1.3勾股定理的应用同步作业 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册　

勾股定理的应用 一、单选题 1．如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 2．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　） A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里 3．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 4．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（    ） A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里 5．一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为．若梯子顶端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑动了（    ） A． B．小于 C．大于 D．无法确定 6．如图，一根长为5m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3m，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　） A．2m B．3m C．4m D．m 7．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（　　） A．8 B．12 C．16 D．24 8．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 9．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 10．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为 ．    11．如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为，则是 三角形．    12．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为 ． 三、解答题 13．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个后，测得米，米，米，米． (1)求的长度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求图中阴影部分土地的面积． 14．“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米. (1)判断△ACM的形状，并说明理由； (2)求公路AB的长. 15．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C． (1)若米，米． ①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？ ②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）． (2)若，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小． 16．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《勾股定理的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C A A C A B 1．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 2．C 【分析】先求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴． ∵海里，海里， ∴海里． 故选C． 【点睛】本题考查了方向角，勾股定理，求出是解答本题的关键． 3．C 【分析】由矩形的性质易得，那么可用表示出，利用的三边关系即可求得长，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解决此类问题，应利用折叠找到相应的直角三角形，利用勾股定理求得所需线段长度． 4．A 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32海里，24海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了(海里)，(海里)， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 5．A 【分析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， 由题意知，，， ， ， ， ， 梯子底端在水平方向上滑动的距离是． 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，解题的关键是根据题意作图分析求解． 6．C 【分析】直接利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端离地竖直高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 7．A 【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2-AC2的值． 【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处， ∴∠ADC=∠ADE=90°， ∵∠C=45°，AD=2， ∴AC=AD=， ∵∠B=30°， ∴AB=2AD=2×2=4， ∴AB2-AC2=42-（）2=8， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 8．B 【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知：，， 在中，，， 由勾股定理可得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键． 9．17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 10．/13厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示：    由题意，得：， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 11．直角 【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状． 【详解】解：依题意，根据勾股定理得， ， ， ； ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键． 12．2或 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：，， ， 当点落在上时， 将沿直线折叠， ， ， ， ； 当点落在上时，如图2，连接，过点作于， ， ， ， ， ， 将沿直线折叠， ， ， ， ， 综上所述：的长为2或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 13．(1)5米； (2)直角三角形； (3)24； 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （3）由，结合三角形面积公式解答； 【详解】（1）（米）， （米）； （2）是直角三角形， ， ， ， 是直角三角形； （3） （平方米）；　 即阴影部分面积为24平方米． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，勾股定理逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形；勾股定理：直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方；是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14．(1)△ACM是直角三角形，见解析 (2)原来的路线AB的长为16.9千米． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （2）根据勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）△ACM是直角三角形，          理由是：在△ACM中， ∵AM2+CM2=122+52=169， AC2=169，                              ∴AM2+CM2=AC2， ∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°； （2）设BC=AB=x千米，则BM=BC-CM=（x-5）千米， 在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12， 由勾股定理得：AB2=BM2+AM2， ∴x2=（x-5）2+122，                         解这个方程，得x=16.9， 答：原来的路线AB的长为16.9千米． 【点睛】本题考查勾股定理及它的逆定理，解题关键是掌握相关定理的内容． 15．(1)①米；②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析 (2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离． 【分析】（1）先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：，可得到米，由勾股定理可得的长，即可求解；②设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解； （2）设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据勾股定理，列出方程，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∠C=90°，米， ∴米， ①根据题意得：， ∴米， ∴米， ∴米， 即点B将向外移动米； ②竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下： 设从A处沿墙下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得： ， 解得：（舍去）， ∴从A处沿墙下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米， 即竹竿的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等； （2）解：不可能相等，理由如下： 设AC=BC=a，从A处沿墙下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则，根据题意得： ， 整理得：， 即， ∵a、m、n都为正数， ∴，即． ∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．10cm 【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示． ∵BC＝2cm，棱长为6cm， ∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm 由勾股定理得， AB＝＝10（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm． 【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$