第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题（精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题 目录 类型一：洛必达法则的简单计算 2 类型二：洛必达法则在导数中的应用 4 一、型及型未定式 1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式. 2、定理1（型）：（1）设当时， 及； （2）在点的某个去心邻域内（点的去心邻域内）都有，都存在，且； （3）； 则：. 3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及； 　　(2)，和在与上可导，且； 　　(3)， 那么 . 4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点的去心邻域内，与可导且； 　　(3)， 那么 =. 5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立. 6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止: ,如满足条件，可继续使用洛必达法则. 二、型、、、型 1、型的转化： 或； 2、型的转化： 3、、型的转化：幂指函数类 类型一：洛必达法则的简单计算 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 例题2．（24-25高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ． 精练高频考点 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 2．（25-26高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（24-25高三上·湖北襄阳）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则 ． 类型二：洛必达法则在导数中的应用 典型例题 例题1．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； (2)，证明：（附：）. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 例题3．（24-25高三上·湖北·期末）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 精练高频考点 1．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 2．（23-24高二下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题 目录 类型一：洛必达法则的简单计算 2 类型二：洛必达法则在导数中的应用 4 一、型及型未定式 1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式. 2、定理1（型）：（1）设当时， 及； （2）在点的某个去心邻域内（点的去心邻域内）都有，都存在，且； （3）； 则：. 3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及； 　　(2)，和在与上可导，且； 　　(3)， 那么 . 4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点的去心邻域内，与可导且； 　　(3)， 那么 =. 5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立. 6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止: ,如满足条件，可继续使用洛必达法则. 二、型、、、型 1、型的转化： 或； 2、型的转化： 3、、型的转化：幂指函数类 类型一：洛必达法则的简单计算 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据洛必达法则求解即可. 【详解】. 故选：B 例题2．（24-25高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ． 【答案】/0.5 【分析】依据洛必达法则去计算即可解决. 【详解】 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 2．（25-26高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用洛必达法则直接求解即可 【详解】， 故选：D 3．（24-25高三上·湖北襄阳）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 如：，则 ． 【答案】2 【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得. 【详解】由题可得. 故答案为：2. 类型二：洛必达法则在导数中的应用 典型例题 例题1．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； (2)，证明：（附：）. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先把不等式恒成立转化为，再结合函数单调性得出函数值范围即可求参； （2）构造函数，根据导函数得出函数单调性即可证明不等式再结合累加法及等比数列求和即可证明. 【详解】（1）当时，，成立.当时，由可得， 令， ， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. 所以在上单调递减，. 由洛必达法则：， . （2）当且时，，令， 则，令，则， 在上单调递增，， 即在上单调递增，（当时取等号）， ， ， ， ， 即. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求解； （2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解. 例题3．（24-25高三上·湖北·期末）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1，证明见解析 (2)（i）,；（ii） 【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可. 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 精练高频考点 1．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)仅在时存在1个零点，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用洛必达法则求解即可； （2）构造函数，结合的单调性求解即可； （3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可. 【详解】（1） （2），， 所以，． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， 当时，，所以仅在时存在1个零点． （3），所以，，…， 将各式相乘得， 两侧同时运算极限，所以， 即， 令，原式可化为，又， 由（1）得， 故，由题意函数的定义域为， 综上， 【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限. 2．（23-24高二下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 【答案】(1)①1；② (2)是，证明见解析 【分析】（1）① 根据题干中洛必达法则进行计算即可得解；②设，根据洛必达法则求出，利用变换得解； （2）方法一，，均有，同理可得，利用洛必达法则1可得，得证； 方法二，利用导数可得在上单调递增，又由，得证． 【详解】（1）①根据洛必达法则，； ②设，两边同时取对数得，， 设，， ∴，∴ （2）∵，， ∴，，， ∴ ∴，均有， ∴是区间上的2阶无穷递降函数. 方法一： 以上同理可得， 由①，得 ∴，. 方法二： 设，， 则 设，，则 ∴在上单调递增，又，∴在上恒成立， ∴∴在上单调递增，∵， ∴在上但成立，∴， ∴在上单调递增， 又 ∴，. 【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1小题，构造函数，根据洛必达法则求出，得解； 第2小题，方法1先证明是区间上的2阶无穷递降函数，同理可得，根据洛必达法则可得；方法2，利用导数可判断在上单调递增，再根据洛必达法则求出，即可. 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决； （2）将选择的式子化简结合极限的定义求解； （3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$