第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题（精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 目录 1、函数极值的第二判定定理： 1 类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值 1 类型二：利用二阶导数研究函数的单调性 3 类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题 6 类型四：利用二阶导数研究函数的零点 9 1、函数极值的第二判定定理： 若在附近有连续的导函数，且， （1）若则在点处取极大值； （2）若则在点处取极小值 2、二次求导使用背景 （1）求函数的导数，无法判断导函数正负； （2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出. （3）一阶导函数中往往含有或 3、解题步骤： 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.当时，证明: 有唯一极值点. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论函数在上的单调性； (2)当时，求在内的最大值； 精练高频考点 1．（22-23高二下·福建福州·期中）已知函数，为的导函数且. (1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点； (2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由. 2．（2024·河南开封·一模）已知函数，. (1)若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围； (2)当时，求在上的最小值. 类型二：利用二阶导数研究函数的单调性 典型例题 例题1．（2024·陕西西安·二模）已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，讨论在的单调性. 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值． (2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增； 2．（23-24高三下·陕西渭南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调性． 3．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)当时，证明在上单调递增. 类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 例题3．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 精练高频考点 1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 2．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 3．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称. (1)求函数的解析式； (2)证明：； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 类型四：利用二阶导数研究函数的零点 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.函数，求的零点个数； 2．（2025·山西·三模）已知函数有两个极值点，. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 目录 1、函数极值的第二判定定理： 1 类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值 1 类型二：利用二阶导数研究函数的单调性 5 类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题 9 类型四：利用二阶导数研究函数的零点 17 1、函数极值的第二判定定理： 若在附近有连续的导函数，且， （1）若则在点处取极大值； （2）若则在点处取极小值 2、二次求导使用背景 （1）求函数的导数，无法判断导函数正负； （2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出. （3）一阶导函数中往往含有或 3、解题步骤： 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 类型一：利用二阶导数研究函数的极值、最值 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.当时，证明: 有唯一极值点. 【答案】证明见解析 【分析】通过二次求导确定在上单调递增，再结合，，即可求证. 【详解】由得，， 令， 则在上恒成立， 则在上单调递增， 因， 则，， 则，使得，即， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则存在唯一极小值点. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论函数在上的单调性； (2)当时，求在内的最大值； 【答案】(1)函数在上单调递增． (2)0 【分析】（1）根据求导公式和运算法则可得，由可得，，即可求解； （2）由题意可得，利用导数讨论函数的性质可得，进而，则在内单调递增，即可求解. 【详解】（1）当时，，，且． 当时，，，则， 即，故函数在上单调递增． （2）， 令，则， 由且，可得，，则，在内单调递增， 所以， 又当时，， 所以，在内单调递增， 故． 精练高频考点 1．（22-23高二下·福建福州·期中）已知函数，为的导函数且. (1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点； (2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由. 【答案】(1)，不是； (2)2，理由见解析. 【分析】（1）根据题意和求导的运算法则计算即可求出a，结合极值点的定义即可求解； （2）由（1）得，根据三角函数的性质可知当时函数单调递增，无极值点；当时函数单调递减，结合零点的存在性定理和函数的奇偶性，即可求解. 【详解】（1），则， 由，得， 所以，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增， 所以不是函数的极值点. （2）由（1）知，， 当时，，函数单调递增，无极值点； 设，则， 当时，，函数单调递减， 又， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在上只有一个极值点，且该极值点为m. 又，所以函数为奇函数， 则在上也有一个极值点，且该极值点为. 综上，函数在上有2个极值点. 2．（2024·河南开封·一模）已知函数，. (1)若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围； (2)当时，求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得：即可求解. （2）结合导数和隐零点替换即可求解最值. 【详解】（1）由已知可得：恒成立， 即恒成立，又的最小值为-2，所以， 则有. （2）当时，， 所以， 令，在上单调递减， 又因为，， 所以存在使得，即，从而 则有 x 正 负 递增 递减 则有最大值为：， 所以， 则在上单调递减，所以最小值为. 类型二：利用二阶导数研究函数的单调性 典型例题 例题1．（2024·陕西西安·二模）已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可； （2）利用二次求导结合适当放缩判定的导函数符合即可. 【详解】（1）当时，， 令， 显然时，，则在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以， 所以； （2）由， 令， 设，则，所以在上单调递增， 即， 若，则，即， 所以在上单调递增，则， 所以当时，在上单调递增. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，讨论在的单调性. 【答案】在单调递减，在单调递增. 【分析】利用多次求导的方法来求得在区间上的单调性. 【详解】因为，所以在有定义， ， 设， 则， 当时，， 所以 在单调递增， 而，所以当时时 ， 因此在单调递减，在单调递增. 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值． (2)当时．设函数，求证：与在上均单调递增； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知切线斜率等于求导函数在切点处的值列式求解即可； （2）根据导函数正负与原函数单调性的对应关系，多次求导确定导函数正负即得证. 【详解】（1）的定义域为， ，， 依题意得，所以. （2）∵， ， 因为当时，，所以在上单调递增， 且，故，即，∴：在上单调递增； ，， ∴，令， 而， 令， ， ∴在上单调递减，且，故， ∴， ∴在上单调递增，且， 故，即，∴函数在上单调递增； 2．（23-24高三下·陕西渭南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调性． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程, （2）利用导数确定函数的单调区间. 【详解】（1）， ． ，． 曲线在点处的切线方程为，即． （2）令， 则． 令，得； 令，得． 在上单调递减，在上单调递增． ，，， 当时，，即．当且仅当时等号成立， 当时，函数单调递减． 3．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)当时，证明在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据切点和斜率来求得切线方程. （2）利用二阶导数来证得结论成立. 【详解】（1），， 斜率， ∴过点处的切线方程为. （2）当时，，， 令，， 令， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ∴， 即，也就是 ∴在上单调递增. 类型三：利用二阶导数研究恒（能）成立问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河北·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求导可知，都是常数，所以该点的切线方程易求得； （2）此题不宜用分离参变量方法，而是含参求导分析，要抓住这个含参函数的定值，而这个定值恰好是不等式对任意恒成立的一个端点值，所以由此联想到要使得，则必需要使得紧靠0的右侧附近区域递增，这样也就只需要紧靠0的右侧附近区域，然后又抓住这个定值条件，所以继续同上分析的二次导函数，最后通过分类讨论得出问题的答案. 【详解】（1）由得： 所以当时，有，， 由曲线在点处的切线方程为，得：， 即曲线在点处的切线方程为. （2）令，则， 由于得：，所以把参数按下面分类讨论： ①当时，有，则在区间上是单调递增， 即，从而可知， 所以函数在区间上也是单调递增， 即有最小值，此时不等式对任意恒成立， 所以当时，满足题意； ②当时，由得，， 则当时，，则在区间上是单调递减， 且当时，，则在区间上是单调递增， 即，又当时，可判断， 由上可知在开区间存在唯一零点，假设零点为， 则可知当时，，则在区间上是单调递减， 可知当时，，则在区间上是单调递增， 即，此时不等式对任意不恒成立， 即当时，不满足题意，被舍去； 综上所述：实数的取值范围是. 例题2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）对函数求导得，然后令，再求导，从而求解. （2）利用分离常数得在区间上恒成立，从而只需求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为，定义域为，得 令，则，当，得， 当，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，只需 因为，令，， 有， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 例题3．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】（1）由求得切点的坐标，代入切线方程求得. （2）利用多次求导的方法求得的单调区间. （3）将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得正确答案. 【详解】（1）， ，解得切点为， . （2）， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. （3）恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1中，利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数的值，这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法：在小问2中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区间，是分析函数单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式：在小问3中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法. 精练高频考点 1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为在上恒成立，利用二阶导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】（1）当时，，则， 于是，， 则函数在点处的切线方程为 ，即； （2）因为在上恒成立，所以在上恒成立， 设，，则， 令，，则在上恒成立， 因此在上单调递减，于是， 因此在上恒成立，在上单调递减， 则，由此可知，，于是实数的最大值为． 2．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）已知，函数. (1)当时，求证：； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，得出，将问题化为证，构造函数并证明其单调性，得出，即可得出结论； （2）写出表达式，利用换元法转化为证明恒成立问题，构造函数并求导，将导数进行二次求导，分类讨论得出导函数的单调性，进而确定原函数的单调性，进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在中，， 当时，，要证，只需证， 令，则， 令，得， 所以当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以，即， 所以. （2）由题意及（1）得，，， 在中， ， 令，由题意，在时恒成立， 设，， 则， 令， 当时，， 所以，在上单调递减， 所以，符合题意， 当时，在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，且时，，即， 所以在上单调递增，所以，不符合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论； 4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称. (1)求函数的解析式； (2)证明：； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用两个函数互对称的性质求解即可； （2）分为两个不等式，然后求差构造函数，利用函数的单调性求最值，然后判断大小即可； （3）先将两个函数代入不等式，然后利用第二问的不等式放缩，去掉对数函数，然后化简求范围即可，因为有放缩，所以还需要验证，所求参数的范围的补集不符合题意. 【详解】（1） （2）的定义域为，设， ， ，得，得， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以； 设， ，得，得， 所以在单调递减，在单调递增， ，所以； 综上所述，成立. （3）， 设 令，得 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递减， 所以， 所以当时，在时恒成立， 下面证明当时，在时不恒成立， ， 设， 当时，在单调递减，值域是， 当时，，使得，此时，， 即在时不恒成立； 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 类型四：利用二阶导数研究函数的零点 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)无交点，理由见解析 【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解； （2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论. 【详解】（1）函数的定义域为R，且， 当时恒成立，所以在R上单调递减， 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上可得：当时在R上单调递减； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为． （2），则，令，即， 令，则， 令，则， 所以当时，则单调递减，且， 当时，则单调递增， 又，，故当时， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以，所以方程无实根， 所以函数与的图象无交点. 例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减． (2)1． 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）求出，利用导数求的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）由条件， 则， 由，所以， 令，则，得或， 令，则，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减． （2）由，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 又，所以， ， 所以在上单调递增，， 由题意，，解得， 所以a的最小值为1． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.函数，求的零点个数； 【答案】共有三个零点 【分析】根据对数型函数确定函数的定义域，令，确定函数的一个零点；再将代入，可得，∴关于点对称.二次求导判断函数的单调性及特殊点的函数值，即可确定函数零点的个数. 【详解】的定义域为，，1为的一个零点，，则，∴关于点对称. 当时，， ∵，∴在为减函数， ，，∴，，，， ∴在为增函数，在为减函数，∴， ∵∴，∴为的一个零点， 由对称性：也为的一个零点，共有，，三个零点. 2．（2025·山西·三模）已知函数有两个极值点，. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数极值点与导函数零点的关系可知，函数导数由两个零点，则对函数求导，写出关于参数的不等式；构造新的函数，求出函数单调性和极值点，判断参数范围. （2）设出函数的两个零点，判断零点所在区间，带入函数中，得函数零点的方程，根据对数运算方法，构造出的函数，求出构造函数的单调性和最值，求得答案. 【详解】（1），， 由题知有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根.     令，则， 因为，所以当，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在处取得极大值， 且，当时，， 当有两个不等的实数根时，必须且只需， 即的取值范围是. （2）由（1）知的两个根分别是，，且， 令，则，由，可得， 所以，. 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，则. 所以，即在区间上单调递增， 即， 所以，即， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$