第三章 圆锥曲线的方程综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程综合检测卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（5分）（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·河北唐山·期末）唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（    ） A． B．0 C． D． 6．（5分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（   ） A．E的标准方程为 B．E的离心率等于 C．E与双曲线的渐近线不相同 D．直线与E有且仅有一个公共点 7．（5分）（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 B．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 C．当时，曲线是椭圆的一部分 D．当时，曲线是双曲线的一部分 10．（6分）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则（    ） A．椭圆的标准方程为 B． C． D．若直线与椭圆相交于，两点，则 11．（6分）（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与C相交于两点，与C相交于两点，直线l为抛物线C的准线，则（   ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与l相切 C．的最小值为32 D．和面积之和最小值为32 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·福建莆田·期中）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 13．（5分）（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 14．（5分）（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高三·全国·专题练习）已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 16．（15分）（24-25高二上·河北承德·期末）已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 17．（15分）（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 18．（17分）（24-25高二上·四川达州·期末）已知，为双曲线C：的左、右焦点，，过斜率存在的直线交C的右支于A，B两点，且． (1)求C的方程； (2)点A关于x轴对称点为D，直线BD交x轴于点E，记，的面积分别为，．求的值． 19．（17分）（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. (1)求椭圆的方程； (2)设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； (3)求证：直线过定点. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【解答过程】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 2．（5分）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【解题思路】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【解答过程】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 3．（5分）（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【解答过程】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 4．（5分）（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【解答过程】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 5．（5分）（24-25高二上·河北唐山·期末）唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（    ） A． B．0 C． D． 【解题思路】建立直角坐标系，设抛物线方程为，由在抛物线上求解. 【解答过程】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则设抛物线方程为：， 因为在抛物线上， 所以，解得， 则， 即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为， 故选：A. 6．（5分）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（   ） A．E的标准方程为 B．E的离心率等于 C．E与双曲线的渐近线不相同 D．直线与E有且仅有一个公共点 【解题思路】分别设出焦点在轴上和在轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线的标准方程，根据离心率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可判断双曲线和直线交点个数. 【解答过程】对于A，当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则，解得，此时的标准方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为，则，无解，A正确； 对于B，，离心率 ，B正确； 对于C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为， 即两者的渐近线相同，C错误； 对于D，将直线与双曲线联立得， ，直线与有且仅有一个公共点，D正确. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分别求出，求解椭圆方程，然后分别设，，利用点差法求出直线，然后再与椭圆方程联立从而求解. 【解答过程】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 8．（5分）（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【解题思路】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，将代入, 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 B．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上 C．当时，曲线是椭圆的一部分 D．当时，曲线是双曲线的一部分 【解题思路】先联立两直线方程消去参数，得到曲线C的方程为，再根据椭圆和双曲线的标准方程的条件逐一分析选项即可. 【解答过程】当时， 联立直线与的方程，此时无解， 当时，联立直线与的方程， 可得，所以，两式平方相加可得, 选项A：当时 曲线C的方程，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在x轴上， 所以该选项A正确； 选项B：当时，曲线C的方程为，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在y轴上，所以该选项B正确； 选项C：当时，假设, 曲线C的方程为， 表示圆去掉时的点，不表示椭圆的一部分，所以C选项错误； 选项D：当时， 曲线C的方程是焦点在x轴的双曲线的一部分，D选项正确； 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则（    ） A．椭圆的标准方程为 B． C． D．若直线与椭圆相交于，两点，则 【解题思路】根据离心率求椭圆方程可判断A；设，依题意得，得恒成立可判断BC；直线与椭圆方程联立求出交点坐标，再求出弦长可判断D. 【解答过程】对于A，由题意，所以，则， 所以椭圆的标准方程为，A正确； 对于BC，设，依题意得，又， 所以， 所以恒成立， 可得且，且， 显然，解得，，B错误，C正确； 对于D，由，解得，或， 所以交点为，， 则，D正确.    故选：ACD. 11．（6分）（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与C相交于两点，与C相交于两点，直线l为抛物线C的准线，则（   ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与l相切 C．的最小值为32 D．和面积之和最小值为32 【解题思路】设出直线、，与抛物线联立后消去，得到与纵坐标有关的韦达定理备用，对A，表示出，计算即可得；对B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对C，表示出、的长度后结合基本不等式即可得；对D，表示出两三角形面积之和后，借助坐标之间的关系，结合基本不等式求解即可得. 【解答过程】由，故焦点坐标为，准线方程为， 设，、、、， 则， 联立，消去得：，， 有，， 对于A，，故A错误； 对于B，的中点点坐标为， 因，故， 则为直径的圆以为圆心，为半径， 而圆心到的距离为， 故以为直径的圆与相切，即B正确； 对于C，因， 同理可得， 则， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D， ， 由，则， 同理可得，， 即 ， 当且仅当，时等号成立， 当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，， 即，可同时取等，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·福建莆田·期中）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【解题思路】设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率. 【解答过程】设，则，， 将两点坐标代入双曲线方程得：，， 将上述两式相减可得： ， 即，可得， 所以，即. 故答案为：. 13．（5分）（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 3 . 【解题思路】结合图形，由抛物线定义可将M到与的距离之和转化为，后由点到直线距离公式可得答案. 【解答过程】由题，抛物线焦点为，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C. 过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为. 由抛物线定义知，又，则. 当且仅当三点共线时，最短时， 而为F到直线距离， 所以. 所以点M到与的距离之和的最小值为3. 故答案为：3. 14．（5分）（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 【解题思路】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【解答过程】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高三·全国·专题练习）已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【解题思路】（1）（2）（3）联立直线和椭圆方程消去y，利用判别式求解即可. 【解答过程】（1）联立消去y得，， ， 若直线l与椭圆C有两个不重合的公共点，则， 解得， 即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点时，的取值范围为. （2）若直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点时,的值为. （3）若直线l与椭圆C没有公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C没有公共点时,的取值范围为. 16．（15分）（24-25高二上·河北承德·期末）已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【解题思路】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出轨迹方程. （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【解答过程】（1）依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，由线段的中点坐标为，得， 则，两式相减得，整理得， 因此直线的斜率，其方程为，即， 所以直线的方程为.    17．（15分）（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 【解题思路】由题可知，伞面的直径与长轴围成底角为的等腰三角形，根据余弦定理可求出椭圆的长轴，可得椭圆的标准方程. 求出直线方程并与椭圆方程联立，利用弦长公式；即可求解. 【解答过程】（1）根据题意，以椭圆的长轴所在直线为轴，以椭圆的短轴所在直线为轴建系.    伞面是以半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为. 伞面与地面所成夹角为；且伞面直径为. 又光线与地面所成夹角也为. 伞面与地面长轴围成底角为的等腰三角形； 由余弦定理可得：；解得：. .. 椭圆的标准方程为：. （2）由知：,得.所以右焦点坐标为. 设直线的方程为：；设 . 联立，可得. ，. . 18．（17分）（24-25高二上·四川达州·期末）已知，为双曲线C：的左、右焦点，，过斜率存在的直线交C的右支于A，B两点，且． (1)求C的方程； (2)点A关于x轴对称点为D，直线BD交x轴于点E，记，的面积分别为，．求的值． 【解题思路】（1）由已知可得和的值，根据求解，即可得C的方程； （2）由已知设过A，B两点的直线，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，表示过，两点的直线方程，求解点的坐标，根据求解即可. 【解答过程】（1）由已知，即，所以， ，即，所以， 因为，所以C的方程为； （2）由已知，， 由题意可知过A，B两点的直线斜率不为0，设直线方程为， 设，，则， 由可得， 则，即，且， 所以， 直线的方程为，当时，， 又，， 所以， 所以， . 19．（17分）（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，已知椭圆：（）的上顶点为，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）. (1)求椭圆的方程； (2)设直线和的斜率分别为，，求证:为定值； (3)求证：直线过定点. 【解题思路】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程； （2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明； （3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点. 【解答过程】（1）因为 椭圆的上顶点为，离心率为 则 解得， 所以椭圆的方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 设切线方程为，则 ，即 因为两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值. （3）联立方程 ，消掉得， 设，则， 同理可得 ， 则， 可得直线方程为， 令，得， 所以故直线过定点. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$