第11讲 探索三角形相似的条件 （知识清单+6大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025－2026学年九年级上册数学（北师大版）

第11讲 探索三角形相似的条件 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用两角对应相等判定相似 题型二 利用三边对应成比例判定相似 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 相似三角形判定定理的证明 知识清单 知识点1．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 题型练习 【题型一】利用两角对应相等判定相似 【例1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）符合下列条件的两个三角形一定相似的是（   ） A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【题型二】利用三边对应成比例判定相似 【例2】（2023·河北承德·一模）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 3．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【题型三】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【题型四】选择或补充条件使两个三角形相似 【例4】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【题型五】相似三角形的判定综合 【例5】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型六】相似三角形判定定理的证明 【例6】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组． ①； ②； ③；④． A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接． (1)写出图中所有相等的线段，并加以说明； (2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似 2．已知如图，则下列四个三角形中与相似的是(　　)    A．   B．   C．   D．   3．在和中，，，根据下列条件，能判断和相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（      ）    A． B． C． D． 6．如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①；②；③；④；⑤；⑥．在②～⑥中与①相似的三角形的序号是（    ）． A．②③⑤ B．③④⑤ C．②④⑤⑥ D．③④⑤⑥ 8．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是 ( )    A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似 9．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 10．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 12．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 13．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 14．D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一个条件 （只能填一个）即可． 15．如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 16．如图，是中边上一点，连接，有如下条件：①，②，③，④，其中能判定的条件是 （填序号）． 17．在与中，，，，，，，则与是否相似？ ，理由是 ． 18．如图，点O是内任意一点，且，，，则 ，其相似比为 . 三、解答题 19．如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 20．如图，在中，，于D． 求证：． 21．如图，在正方形网格上有∽，这两个三角形相似吗?如果相似，求出和的面积比． 22．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°， 证明：△ACP∽△APD． 23．如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求线段的长． 24．已知：如图，在和中，． 求证：． 25．如图，在  △ABC和 △ADE中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请证明你写出的两对相似三角形. 26．（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是　 　；BD与CF位置关系是　 　． （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图3，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长BD交CF于点H． ①求证：BD⊥CF； ②当AB=2，AD=3时，则线段DH的长为　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 探索三角形相似的条件 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用两角对应相等判定相似 题型二 利用三边对应成比例判定相似 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型四 选择或补充条件使两个三角形相似 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 相似三角形判定定理的证明 知识清单 知识点1．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 题型练习 【题型一】利用两角对应相等判定相似 【例1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）符合下列条件的两个三角形一定相似的是（   ） A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、等边三角形的性质、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用“两角分别相等的两个三角形相似”，即若两个三角形三内角对应相等，则两个三角形相似，依次判断各选项中的两个三角形的内角即可． 【详解】解：A中，两个锐角三角形，三组对应内角可能并不相等或不全相等，如，，和，，，故不一定相似，故选项不符合题意； B中，两个直角三角形，只能确定一组直角对应相等，其余两内角可能并不对应相等，如，，和，，，故不一定相似，故选项不符合题意； C中，两个等腰三角形，底角和顶角不一定对应相等，如，，和，，，故不一定相似，故选项不符合题意； D中，两个等边三角形，两个三角形三内角都是，对应相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”可得一定相似，故选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是顶角为，底角为的等腰三角形， A、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； B、三边相等的三角形是等边三角形，每个内角都为，与不相似，故不符合题意； C、是顶角为的等腰三角形，则底角为，与相似，故符合题意； D、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 【题型二】利用三边对应成比例判定相似 【例2】（2023·河北承德·一模）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【答案】C 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边跟不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边跟不成比例，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 3．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、根据正方形的性质与判定证明、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则射线即为所求； （2）取格点，使得即可 【详解】（1）解：如图所示，取格点D，则射线即为所求； 可证明四边形是正方形，则平分； （2）解：如图所示，即为所求； 可证明． 【题型三】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】分别根据菱形、矩形、正方形的判定，相似三角形的判定定理，进行判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意； B、有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； C、两条边对应成比例且有一个夹角相等的两个三角形相似，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，相似三角形的判定定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：，，，， ，， ， 又， ． 【题型四】选择或补充条件使两个三角形相似 【例4】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确，不符合题意； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确，不符合题意； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确，不符合题意； D、当时，其夹角不相等，则不能判断，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C．，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，可添加或或（答案不唯一）． 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【详解】本题考查了相似三角形的判定，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，或“两角对应相等，两三角形相似”即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 解：不定相似，因为和不是成比例的两边的夹角。 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 得到。 故可添加：，或或（答案不唯一）． 【题型五】相似三角形的判定综合 【例5】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【知识点】相似三角形的判定综合、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，相似三角形的判定，以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，如图： ∵，， ∴． 【题型六】相似三角形判定定理的证明 【例6】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定．熟知相似三角形的判定方法把每个选项逐一分析即可得出． 【详解】A．，，，，，故该选项不合题意； B．，，，，，，故该选项不合题意； C．，，，，，理由同A选项，故该选项不符合题意； D．，，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意； 故选：D 【举一反三】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组． ①； ②； ③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 2．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接． (1)写出图中所有相等的线段，并加以说明； (2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、根据等边对等角证明、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形外角定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据余角的定义及直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知，再根据等量代换即可得出，然后根据等边对等角及三角形外角的定义即可得出，即可得出； （2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断． 【详解】（1）解：，．理由如下： ，， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）有．． ，， ． 好题必刷 一、单选题 1．若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似 【答案】A 【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断． 【详解】 ． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定条件，熟练掌握对应边长度成比例的三角形相似是本题的解题关键． 2．已知如图，则下列四个三角形中与相似的是(　　)    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据顶角相等或底角相等的两个等腰三角形相似，即可求解． 【详解】解：是底角为，顶角为的等腰三角形，要与之相似必定也是顶角为，底角为的等腰三角形，只有C选项符合． 故选C． 3．在和中，，，根据下列条件，能判断和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两个三角形的三边对应成比例，两个三角形相似进行判定即可． 【详解】在△ABC和△DEF中， ∵， ∴△ABC∽△DEF， 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 4．如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠C相等的角也可以得到原三角形相似的三角形． 【详解】∵， ∴， ①作，可得． ②作，可得． ③作∠APG=∠C，由于∠A是公共角可得， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定方法,熟练运用平行法和非平行线法构造三角形的相似三角形是解题的关键． 5．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE：BC的值． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵EC＝1，AC＝3， ∴AE＝AC−EC＝2， ∴． ∴． 故选A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 6．如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，∠B是△ABC与△ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比例即可判断． 【详解】解：A．∵AB2=BD•BC， ∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故A不符合题意； B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故B不符合题意； C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B， ∴∠C=∠BAD， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故C不符合题意； D．∵AD•BC=AB•AC， ∴， ∵∠B≠∠BAD， ∴不能判定△ABC与△ABD相似， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 7．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①；②；③；④；⑤；⑥．在②～⑥中与①相似的三角形的序号是（    ）． A．②③⑤ B．③④⑤ C．②④⑤⑥ D．③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】网格的边长为1，则三角形①的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就与①相似． 【详解】解：①的三边之比是AB：AC：BC＝1：：， ②中CD：BC：BD＝1：：2， ③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：， ④△FBG中，FB：FG：BG＝：：5＝1：：， ⑤△HGF中，HG：HF：FG＝：2：＝1：：， ⑥△EKF中，EK：EF：FK＝：：3， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选：B. 【点睛】此题考查了勾股定理、相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 8．如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是 ( )    A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，C正确； 故选：C． 9．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA， ∴△EFB∽△EAD； 同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键． 10．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6． A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 二、填空题 11．如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 即： ①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定； 故答案为：①②③ 12．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 【答案】或或 【分析】 由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】 解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 13．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 14．D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一个条件 （只能填一个）即可． 【答案】∠AED=∠B或∠ADE=∠C或.(只写出一种即可) 【详解】试题分析：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， 故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC， 故答案为∠AEB=∠B． 考点：相似三角形的判定． 15．如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知，得到，则可以再添加从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解：添加的条件是， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 16．如图，是中边上一点，连接，有如下条件：①，②，③，④，其中能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】由图可得△APC和△ACB已经有一个公共角∠A，再根据相似三角形的判定方法依次分析各小题即可判断. 【详解】由图可知，∠A为△ACP和△ABC的公共角， ①∠ACP=∠B，符合两角对应相等，两三角形相似，故①正确； ②∠APC=∠ACB，符合两角对应相等，两三角形相似，故②正确； ③由AC2=AP•AB可得，符合两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，故③正确； ④，∠A与∠BCP不一定相等，不能判定两三角形相似，故④错误， 所以能判定△ACP∽△ABC的条件是①②③， 故答案为①②③. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似. 17．在与中，，，，，，，则与是否相似？ ，理由是 ． 【答案】 相似 两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似 【分析】通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出两个三角形相似. 【详解】解： ∴（两个三角形三边对应成比例） ∴△ABC∽△A′B′C′ 故答案为相似，两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出两边或三边成比例是解决问题的关键． 18．如图，点O是内任意一点，且，，，则 ，其相似比为 . 【答案】 【分析】三组对应边的比相等的两个三角形相似；求出可得. 【详解】因为，，∠AOB=∠DOE 所以⊿AOB~⊿DOE 所以 同理，, 所以 所以 故答案为(1).     (2). 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 三、解答题 19．如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：如图， ∵在中，CD是斜边AB上的高 ∴ ∵是公共角 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 20．如图，在中，，于D． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：∵于D． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 21．如图，在正方形网格上有∽，这两个三角形相似吗?如果相似，求出和的面积比． 【答案】相似，相似比为4:1    【详解】试题分析：通过观察发现 若能计算这两角的夹边对应成比例，则两三角形相似，面积比也可求． 试题解析：相似,相似比为, 通过观察图形发现设每个小方格的边长为,利用勾股定理可计算 点睛：相似三角形的判定：两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 22．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°， 证明：△ACP∽△APD． 【答案】见解析 【分析】由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠C=60°，进而得到∠C=∠APD，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=60°， ∵∠PAD=∠CAP，∠APD=∠C=60°， ∴△ACP∽△APD． 【点睛】考查相似三角形的判定，等边三角形的性质，掌握有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键. 23．如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）如图（见解析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：如图，延长至，使，连接，． 则垂直平分， ， 是边上的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 24．已知：如图，在和中，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】在的边（或它的延长线）上截取，过点D作的平行线，交于点E，过点D作的平行线，交于点F，容易得到，然后证明，从而即可得到． 【详解】证明：在的边（或它的延长线）上截取，过点D作的平行线，交于点E，则 ， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． 过点D作的平行线，交于点F，则 （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴． 而， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键． 25．如图，在  △ABC和 △ADE中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请证明你写出的两对相似三角形. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE； （2）∠BAD=∠CAE，在此等式两边各加∠DAC，可证∠BAC=∠DAE，再结合已知中的∠ABC=∠ADE，可证△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再结合∠BAD=∠CAE，也可证△BAD∽△CAE． 【详解】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE； （2）①证△ABC∽△ADE， ∵∠BAD=∠CAE， ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE． 又∵∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE． ②证△ABD∽△ACE， ∵△ABC∽△ADE， ∴． 又∵∠BAD=∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 【点睛】本题利用了等量加等量和相等、相似三角形的判定和性质． 26．（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是　 　；BD与CF位置关系是　 　． （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图3，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长BD交CF于点H． ①求证：BD⊥CF； ②当AB=2，AD=3时，则线段DH的长为　 　． 【答案】（1）BD=CF，BD⊥CF；（2）BD=CF成立，理由详见解析；（3）①详见解析；②DH=． 【分析】（1）易知，BD=CF，BD⊥CF;（2）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；（3）利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的结论；连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解. 【详解】（1）易知，BD=CF，BD⊥CF， 故答案为BD=CF，BD⊥CF； （2）如图2中，BD=CF成立． 理由：由旋转得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD， 在△ABD和△ACF中，， ∴△ABD≌△ACF， ∴BD=CF． （3）①证明：如图3中， 由（1）得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN=∠ADN， ∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90° ∴∠HFN+∠HNF=90° ∴∠NHF=90°， ∴HD⊥HF，即BD⊥CF． ②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M． ∵四边形ADEF是正方形， ∴∠MDA=45°， ∵∠MAD=45° ∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°， ∴AM=DM， ∵AD=3， 在△MAD中，AM2+DM2=AD2， ∴AM=DM=3， ∴MB=AM﹣AB=3﹣2=1， 在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2， ∴BD==． 在Rt△ADF中，AD=3， ∴DF=AD=6， 由②知，HD⊥HF， ∴∠DHF=∠DMB=90°， ∵∠BDM=∠FDH， ∴△BDM∽△FDH， ∴， ∴DH==． 【点睛】本题考核知识点：四边形综合，相似三角形. 解题关键点：熟记全等三角形判定和性质、直角三角形性质和相似三角形判定定理. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$