第12讲 解直角三角形及其应用 （知识清单+7大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学（沪科版）

第12讲 解直角三角形及其应用 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型三 解非直角三角形 题型四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 题型五 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 题型七 其他问题（解直角三角形的应用） 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型练习 【题型一】解直角三角形的相关计算 【例1】（2024·安徽亳州·模拟预测）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，在中，，点D是的中点，过点B作的垂线，垂足为E，则 ． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，在中，于点D，E是的中点，的延长线与的延长线交于点F．    (1)求证：． (2)若，求． 【题型二】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例2】 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【题型三】解非直角三角形 【例3】（安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 2．（九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，求． 【题型四】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【例4】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为，底部D的俯角为，两楼的水平距离BD为24 m，那么楼CD的高度约为 m．(结果精确到1 m，参考数据：，，) 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）小明看到了天上自由飞翔的小鸟，突发奇想，准备利用自己学过的锐角三角函数知识计算出小鸟飞行的高度．他在地面的点处利用测角仪测得小鸟在点处的仰角为，后，小鸟飞到了点处（点，在同一水平线上），此时测得仰角为．已知测角仪的高度是，且查阅资料可知该种小鸟的飞行速度约为，根据以上数据计算小鸟的飞行高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 【题型五】方位角问题(解直角三角形的应用) 【例5】（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【举一反三】 1．（九年级上·安徽六安·期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．    3．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【题型六】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【例6】（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是水阳江某段河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度 ．    3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某班级同学开展瞻仰革命先烈活动，同时测量革命先烈纪念碑的高度，如图，他们在土坡的底端A测得革命先烈纪念碑的顶端P的仰角，又在土坡顶端B测得P的仰角．已知土坡的坡脚，且A，B，P，Q在同平面上．求革命先烈纪念碑的高度． 参考数据：，，，，，． 【题型七】其他问题（解直角三角形的应用） 【例7】（九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（安徽宣城·一模）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4米，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（）米． A．4+ B．4+ C．4+4sin40° D．4+4cos40° 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为 米． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）随着智能化的发展，现在很多同学会采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度及点A到的距离．（参考数据：，，，．结果精确到．） 好题必刷 一、单选题 1．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B=90°，则sin2A+cos2A=1；④Rt△ABC中，∠A=90°，则tanC•sinC=cosC．其中正确的命题有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图是一座楼梯的示意图，是铅垂线，是水平线，与的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知，楼梯的宽度为，则需要的地毯的面积至少为（    ） A． B． C．（ D． 3．在中，，，，下列四个选项，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，设，，所对的边分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 6．如图，某飞机在空中A点处测得飞行高度h＝1000m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC为(      ) A．500m B．2000m C．1000m D．1000m 7．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(    ) A．7海里/时 B．7海里/时 C．7海里/时 D．28海里/时 8．某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，如图是自动扶梯的侧面示意图，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度为13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处侧得C点的仰角为 42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，，）（    ） A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米 9．小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD．他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，坡度为i＝1：，则标语牌CD的长为（    ）m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73） A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.8 10．如图，是平面镜，光线从点出发经上的点反射到点．若入射角为，，，垂足分别为、，且，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如果在平面直角坐标系中，点的坐标为，射线与轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于 ． 12．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ，堤坝高BC＝50m，则AB＝ m． 13．如图，小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处测得仰角为60°，那么塔高约为 m.（小兰身高忽略不计，取） 14．一名高山滑雪运动员沿着斜坡滑行，他在点D处相对大树顶端A的仰角为，从D点再滑行米到达坡底的C点，在点C处相对树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上），则大树的高度 米（结果保留根号）． 三、解答题 15．如图是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡哪一个的倾斜程度更大一些？ 16．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，） 17．如图，为迎接上海2010年世博会，需改变一些老街道的交通状况．在某大道拓宽工程中，要伐掉一棵树，在地面上事先划定以为圆心，半径与等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离点3米处的处测得树的顶端点的仰角为，树的底部点的俯角为，问距离点8米远的保护物是否在危险区内?（取1.73） 18．我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 整理可得：， 同理可得：．    利用上述结论解答下列问题： （1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 19．如图，我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？ 20．如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，�高为AB，�当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高．（精确到0.1m） 21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 如图，表示一段笔直的高架道路，线段表示高架道路旁的一排居民楼．已知点到的距离为米，的延长线与相交于点，且，假设汽车在高速道路上行驶时，周围米以内会受到噪音的影响． （1）过点作的垂线，垂足为点．如果汽车沿着从到的方向在上行驶，当汽车到达点处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点的距离为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点时，它与这一排居民楼的距离为米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到米） （参考数据：） 22．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）． 23．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳． (1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小； (2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器) 图1　 　   　　　图2　　　 　图3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 解直角三角形及其应用 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型三 解非直角三角形 题型四 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 题型五 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型六 坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 题型七 其他问题（解直角三角形的应用） 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型练习 【题型一】解直角三角形的相关计算 【例1】（2024·安徽亳州·模拟预测）在中，，，，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义直接计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，根据等腰三角形性质求出，求出，解直角三角形求出、根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，在中，，点D是的中点，过点B作的垂线，垂足为E，则 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，锐角三角函数，在直角三角形斜边中线的性质．利用余弦定义很容易求得，，然后由已知为斜边上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，，求得，再根据即可求解． 【详解】解：在中， ∵，即， 设（），则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，，， ∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，在中，于点D，E是的中点，的延长线与的延长线交于点F．    (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形的性质、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，从而可得，由直角三角形的性质可得，由等边对等角结合对顶角相等可得，即可得证； （2）解直角三角形求出，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【题型二】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【例2】 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 【举一反三】 1．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】或 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知，，，从而利用解三角形求出，，，再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 3．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【知识点】解非直角三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【题型三】解非直角三角形 【例3】（安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、解非直角三角形 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 【举一反三】 1．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 【答案】D 【知识点】解非直角三角形 【分析】根据题意可知，，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 2．（九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，求． 【答案】10 【知识点】解非直角三角形 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 【题型四】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【例4】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 米， 故选：B． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论． 【详解】解：过点作，为垂足，如图所示： 则四边形为矩形，米， 米， 在中，， ， （米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形． 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为，底部D的俯角为，两楼的水平距离BD为24 m，那么楼CD的高度约为 m．(结果精确到1 m，参考数据：，，) 【答案】42 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】如下图，过点A作于E，结合已知条件易得四边形是矩形，由此可得米，这样在和中，结合已知条件解得和的长即可得到楼高的长度了． 【详解】如下图所示，过点A作于E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 故楼的高度大约为42 m. 故答案为：42． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形三角函数的相关知识． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）小明看到了天上自由飞翔的小鸟，突发奇想，准备利用自己学过的锐角三角函数知识计算出小鸟飞行的高度．他在地面的点处利用测角仪测得小鸟在点处的仰角为，后，小鸟飞到了点处（点，在同一水平线上），此时测得仰角为．已知测角仪的高度是，且查阅资料可知该种小鸟的飞行速度约为，根据以上数据计算小鸟的飞行高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作，过点作，设，则，在中，，得，在中，，得，因为，所以，解出的值即的长度，再求出的长度，最后根据即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， 根据题意设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 答：小鸟的飞行高度约为． 【题型五】方位角问题(解直角三角形的应用) 【例5】（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】B 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解． 【详解】作的延长线于点N， 根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是， ∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午， 故选：B 【举一反三】 1．（九年级上·安徽六安·期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】方向角的表示、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】作交的延长线于，设，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：作交的延长线于， 设， ， ， ， ， 则， 解得， 答：这段河的宽约为米． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为 海里．    【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可． 【详解】解：设海里， 依题意得，，，海里， 海里，海里， 海里，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】平方海里 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于点，海里，根据锐角三角函数的概念求出的值，再求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：（海里）， , , 设海里， 中，， ， ， ， （海里）， 的面积（平方海里） 【题型六】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【例6】（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是水阳江某段河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义直接求解即可．理解坡度的概念是解题的关键． 【详解】解：∵坡高，水平距离， ∴斜坡的坡度为， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，解直角三角形得出，再由勾股定理可得，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∴米， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理．先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ， 斜坡的坡度， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某班级同学开展瞻仰革命先烈活动，同时测量革命先烈纪念碑的高度，如图，他们在土坡的底端A测得革命先烈纪念碑的顶端P的仰角，又在土坡顶端B测得P的仰角．已知土坡的坡脚，且A，B，P，Q在同平面上．求革命先烈纪念碑的高度． 参考数据：，，，，，． 【答案】纪念碑的高度约为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．过点作交延长线于点，作交延长线于点，在中，求得和的长，设米，则（米），在中，求得，推出，在中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：如图：过点作交延长线于点，作交延长线于点， 由题意得： 在中，， ， 设米，则（米）， 在中，， （米）， ∴（米）， 在中，，即， 解得：（米）， 答：纪念碑的高度约为米． 【题型七】其他问题（解直角三角形的应用） 【例7】（九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】根据题意得出：，，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：如图所示：    由题意可得：，， 故． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 【举一反三】 1．（安徽宣城·一模）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4米，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（）米． A．4+ B．4+ C．4+4sin40° D．4+4cos40° 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】原来树的长度是的长．已知了的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：中，，； ， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，解题的关键是能够熟练运用三角形边角关系进行求解． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为 米． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先过点作，设米，把、用含的代数式表示出来，可得方程，解方程求出点到的距离. 【详解】解：如下图所示，过点作， 设米， ， 米， 在中，， ， ， ， ， 解得：， 点到的距离为米． 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）随着智能化的发展，现在很多同学会采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度及点A到的距离．（参考数据：，，，．结果精确到．） 【答案】此时顶部边缘处离桌面的高度约为；点A到的距离约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过A作，垂足为E． ∵， ∴， 在中，， ∴，， 由题意得， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即此时顶部边缘处离桌面的高度约为； ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 即点A到的距离约为． 好题必刷 一、单选题 1．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B=90°，则sin2A+cos2A=1；④Rt△ABC中，∠A=90°，则tanC•sinC=cosC．其中正确的命题有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义判断所有的锐角三角函数值都是正数；根据锐角三角函数的概念结合勾股定理可以证明sin2A+cos2A=1，tanC•sinC=cosC． 【详解】①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确； ②两个元素中，至少得有一条边，故错误； ③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得则 = =1，故正确； ④根据锐角三角函数的概念，得tanC=，sinC=，cosC=，则tanC⋅cosC=sinC，故错误． 故选C． 【点睛】解直角三角形． 2．如图是一座楼梯的示意图，是铅垂线，是水平线，与的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知，楼梯的宽度为，则需要的地毯的面积至少为（    ） A． B． C．（ D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，再利用面积公式计算即可． 【详解】解：在中， ∵． ∴， 需要的地毯的面积至少为． 故选D． 3．在中，，，，下列四个选项，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】解：如图，根据勾股定理得：， ∴，，，， ∴C正确，A、B、D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键． 4．在中，，设，，所对的边分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论正确，符合题意； D、，选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 5．在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点， 甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发， ，， ， 乙货船从港沿西北方向出发， ， ， ， 答：港与港相距海里， 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口. 6．如图，某飞机在空中A点处测得飞行高度h＝1000m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC为(      ) A．500m B．2000m C．1000m D．1000m 【答案】D 【分析】首先根据图示，可得∠B=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以tan30°即可求出BC的长． 【详解】解：∵从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°， ∴∠B=∠α=30°， 在Rt△ABC中，BC===． 故选D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 7．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(    ) A．7海里/时 B．7海里/时 C．7海里/时 D．28海里/时 【答案】A 【详解】试题解析：设货船的航行速度为海里/时，小时后货船在点处，作于点. 由题意海里，海里， 在中, 所以 在中, 所以 所以 解得： 故选A. 8．某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，如图是自动扶梯的侧面示意图，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度为13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处侧得C点的仰角为 42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，，）（    ） A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米 【答案】D 【详解】试题分析：延长CB交PQ于点D． ∵MN∥PQ，BC⊥MN， ∴BC⊥PQ． ∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4， ∴． 设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米． ∵AB=13米， ∴k=1， ∴BD=5米，AD=12米． 在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°， ∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米， ∴BC≈5.8米． 故选：D． 考点：解直角三角形的应用． 9．小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD．他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，坡度为i＝1：，则标语牌CD的长为（    ）m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73） A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.8 【答案】D 【分析】根据斜坡AB的坡度为i＝1：，可得AE：BE＝1：，AE＝5，BE＝5，再根据锐角三角函数即可求出CD的长． 【详解】解：如图， 根据题意可知： 斜坡AB的坡度为i＝1：， 即AE：BE＝1：， ∵AB＝10， ∴AE＝5，BE＝5， ∴AC＝BE＝5， 在Rt△ACD中，∠DAC＝42°， ∴CD＝AC•tan42°≈5×0.90≈7.8（m）． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义． 10．如图，是平面镜，光线从点出发经上的点反射到点．若入射角为，，，垂足分别为、，且，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，可以找到，设CE=x，则DE=2x,利用对应边成比例，求出DE,便可求解了. 【详解】解： 设CE=x，则DE=2x x+2x=11    x= tan=tanA== 故选D 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，把实际问题转化为数学问题，把实际应用到解直角三角形中，利用三角函数和相似三角形的性质是解题的关键. 二、填空题 11．如果在平面直角坐标系中，点的坐标为，射线与轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于 ． 【答案】 【分析】如图，过点作轴于点，证明，可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是记住特殊角的三角函数值． 12．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ，堤坝高BC＝50m，则AB＝ m． 【答案】100 【详解】解：根据坡度可得：BC：AB=1：2， ∵BC=50m， ∴AB=100m． 故答案为：100． 【点睛】考点：三角函数的应用 13．如图，小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处测得仰角为60°，那么塔高约为 m.（小兰身高忽略不计，取） 【答案】43.3 【分析】从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°=，即可求出塔高． 【详解】∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∠DAB=30°，∠DBC=60°， ∴∠ADB=30°=∠DAB， ∴BD=AB=50m， 在Rt△BDC中，∠BCD=90°，sin60°=， ∴DC=BDsin60°=50×=43.3， 故答案为43.3． 【点睛】本题考查仰角的定义，能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系是解题的关键. 14．一名高山滑雪运动员沿着斜坡滑行，他在点D处相对大树顶端A的仰角为，从D点再滑行米到达坡底的C点，在点C处相对树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上），则大树的高度 米（结果保留根号）． 【答案】6+4 【分析】作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH，CH，过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，用a表示出AG、DG，根据tan∠ADG＝列式计算得到答案． 【详解】解：过点D作DH⊥CE于点H，过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米， 由题意知CD＝米， ∵斜坡CF的坡比为i＝1：3， ∴， 设DH＝x米，则CH＝3x米， ∵DH2＋CH2＝DC2， ∴， ∴x＝2， ∴DH＝2米，CH＝6米， ∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°， ∴四边形DHBG为矩形， ∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a＋6）米， ∵∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝a（米）， ∴AG＝（a−2）米， ∵∠ADG＝30°， ∴， ∴， ∴a＝， ∴AB＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键． 三、解答题 15．如图是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡哪一个的倾斜程度更大一些？ 【答案】左边坡的倾斜程度大 【分析】根据图，便可求出坡比i ，再比较两个大小即可. 【详解】左边i=   右边i= 左边i    即：左边坡的倾斜程度大 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握好坡比的计算即可解题. 16．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，） 【答案】点E与点D间的距离是358.4米． 【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得（米）， 答：点E与点D间的距离是358.4米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形． 17．如图，为迎接上海2010年世博会，需改变一些老街道的交通状况．在某大道拓宽工程中，要伐掉一棵树，在地面上事先划定以为圆心，半径与等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离点3米处的处测得树的顶端点的仰角为，树的底部点的俯角为，问距离点8米远的保护物是否在危险区内?（取1.73） 【答案】不在危险区内 【分析】过点作，则米，根据三角函数求得的长度，即可求解． 【详解】解：过点作，如下图 由题意可知四边形为矩形，则 在中，，， 解得 在中，，， 解得 则 答：距离点8米远的保护物不在危险区内 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求得树高是解题的关键． 18．我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 整理可得：， 同理可得：．    利用上述结论解答下列问题： （1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，即， ∴为直角三角形，， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， 化简得， 解得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值． 19．如图，我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？ 【答案】能 【分析】根据题意求得∠A的正切值，再利用计算器求得∠A的度数即可. 【详解】由题意可知，AC=1000m，BC=565m， ∴tanA==0.565， ∴∠A≈29.5°＜30°， 则坦克能通过这座小山. 【点睛】本题考点：解直角三角形，用计算器求角度. 解此题的关键在于把问题抽象到△ABC中，通过求出∠A的度数使问题得到解决. 20．如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，�高为AB，�当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高．（精确到0.1m） 【答案】6.2m 【分析】应充分利用所给的15°和50°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解． 【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D， 则AD⊥CD，∴∠BCD=15°，∠ACD=50°， 在Rt△CDB中，CD=7×cos15°，BD=7×sin15°， 在Rt△CDA�中，�AD=�CD�×tan50°=7×cos15°×tan50°， ∴AB=AD-BD=（7×cos15°×tan50°-7×sin15°） =7（cos15°×tan50°-sin15°）≈6.2（m）   【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，学会把实际问题转化为解直角三角形的问题，理解锐角三角函数的定义是本题的关键，需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法． 21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 如图，表示一段笔直的高架道路，线段表示高架道路旁的一排居民楼．已知点到的距离为米，的延长线与相交于点，且，假设汽车在高速道路上行驶时，周围米以内会受到噪音的影响． （1）过点作的垂线，垂足为点．如果汽车沿着从到的方向在上行驶，当汽车到达点处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点的距离为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点时，它与这一排居民楼的距离为米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到米） （参考数据：） 【答案】（1）米；（2）米 【分析】（1）联结，直接在中利用勾股定理解出即可；（2）从题中可得到的信息是，因此需要安装的隔音板至少要包含这一段．第（1）小题中已解得，故需要求出，在和中用两次的三角函数，即可解得和，代入计算即可． 【详解】解：（1）连结，由题意得，， 在中，； （2）由题意知，隔音板至少要从点装到点． 在中，，∴， 在中，，∴． ∴． 答：（1）此时汽车与点的距离为米；（2）高架道路旁安装的隔音板至少需要米． 22．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）． 【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里． 【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过B作BD⊥AC于D， 由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°， 在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)， ∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)， ∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)， 答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳． (1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小； (2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器) 图1　 　   　　　图2　　　 　图3 【答案】(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60° (2)台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70° 【分析】（1）由题意得：cm，，根据，可求； （2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得，根据，可得的值，进而可求的值． 【详解】（1）解：由题意得，cm，， ∴ ∴ ∴平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°． （2）解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$