、子集 集合中任意一个元素都是集合中的元素. 记作：或 读作：包含于或包含 ①任何一个集合是它本身的子集. ②若，且，则. 2、集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 3、真子集 如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于. 记作：或 读作：真包含于或真包含 ①若，且，则. ②若，且，则. ③和用于集合和集合之间，和用于元素和集合之间. 4、空集 不含任何元素的集合. 符号： ①空集是任何集合的子集. ②空集是任何非空集合的真子集. ③解决有关、等问题时，一定要先考虑 的情况，以防漏解. 5、子集个数与元素个数的关系 设有限集合有个元素,则其子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是. 清单03 集合的基本运算 1、交集 属于集合且属于集合.（和的公共部分） 记作： 读作：交 含义： ①；②；③； ④；⑤；⑥. 2、并集 属于集合或属于集合.（包含和的所有元素） 记作： 读作：并 含义： ①；②；③； ④；⑤；⑥. 3、全集 研究问题中涉及的所有元素. 符号： 4、补集 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合. 符号： 含义： ①；②；③；④； ⑤；⑥； 清单05 充分条件与必要条件 1、命题 可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. 表示：“若，则”、“如果，那么”.其中为命题的条件,为命题的结论. 2、充分条件与必要条件 ①“若，则”是真命题，即，则是的充分条件，是的必要条件； ②“若，则”是假命题，即，则不是的充分条件，不是的必要条件. 判断充分条件、必要条件的三种方法： ①定义法：直接判断“若，则”以及“若，则” 的真假； ②集合法：利用集合的包含关系判断； ③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若，，则. 3、充要条件 如果“若，则”和“若，则”都是真命题，即既有，又有，则可记作，这时称是的充分必要条件，简称充要条件. 充分条件、必要条件的判断： ①且 是的充分不必要条件 ②且 是的必要不充分条件 ③ 是的充要条件 ④且 是的既不充分也不必要条件 4、全称量词 短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词. 符号： 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. “对中任意一个，成立”用符号记为： 5、存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词. 符号： 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. “存在中元素的，成立”用符号记为： 6、全称量词命题和存在量词命题的否定 ①全称量词命题的否定为：. ②存在量词命题的否定为：. ①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论. ②全称量词命题的否定是存在量词命题； 存在量词命题的否定是全称量词命题. ③一个命题和它的否定，只能是一真一假. 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 【易错01：忽略互异性】 集合元素具有确定性、无序性和互异性．在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性 【典例】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【针对训练】 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 2．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【易错02：元素的属性不明】 研究集合问题，一定要理解集合的意义——抓住集合的代表元素．如：——函数的定义域；——函数的值域；——函数图象上的点集． 【典例】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 【针对训练】 1．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中的元素为点集，所以利用方程组来求点集即可. 【详解】由，解得 因为，， 所以， 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 【易错03:：忽视空集】 遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【典例】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 【针对训练】 1．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合，． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①②③，都有，分类讨论集合是否为空集，限定出不等式范围即可得实数的取值范围； （2）分类讨论集合是否为空集，得出不等关系即可得实数的取值范围； 【详解】（1）选择①，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择②，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择③，由可得． 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. （2）当时，由，解得，符合题意 当时，或，解得； 综上，实数的取值范围为． 【易错04：集合中忽略端点值的取舍】 对于与不等式有关集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．利用集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题. 【典例】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得； （2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）因为是集合的真子集， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 【针对训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】(1)理解补集的定义，并找到补集，推出，注意分析时分类讨论，(2)找到的取值范围，然后取补集. 【详解】（1）由题意，得集合或. 因为，所以. 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得. 综上，实数a的取值范围是或. （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得. 所以时，. 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是. 【易错05：背景理解有误】 以集合知识为背景的创新型试题，因对所给题目背景的理解不全面、不深刻造成解题失误或思路受阻. 【典例】（24-25高一上·重庆·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解. 【详解】由题知， 将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个， 又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4， 所以交替和的总和为. 故选：A. 【针对训练】 1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 2．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 【易错06：混淆条件关系】 关键是分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件:由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件 【典例】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合条件间的推出关系判断充分、必要关系. 【详解】当时，满足，但不满足且，充分性不成立； 当且时，必有，必要性成立； 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 【针对训练】 1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】由，得，解得或， 显然“”可以推出“或”，“或”不可以推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 【易错07：充分必要条件中忽视端点值的取舍】 在充分、必要条件求参问题上经常会转化成集合的包含关系，同样要注意端点值的取舍问题. 【典例】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真即方程有解，利用判别式法列不等式求解即可. （2）根据必要不充分条件的定义列不等式求解即可. 【详解】（1）命题为真命题，：关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围为. （2）：，：. 是的必要不充分条件，则，解得. 故的取值范围为. 【针对训练】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). (4). 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 【易错08：命题的否定理解不清】 【典例】（24-25高一上·山东·阶段练习）“，为偶函数”的否定是（   ） A．，为奇函数 B．，不是偶函数 C．，为奇函数 D．，不是偶函数 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接写出结果. 【详解】“，为偶函数”的否定是“，不是偶函数”. 故选：B 【针对训练】 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知命题，则它的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题为特称量词命题， 其否定为：. 故选：D 2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）命题“，使得”的否定形式是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D 【分析】由全称、特称命题的否定，任意改存在、存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由题意，命题“，使得”的否定形式是： ，使得. 故选：D. 【易错09：忘记考虑最高项系数为0】 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 【典例】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 【针对训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】命题为全称量词命题，则命题的否定为，， 故选：． 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，的否定为，或. 故选：D 3．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 4．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可； 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 5．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的充分条件得，解出即可. 【详解】因为，所以或3， 因为是的充分条件，所以，所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·江西·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程可得或1，即得，再根据题意，需使选项中的范围是区间的真子集，结合选项即得. 【详解】由方程，可得或1，得， 依题意，需使选项中的范围是区间的真子集， 故成立的一个充分不必要条件是． 故选：D. 8．（24-25高一上·北京·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、解答题 9．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【分析】本题根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算 即可. 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 10．（24-25高一上·北京·期中）设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据集合的包含关系的定义求解． （2）根据充分不必要条件的定义得出关于的不等关系，然后求解； 【详解】（1）由对任意，都有可知， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以实数的取值范围． （2）由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为； 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 14．（24-25高一上·四川·期中）对给定的非空集合，定义集合，，当时，称具有姊妹性质. (1)当，时，判断集合是否具有姊妹性质，并说明理由； (2)探讨集合具有姊妹性质时与之间的关系； (3)探究、的子集的个数. 【答案】(1)不具有姊妹性质，理由见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）当，时，求出集合、，根据题中定义验证即可； （2）求出集合、，根据可得出关于、的不等式； （3）分、两种情况讨论，确定集合、的元素个数，结合子集个数公式可得结果. 【详解】（1）当，时，，，，， 所以不具有姊妹性质 （2）由题意，则， ， 若要使集合具有姊妹性质，则需满足， 则，所以. （3）由（2）可知，当时，，集合含有个元素， 此时、分别含有个元素，所以含有个元素， 的子集的个数为，的子集的个数为； 当时，，集合含有个元素， 此时、分别含有个元素，所以含有个元素， 的子集的个数为，的子集的个数为. 综上所述，当时，的子集的个数为，的子集的个数为； 当时，的子集的个数为，的子集的个数为. 8 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语 清单01 集合的含义与表示 1、元素 把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：） 2、集合 把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：） 3、元素的特征 确定性、互异性、无序性. 求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 4、元素与集合的关系 ①属于：；②不属于：. 5、常用数集 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 6、集合的分类 ①有限集；②无限集；③空集. 7、集合的表示方法 ①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用括起来. 例如、 ②描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为. 例如、 ③图示法（图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合. 8、常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 注：做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）. 清单02 集合间的基本关系 1、子集 集合中任意一个元素都是集合中的元素. 记作：或 读作：包含于或包含 ①任何一个集合是它本身的子集. ②若，且，则. 2、集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 3、真子集 如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于. 记作：或 读作：真包含于或真包含 ①若，且，则. ②若，且，则. ③和用于集合和集合之间，和用于元素和集合之间. 4、空集 不含任何元素的集合. 符号： ①空集是任何集合的子集. ②空集是任何非空集合的真子集. ③解决有关、等问题时，一定要先考虑 的情况，以防漏解. 5、子集个数与元素个数的关系 设有限集合有个元素,则其子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是. 清单03 集合的基本运算 1、交集 属于集合且属于集合.（和的公共部分） 记作： 读作：交 含义： ①；②；③； ④；⑤；⑥. 2、并集 属于集合或属于集合.（包含和的所有元素） 记作： 读作：并 含义： ①；②；③； ④；⑤；⑥. 3、全集 研究问题中涉及的所有元素. 符号： 4、补集 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合. 符号： 含义： ①；②；③；④； ⑤；⑥； 清单05 充分条件与必要条件 1、命题 可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. 表示：“若，则”、“如果，那么”.其中为命题的条件,为命题的结论. 2、充分条件与必要条件 ①“若，则”是真命题，即，则是的充分条件，是的必要条件； ②“若，则”是假命题，即，则不是的充分条件，不是的必要条件. 判断充分条件、必要条件的三种方法： ①定义法：直接判断“若，则”以及“若，则” 的真假； ②集合法：利用集合的包含关系判断； ③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若，，则. 3、充要条件 如果“若，则”和“若，则”都是真命题，即既有，又有，则可记作，这时称是的充分必要条件，简称充要条件. 充分条件、必要条件的判断： ①且 是的充分不必要条件 ②且 是的必要不充分条件 ③ 是的充要条件 ④且 是的既不充分也不必要条件 4、全称量词 短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词. 符号： 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. “对中任意一个，成立”用符号记为： 5、存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词. 符号： 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. “存在中元素的，成立”用符号记为： 6、全称量词命题和存在量词命题的否定 ①全称量词命题的否定为：. ②存在量词命题的否定为：. ①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论. ②全称量词命题的否定是存在量词命题； 存在量词命题的否定是全称量词命题. ③一个命题和它的否定，只能是一真一假. 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 【易错01：忽略互异性】 集合元素具有确定性、无序性和互异性．在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性 【典例】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【针对训练】 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 2．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【易错02：元素的属性不明】 研究集合问题，一定要理解集合的意义——抓住集合的代表元素．如：——函数的定义域；——函数的值域；——函数图象上的点集． 【典例】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一上·北京·期中）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【易错03:：忽视空集】 遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【典例】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【针对训练】 1．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合，． (1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 【易错04：集合中忽略端点值的取舍】 对于与不等式有关集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．利用集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题. 【典例】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【针对训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【易错05：背景理解有误】 以集合知识为背景的创新型试题，因对所给题目背景的理解不全面、不深刻造成解题失误或思路受阻. 【典例】（24-25高一上·重庆·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 2．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【易错06：混淆条件关系】 关键是分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件:由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件 【典例】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【针对训练】 1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【易错07：充分必要条件中忽视端点值的取舍】 在充分、必要条件求参问题上经常会转化成集合的包含关系，同样要注意端点值的取舍问题. 【典例】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【针对训练】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【易错08：命题的否定理解不清】 【典例】（24-25高一上·山东·阶段练习）“，为偶函数”的否定是（   ） A．，为奇函数 B．，不是偶函数 C．，为奇函数 D．，不是偶函数 【针对训练】 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知命题，则它的否定为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）命题“，使得”的否定形式是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【易错09：忘记考虑最高项系数为0】 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 【典例】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【针对训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．，或 D．，或 3．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江西·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、解答题 9．（24-25高一·上海·课堂例题）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 10．（24-25高一上·北京·期中）设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·四川·期中）对给定的非空集合，定义集合，，当时，称具有姊妹性质. (1)当，时，判断集合是否具有姊妹性质，并说明理由； (2)探讨集合具有姊妹性质时与之间的关系； (3)探究、的子集的个数. 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$