第1章 直线与方程综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程综合检测卷（提高篇） 【苏教版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·江西上饶·期末）“直线与直线平行”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 8．（5分）（24-25高二上·天津蓟州·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 10．（6分）（24-25高二上·山西·阶段练习）已知直线：，：，点在上，点在上，则（    ） A．的最小值为 B．原点到的距离的最大值为 C．的充要条件为 D．的充要条件为或 11．（6分）（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 13．（5分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 14．（5分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 ．（写出一条即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 17．（15分）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 18．（17分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 19．（17分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 2．（5分）（24-25高二上·江西上饶·期末）“直线与直线平行”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】先根据直线与直线平行可得或，进而可判断. 【解答过程】因为直线与直线平行， 直线的斜率为， 则直线的斜率存在且为，故， 所以，即，解得或， 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 故由直线与直线平行可得或， 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3．（5分）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 4．（5分）（24-25高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【解答过程】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D. 5．（5分）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 6．（5分）（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【解答过程】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二上·天津蓟州·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 【解题思路】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程. 【解答过程】由直线， 可得化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 若要到直线的距离最大，只需， 此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得， 又由直线的斜率为， 因为，可得，可得， 故此时直线的方程为，即， 经检验，此时，上述直线的方程能够成立. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【解题思路】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D. 【解答过程】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 10．（6分）（24-25高二上·山西·阶段练习）已知直线：，：，点在上，点在上，则（    ） A．的最小值为 B．原点到的距离的最大值为 C．的充要条件为 D．的充要条件为或 【解题思路】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能相交直接排除A，从而得解. 【解答过程】对于B，：可化为， 令，得，则过定点， 当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大， 最大距离为，故B正确； 对于C，的充要条件为，即，故C正确； 对于D，的充要条件为且，即或，故D正确. 对于A，因为直线：，：不一定平行， 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误； 故选：BCD. 11．（6分）（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 【解题思路】由点到线的距离即可求得A选项结果；将两个点坐标代入直线方程得到的值符号不同则这两个点在直线的两侧即可求得参数的范围判断B选项；由点到点的距离公式写出距离表达式，由配方法求得最小值判断C选项；找到动点所在直线，由“将军饮马”模型求得线段和最小值判断D选项. 【解答过程】点P到直线的距离，A选项正确； ∵将点代入直线方程得，要想P与Q点位于直线的两侧，则将代入直线方程得，即，B选项正确； ，C选项错误； ∵，∴点在直线上，斜率，过点作直线于点， 则，联立方程组解得，即， ∴点关于直线的对称点，连接与的交点为， 此时最小，的最小值：，D选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【解题思路】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【解答过程】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 或 ． 【解题思路】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数. 【解答过程】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线垂直，满足题意； 当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当且时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为或， 故答案为: 或. 14．（5分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 或 ．（写出一条即可） 【解题思路】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分，设，，依题意可得或，再结合、分别在直线、上，求出、坐标，即可求出直线的方程. 【解答过程】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分， 设，，则或， 所以或， 又、分别在直线、上，所以，， 解得、或、， 所以，或，， 则直线的方程为或， 整理得或. 故答案为：或（其中一条即可）. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 【解题思路】根据两直线平行和垂直时，斜率与截距的关系列式即可得解. 【解答过程】（1）设直线的斜率分别为， 则.当时，有，解得. （2）当时，，即， 所以，所以. 17．（15分）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且． (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程． 【解题思路】（1）先求直线的方程，联立，的方程，解方程组可得交点坐标. （2）设直线的点斜式方程，利用直线在两坐标轴上的截距的数量关系列方程，可求斜率，得到直线的方程. 【解答过程】（1）经过点且与垂直的直线为：：，即. 由 . 所以直线和直线的交点坐标为：. （2）因为直线与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0. 设：. 交轴于点：，交轴于点：. 由 或. 所以的方程为：或. 18．（17分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【解题思路】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【解答过程】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    19．（17分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【解题思路】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解答过程】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$